指向空間思維能力提升的多維度數(shù)形結(jié)合策略與研究

摘 要：數(shù)形結(jié)合是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的基本思想方法，其能有效發(fā)散學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和提高課堂教學(xué)效率。在實(shí)踐中，文章作者發(fā)現(xiàn)學(xué)生的空間想象能力還不夠成熟，對(duì)枯燥的算式和數(shù)字有厭倦感，遇到難題也不會(huì)通過(guò)畫圖來(lái)幫助理解，但數(shù)形結(jié)合的教學(xué)策略可將抽象的知識(shí)具體化，使學(xué)生易接受?；诖?，文章擬建構(gòu)一個(gè)多維度數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行闡述。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;空間思維;多維度

作者簡(jiǎn)介：李紅英（1969.11—），女，浙江杭州人，浙江省杭州市富陽(yáng)區(qū)受降小學(xué)，一級(jí)教師，本科，研究方向：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

一、現(xiàn)象與歸因

（一）看現(xiàn)象：數(shù)形結(jié)合思想的直觀情況

小學(xué)低中段學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)是以興趣為主，數(shù)學(xué)教材往往以與實(shí)際生活情境相關(guān)的符號(hào)、圖形、故事為主進(jìn)行編排，并沒(méi)有真正關(guān)注數(shù)量關(guān)系。大多數(shù)學(xué)生不能結(jié)合圖文完整地表述題目的含義，找出的數(shù)學(xué)信息不全，建立數(shù)量關(guān)系時(shí)亂湊數(shù)，解題過(guò)程中缺乏空間想象。高段學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)多數(shù)沒(méi)有將新舊知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，未能思考現(xiàn)實(shí)中的數(shù)量關(guān)系和建構(gòu)空間模式，無(wú)法樹(shù)立起數(shù)形結(jié)合思想。那么如何讓不同學(xué)段的學(xué)生去理解不同的視圖內(nèi)容？如何讓數(shù)形結(jié)合思想在實(shí)踐操作中得到靈活有效的運(yùn)用？這些問(wèn)題都是筆者在本文中將要探討的話題。

（二）剖實(shí)質(zhì)：數(shù)形結(jié)合思想在課堂實(shí)踐應(yīng)用中存在的問(wèn)題

1.學(xué)生方面

第一，學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合的知識(shí)掌握和方法掌握不夠，主要表現(xiàn)在兩方面：一是將圖形轉(zhuǎn)化成數(shù);二是將數(shù)或式轉(zhuǎn)化成圖形。學(xué)生在實(shí)際做題中，往往沒(méi)有建構(gòu)起數(shù)形結(jié)合思想的概念，而是直接以數(shù)或式代形，導(dǎo)致解題受限，思維難以發(fā)散。

第二，學(xué)生思想上固有的依賴性。在日常教學(xué)中，學(xué)生對(duì)教師的作圖依賴性很強(qiáng)，導(dǎo)致在平時(shí)的作業(yè)中，不肯作圖或不能規(guī)范作圖。

2.教師方面

教師一般認(rèn)為數(shù)形結(jié)合思想沒(méi)有算理和算法重要，無(wú)意識(shí)地忽視了數(shù)形結(jié)合思想，對(duì)此降低或不作要求。目標(biāo)不明，則動(dòng)力不足。

二、思考與設(shè)想

（一）數(shù)形結(jié)合的概念

數(shù)形結(jié)合就是把抽象的語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái)，通過(guò)以形助數(shù)或以數(shù)解形，使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象的問(wèn)題具體化，從而實(shí)現(xiàn)優(yōu)化解題途徑的目的。

（二）多維度的數(shù)形結(jié)合思想理念的意義

1.數(shù)形融合，理解文字內(nèi)涵

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，文字題占有很大比例，它是用文字表達(dá)數(shù)與數(shù)、數(shù)與形之間運(yùn)算關(guān)系的題目，因此通過(guò)題目解讀結(jié)合數(shù)形以及思維的模式，就可以有效降低解題難度。所以為了讓學(xué)生理解題中的數(shù)量關(guān)系，我們應(yīng)盡可能將語(yǔ)言文字轉(zhuǎn)化成圖形，將抽象的語(yǔ)言文字形象化。

2.數(shù)形鏈接，構(gòu)建空間概念

在幾何形體的教學(xué)中，教師可以先拿出與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的幾何形體的直觀教具，讓學(xué)生觀察、體驗(yàn)一下該幾何體的形狀、外形特征等，直接感知該幾何形體的直觀屬性，從而對(duì)所學(xué)內(nèi)容有直觀的認(rèn)識(shí)。

3.數(shù)形對(duì)比，厘清數(shù)量關(guān)系

動(dòng)手操作可促使學(xué)生由具體形象思維向抽象邏輯思維過(guò)渡。如果把抽象的知識(shí)轉(zhuǎn)化為看得見(jiàn)、摸得著、容易理解的知識(shí)，把要理解的知識(shí)點(diǎn)變得簡(jiǎn)單化并生動(dòng)有趣地呈現(xiàn)出來(lái)，就可以有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

4.數(shù)形互補(bǔ)，提煉多種算法

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，要鼓勵(lì)算法的多樣化。但算法多樣化并非一定要從中選優(yōu)、優(yōu)中選精，只要能體現(xiàn)學(xué)生自己的思維方式，都應(yīng)鼓勵(lì)他們多加提煉。算法多樣化是對(duì)學(xué)生個(gè)性化學(xué)習(xí)的尊重，也有利于學(xué)生之間的交流，同時(shí)也鍛煉了學(xué)生的高水平思維能力。

三、數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)踐探究

（一）以形思數(shù)

1.在直觀中理解數(shù)

數(shù)學(xué)概念比較抽象，教學(xué)中，教師常常用數(shù)形結(jié)合思想開(kāi)展教學(xué)，利用學(xué)生對(duì)圖形與數(shù)字之間的聯(lián)系，讓學(xué)生的思考建立在對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)、對(duì)數(shù)字的理解上。同時(shí)，教師通過(guò)滲透數(shù)形結(jié)合思想，實(shí)現(xiàn)了學(xué)生思維的多樣化。

【案例1】折出不同的面積為 ?的正方形。

（1）折出一個(gè)正方形，并且這個(gè)正方形的面積是原來(lái)正方形面積的 ?。給你的同學(xué)解釋一下，你折出的圖形面積為什么是原來(lái)面積的 ?。

（2）再折出一個(gè)三角形，并且這個(gè)三角形的面積是原來(lái)正方形面積的 ?。給你的同桌解釋一下，你折出的圖形面積為什么是原來(lái)面積的 ?，但這些三角形的形狀與前面折出的三角形的形狀是不同的。

利用手中的正方形紙片，借助日常生活經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生能折出步驟1、步驟2要求的正方形與三角形（見(jiàn)圖1、圖2），這是較低層級(jí)思維的思考。當(dāng)學(xué)生被要求折出新的三角形，且面積是原來(lái)正方形的 ?時(shí)，或面積是原來(lái)正方形的 ?時(shí)，學(xué)生也能借助直覺(jué)折出步驟3、步驟4要求的正方形與三角形（見(jiàn)圖3、圖4），學(xué)生也能借助數(shù)學(xué)推理向同桌解釋數(shù)學(xué)依據(jù)，這是中高層級(jí)思維的思考。

2.明析數(shù)量關(guān)系

在低段數(shù)學(xué)教學(xué)中，圖文式題目占有很大比例，主要是用文字表達(dá)數(shù)與數(shù)、數(shù)與形之間的運(yùn)算關(guān)系。因此，學(xué)生合理利用數(shù)形結(jié)合想，對(duì)解題幫助很大。

【案例2】菜園里有15只小雞，還有8條小蟲(chóng)，小雞比小蟲(chóng)多多少？（用實(shí)物圖片擺）

從圖5中可清楚地看到，上面一行小雞比下面一行小蟲(chóng)多，可把上面一行的小雞分為兩部分：一部分是一小蟲(chóng)同樣多的，另一部分剩下的，只要把小雞和小蟲(chóng)的數(shù)量一一對(duì)應(yīng)，余下的就是小雞比小蟲(chóng)多的數(shù)量。

練習(xí)變式：小雞加1只變成16只，小蟲(chóng)加1條變成9條，那么小雞比小蟲(chóng)多多少？

低層級(jí)思維的學(xué)生就是從16數(shù)，一只一只減少9，相差7，這樣算既麻煩又易錯(cuò)。

中層級(jí)思維的學(xué)生就是16先減6等于10，再減3等于7。

高層級(jí)思維的學(xué)生是就16減少1就是15，9減少1就是8，剛剛我們學(xué)過(guò)15-8等于7。

這種高層級(jí)思維可能源于小蟲(chóng)的數(shù)量怎樣比小雞少，也可能源于對(duì)于減法的感性認(rèn)知，即差不變的性質(zhì)。

不同的算法，源于學(xué)生的數(shù)感。他們選擇這樣算，可能源于小蟲(chóng)的數(shù)量怎樣比小雞少的一種數(shù)學(xué)比照，可能源于對(duì)朦朧的減法性質(zhì)的感知，明確了數(shù)量關(guān)系，即被減數(shù)和減數(shù)同時(shí)減去一個(gè)相同的數(shù)，差不變。

3.幫助學(xué)生有序思考

【案例3】下面□的數(shù)量有怎樣的變化規(guī)律？第20個(gè)圖形有幾個(gè)□？

通過(guò)擺小木塊方式探究的學(xué)生，多數(shù)是將木塊放在圖形頂層，少部分放在右側(cè)（見(jiàn)圖6、圖7）。而采用畫圖方式的學(xué)生，增加的正方形幾乎全部擺在底層（見(jiàn)圖8）。學(xué)生能列出算式1+3+5+…+n，但第20個(gè)圖形的底層有多少個(gè)，運(yùn)算有難度。

低層級(jí)思維的學(xué)生能夠根據(jù)變化規(guī)律逐步數(shù)出第20層有39個(gè)。

中層級(jí)思維的學(xué)生能夠根據(jù)觀察得出底層圖形數(shù)量的規(guī)律是：層數(shù)×2-1=底層圖形的數(shù)量。

高層級(jí)思維的學(xué)生能夠利用剪切平移法，將不規(guī)則的圖形想象成正方形（如圖9）。

最后得出結(jié)論：第20個(gè)圖形?數(shù)量的算法是：1+3+5+…37+39=20×20。

兒童的認(rèn)識(shí)規(guī)律，一般來(lái)說(shuō)是從直接感知到表象再到形成科學(xué)概念的過(guò)程。通過(guò)形轉(zhuǎn)化為數(shù)，學(xué)生拓展了對(duì)本部分知識(shí)學(xué)習(xí)的深度，一方面對(duì)將數(shù)轉(zhuǎn)化為形的知識(shí)進(jìn)行鞏固，另一方面又提升了逆向思考、發(fā)散性思維的能力。

（二）以數(shù)想形

1.引導(dǎo)學(xué)生在轉(zhuǎn)換中建立“形”

【案例4】“異分母分?jǐn)?shù)加減法”練習(xí)課，可參考圖10進(jìn)行教學(xué)。

先計(jì)算，再想一想你能發(fā)現(xiàn)什么。交流得出：此算式結(jié)合圖形計(jì)算難度更小。

學(xué)生用這種方法算出 ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

在多媒體的幫助下，展示最后剩余的越來(lái)越小，引導(dǎo)學(xué)生感受極限思維，即最后逐漸逼近1，這是高等數(shù)學(xué)中常用的思維。

教師利用學(xué)生對(duì)圖形與數(shù)字之間的聯(lián)系的理解，讓學(xué)生的思考建立在對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)、對(duì)數(shù)字的理解上，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行發(fā)散性、多樣化思考，這種設(shè)計(jì)滲透了數(shù)形結(jié)合的理念，也優(yōu)化了算法。

2.理解各種公式

【案例5】教學(xué)三角形的面積計(jì)算公式時(shí)，課始，絕大部分學(xué)生已經(jīng)隱約知道三角形的面積計(jì)算公式，教師展示圖形后，讓學(xué)生計(jì)算三角形（如圖11）的面積。

學(xué)生經(jīng)過(guò)思索，出示了多種式子，如8×4÷2、8×（4÷2）、8÷2×4，這些不同的式子體現(xiàn)了不同的圖形轉(zhuǎn)化思路，教師也大膽地請(qǐng)學(xué)生根據(jù)式子分別想辦法找到不同的轉(zhuǎn)換方法。學(xué)生分別用圖表示出各種算式的意思、各種推導(dǎo)公式的思路。

再經(jīng)過(guò)討論、分析，學(xué)生就可以發(fā)現(xiàn)三角形的面積計(jì)算公式是底×高÷2，這就由計(jì)算轉(zhuǎn)向了幾何推理。

3.激發(fā)學(xué)生運(yùn)算靈性

【案例6】計(jì)算題“18×5”的教學(xué)。

我們不妨將例題改成：每套書有18本，王老師買了5套書。一共買了多少本？

（1）布置探究任務(wù)，自主計(jì)算

師：同學(xué)們，今天我們來(lái)學(xué)學(xué)口算“18×5”，大家獨(dú)立思考，爭(zhēng)取用不同方法計(jì)算，并把自己的算法在格子圖上畫出來(lái)。

（2）小組分享、學(xué)習(xí)算法

在本例中，我們需要指導(dǎo)學(xué)生直接計(jì)算18×5，但畫圖的方法給他們帶來(lái)了驚喜和快樂(lè)——原來(lái)計(jì)算也可以這樣有意思。把18拆成9+9，重拼，18×5不就是9×10了嗎？

（三）數(shù)形結(jié)合

1.數(shù)形結(jié)合，幫助記憶數(shù)學(xué)知識(shí)

運(yùn)用形象記憶的特點(diǎn)，使抽象的數(shù)學(xué)盡可能地形象化，學(xué)生對(duì)輸入的數(shù)學(xué)信息和知識(shí)的記憶就更加深刻。

2.數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維

教學(xué)中，教師常借助一題多解的形式，突出已知與未知之間的聯(lián)系，讓學(xué)生想出新的方法，提出新的問(wèn)題，達(dá)到知識(shí)融會(huì)貫通，提高思維的廣闊性和靈活性，提高解決問(wèn)題的能力。

3.數(shù)形結(jié)合，提高學(xué)生創(chuàng)新能力

教師可編選一些探索性題目，讓學(xué)生去研究，去探討，去發(fā)現(xiàn)。學(xué)生進(jìn)行一系列探索性思維活動(dòng)，將已有的思維方式大跨度地遷移，從可供選擇的途徑中篩選出解決問(wèn)題的方法。

四、思考

（一）數(shù)形結(jié)合≠有圖有數(shù)

數(shù)形結(jié)合直觀、形象，可避免繁雜的計(jì)算、抽象的概念等。但并不是只要有圖和數(shù)，就是數(shù)形結(jié)合。

（二）數(shù)形結(jié)合思想培養(yǎng)應(yīng)注重時(shí)機(jī)

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，要更多地關(guān)注學(xué)生學(xué)的時(shí)機(jī)，在相應(yīng)的年段提供行之有效的教學(xué)活動(dòng)和方法。教師應(yīng)抓住學(xué)生學(xué)的時(shí)機(jī)，從一年級(jí)就開(kāi)始培養(yǎng)他們的數(shù)形結(jié)合能力。

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