復雜截面周期性隔振樁帶隙特性構型影響因素研究

姜博龍

（中國鐵路設計集團有限公司 城市軌道交通數(shù)字化建設與測評技術國家工程實驗室，天津300308）

在城市軌道交通快速發(fā)展、城市土地利用集約化的雙重背景下，城市軌道交通線位逐步逼近甚至下穿既有或規(guī)劃建筑物敏感點，造成了一定的負面影響和經濟損失，亟需采取防治措施。當線路開通運營無法更換減振軌道、既有建筑物無法搬遷或加裝隔振支座的情況下，傳播路徑控制具有一定的必要性，對其展開研究具有重要意義。其中，排樁作為一種典型的隔振屏障，被認為在低頻隔振中有潛在優(yōu)勢[1]。與此同時，受凝聚態(tài)物理及聲子晶體的啟發(fā)，周期結構的帶隙特性[2]被引入到隔振排樁的研究中。所謂帶隙，是指存在于無限尺寸的周期結構中、具有抑制某個頻段內的波傳播的特性[3]。帶隙特性引入一方面改善了城市軌道交通隔振排樁設計缺乏理論指導的現(xiàn)狀，另一方面，通過周期結構或材料的人為設計來調節(jié)帶隙的帶寬和分布，可更具針對性地阻隔目標頻段振動，具有良好的應用前景。

周期性隔振樁帶隙特性的研究才剛剛起步，目前還是以理論研究為主。黃建坤[3]以圓截面排樁為例，針對周期常數(shù)、土體彈性模量和樁半徑等各類因素對圓截面排樁帶隙起止頻率、帶寬的影響展開研究，并獲得其規(guī)律；劉心男等[4]針對采用平面應變模型求解無限周期排樁帶隙問題中樁長無限長的假設，建立了三維有限元模型，討論三維模型與二維模型計算結果的差異，發(fā)現(xiàn)隨著樁長的增加，二者的結果差異逐步減小，這也說明了在有限周期和有限樁長條件下，帶隙范圍內的振動可有效衰減，可實現(xiàn)相當?shù)母粽裥Ч?；蒲興波等[5]提出了一種全新方法，用于獲取二維周期樁隔振系統(tǒng)的面波頻散曲線；此外，甘瑩瑩[6]針對復阻尼周期排樁的減振性能展開研究，孟慶娟等[7]針對飽和土條件下隔振排樁的衰減特性展開研究。文獻[8]利用原理性試驗獲得了周期結構帶隙理論指導下設計排樁的振動傳輸衰減規(guī)律，并與帶隙計算結果對比，吻合情況良好，驗證了該理論的正確性；姜博龍等[9-10]建立了隧道-地層-隔振周期排樁耦合的三維有限元數(shù)值模型，獲得了計算帶隙范圍內隔振排樁的衰減效果，驗證了周期結構帶隙理論指導下設計排樁隔離軌道交通環(huán)境振動的可行性和有效性；提出了基于帶隙性能評價函數(shù)的選型方法，為隔振周期排樁選型和設計提供依據(jù)，提高了選型設計效率。此外，Kattis、馮桂帥等[11-12]研究了隔離樁截面形狀對隔振效果的影響，Takemiya 等[13]研究了蜂窩形波阻塊（WIB）的隔振效果，而這些構型因素對于帶隙特性的影響尚不明確。為進一步豐富該問題的研究，本文提出了帶隙特性豐富的三種周期性隔振樁，并對帶隙特性的構型影響因素展開研究，為該類型排樁應用及設計選型提供理論依據(jù)。本文研究的帶隙特性全部為首階完全帶隙，其在隔振應用中有重要意義。

1 周期排樁頻散計算的平面波展開法

平面波展開法[2]可用于求解周期排樁帶隙特性，其基本假設包括無限周期假設和無限樁長假設，此時振動在排樁-土層中的傳播可視為平面應變問題，并解耦為平面內問題和出平面問題。不失一般性，波動方程可表示為式（1）的形式：

式中：ρ 為密度；λ 和μ 為拉梅常數(shù)；u 為位移矢量；uj表示位移分量。

其中：

由于排樁的周期性排列，密度ρ和拉梅常數(shù)λ和μ可按照傅里葉級數(shù)展開為

式中：G1為倒格矢；r為位置矢量。

其中：

f=ρ(r)，λ(r)或μ(r)

r=(x,y,z)

根據(jù)Bloch-Floquet理論，位移解可展開為

式中：K為波矢；G2為倒格矢；ω為角頻率；u(r,t)為位移矢量。

把方程（2）和方程（3）代入方程(1)，可得到本征方程：

其中：

對于散射型排樁，傅里葉系數(shù)可表示為

其中：

式中：η 為單個基本單元中樁的占比；P(G1)為結構函數(shù)；S 為典型單元面積；J1為第一類第1 階貝塞爾函數(shù)。

使波矢K 掃掠第一不可約Brillouin 區(qū)[2]即得到排樁-土體體系的頻散曲線和帶隙。該方法的正確性和有效性已經過實驗驗證[14]。

2 蜂窩截面隔振樁構型影響因素研究

蜂窩截面隔振樁首階完全帶隙主要受填充率和周期常數(shù)兩個構型因素影響。本節(jié)以六角晶格排列形式為例，如圖1（a）所示，簡化的基本單元和計算用到的六角晶格第一不可約Brillouin區(qū)分別見圖1（b）和圖1（c），其中A為散射體（蜂窩截面樁），B為基體（土體），計算所采用的參數(shù)如下：土體密度1 900 kg/m3，彈性模量65 MPa，泊松比0.35；混凝土排樁密度2 300 kg/m3，彈性模量30 000 MPa，泊松比0.18。本節(jié)計算蜂窩截面隔振樁所采用的幾何參數(shù)如表1所示。

開展頻散關系計算，并畫出頻散曲線獲得其帶隙分布。研究其幾何構型，包括周期常數(shù)和填充率，對其平面內和平面外首階完全帶隙的起始頻率、截止頻率和帶寬的影響規(guī)律。其中填充率η可表示為η=基本單元中散射體所占面積/基本單元面積，在本例中，η=(b/a)2。

圖2給出了平面內和平面外首階完全帶隙的起、止頻率以及對應的帶寬隨周期常數(shù)變化的規(guī)律，其中陰影部分表示帶寬，余同。

由圖2可知，無論是平面內還是平面外，在填充率不變的情況下，首階完全帶隙的起、止頻率和帶寬都隨著周期常數(shù)的變大而降低，且平面外的帶寬比平面內帶寬更大。因此，若設計帶隙需具有較寬的帶寬，則需要縮小周期常數(shù)；若設計帶隙需要出現(xiàn)在較低頻段，則需要增大周期常數(shù)。

圖1 蜂窩截面隔振樁平面構型示意圖

表1 蜂窩截面隔振樁構型影響因素計算工況

圖2 周期常數(shù)對蜂窩截面隔振樁首階完全帶隙的影響

圖3 填充率對蜂窩截面隔振樁首階完全帶隙的影響

圖3給出了平面內和平面外首階完全帶隙的起、止頻率以及對應的帶寬隨填充率變化的規(guī)律。由圖可知，無論是平面內還是平面外，在周期常數(shù)一定的情況下，首階完全帶隙的起、止頻率以及對應的帶寬都隨著填充率的降低而減小，起始頻率隨填充率增加而變大的速度較緩慢，截止頻率和帶寬在填充率達到50%以上時，隨填充率增加速度變快；同樣平面外帶隙寬度較平面內更大。從這里可以看出，通過增大蜂窩樁的截面尺寸可有效增加其填充率，對獲得低頻且具有較寬的首階完全帶隙具有良好的效果。

3 正交截面隔振樁構型影響因素研究

對正交截面隔振樁進行研究，排樁截面形式是正交十字型，以正方晶格排列形式為例，如圖4（a）所示，簡化的基本單元和正方晶格第一不可約Brillouin區(qū)分別見圖4（b）和圖4（c），其中A為散射體（正交截面樁），B 為基體（土體），材料類型和參數(shù)同蜂窩截面隔振樁，圖4（c）中字母X、M、Γ為第一不可約Brillouin區(qū)頂點，余同。由圖4（b）不難看出，正交截面隔振樁具有m、n兩個控制尺寸，幾何參數(shù)更加豐富。本節(jié)計算正交截面隔振樁所采用的幾何參數(shù)參見表2。

根據(jù)上述幾何參數(shù)和材料參數(shù)，對以正方晶格排列的正交截面隔振樁結構進行頻散關系計算，并畫出頻散曲線獲得其帶隙分布情況。研究其幾何構型，包括周期常數(shù)、填充率和控制參數(shù)m、n，對其平面內和平面外首階完全帶隙的起、止頻率和帶寬的影響規(guī)律。其中填充率η可表示為η=基本單元中散射體面積/基本單元面積，在本例中，η=(2mn-m2)/a2。

圖4 正交截面隔振樁平面構型示意圖

表2 正交截面隔振樁構型影響因素計算工況

圖5給出了平面內和平面外首階完全帶隙的起、止頻率以及對應的帶寬隨周期常數(shù)變化的規(guī)律?？梢钥闯?，無論是平面內還是平面外，在填充率不變的情況下，首階完全帶隙的起、止頻率和帶寬都隨著周期常數(shù)的變大而降低，且平面外的帶寬比平面內帶寬更大，這與蜂窩截面隔振樁規(guī)律相一致。

圖6給出了平面內和平面外首階完全帶隙的起、止頻率以及對應的帶寬隨填充率變化的規(guī)律?？梢钥闯鰺o論是平面內還是平面外，在周期常數(shù)不變的情況下，首階完全帶隙的起、止頻率和帶寬隨著填充率的變化波動十分大。在低填充率和高填充率兩個極端值附近出現(xiàn)了較寬的帶隙分布，且平面外帶隙在這兩種填充率附近分布頻段也較低，平面內首階完全帶隙不具備明顯規(guī)律，從這里可以看出，由填充率作為變量來研究正交截面隔振樁帶隙是不合理的，因此，要進一步研究其首階完全帶隙隨著幾何控制參數(shù)m、n的變化規(guī)律。

圖7給出了平面內和平面外首階完全帶隙的起、止頻率以及對應的帶寬隨控制參數(shù)m變化的規(guī)律。當周期常數(shù)一定時，平面內，隨著m/a增大（由于a不變，即m增大），起始頻率變化不大，截止頻率和帶寬先增大后減小，當m/a達到0.8附近時截止頻率和帶寬最大；平面外，隨著m/a增大，起始頻率、截止頻率先減小后增大，帶寬先增大后減小，起、止頻率在m/a=0.8 附近達到最小值，帶寬在此處達到最大值。

圖8給出了平面內和平面外首階完全帶隙的起、止頻率以及對應的帶寬隨控制參數(shù)n變化的規(guī)律。當周期常數(shù)一定時，平面內，隨著n/a增大（由于a不變，即n增大），起、止頻率和帶寬都增大，且當n/a超過0.85時增速變大；平面外，隨著n/a增大，起始頻率、截止頻率減小，帶寬增大，但是變化幅度均不如平面內大。

上述分析再次印證了當周期常數(shù)和晶格類型確定時，填充率受到兩個控制參數(shù)m、n共同影響，因此，僅僅從填充率來探尋正交截面隔振樁的首階完全帶隙分布規(guī)律是不合理的。

4 X截面隔振樁構型影響因素研究

本節(jié)對X截面隔振樁進行研究，X截面隔振樁排布形式如圖9（a）所示，晶格類型選取六角晶格，圖9（b）、圖9（c）為簡化的基本單元和六角晶格第一不可約Brillouin區(qū)，其中A為散射體（排樁），B為基體（土體）。從圖9（b）中不難看出，相比于正交截面隔振樁，X截面隔振樁又增加了一個幾何參數(shù)，夾角α，因此，具有更加復雜的調節(jié)規(guī)律。本節(jié)計算所采用的幾何參數(shù)參見表3，材料參數(shù)同蜂窩截面隔振樁。

圖5 周期常數(shù)對正交截面隔振樁首階完全帶隙的影響

圖6 填充率對正交截面隔振樁首階完全帶隙的影響

圖7 參數(shù)m對正交截面隔振樁首階完全帶隙的影響

圖8 參數(shù)n對正交截面隔振樁首階完全帶隙的影響

圖9 X截面隔振樁平面構型示意圖

根據(jù)上述幾何參數(shù)和材料參數(shù)對以六角晶格排列的X截面隔振樁結構進行頻散關系計算并畫出頻散曲線獲得其帶隙分布情況，來研究其幾何構型，包括周期常數(shù)、填充率和控制參數(shù)p、q、α，對其平面內和平面外首階完全帶隙的起、止頻率和帶寬的影響效果進行分析，具體見圖10。在本例中，填充率η可由式（6）計算得到。

圖10給出了平面內和平面外首階完全帶隙的起、止頻率以及對應的帶寬隨周期常數(shù)變化的規(guī)律。由圖可知，無論是平面內還是平面外，在填充率不變的情況下，首階完全帶隙的起、止頻率和帶寬都隨著周期常數(shù)的變大而降低，且平面外的帶寬比平面內帶寬更大，這與蜂窩截面隔振樁和正交截面隔振樁的規(guī)律相一致。

圖11給出了平面內和平面外首階完全帶隙的起、止頻率以及對應的帶寬隨填充率變化的規(guī)律。平面內，首階完全帶隙整體隨著填充率增大而增大，但是在25%～30%之間出現(xiàn)了一個明顯的突變，起止頻率突然變大、帶寬突然變小，這個規(guī)律在平面外首階完全帶隙變化規(guī)律也有所體現(xiàn)，這主要是因為周期常數(shù)一定時，填充率大小同時受到控制尺寸p、q、α三個參數(shù)的影響，且起、止頻率對于三個參數(shù)變化的敏感性差異較大，因此，單獨討論填充率對帶隙分布的影響是不合理的，下面將分別討論帶隙分布隨參數(shù)p、q、α單獨變化規(guī)律。

表3 X截面隔振樁構型影響因素計算工況

圖10 周期常數(shù)對X截面隔振樁首階完全帶隙的影響

圖11 填充率對X截面隔振樁首階完全帶隙的影響

圖12給出了平面內和平面外首階完全帶隙的起、止頻率以及對應的帶寬隨控制參數(shù)p變化的規(guī)律。當周期常數(shù)一定時，平面內，隨著p/a增大（由于a不變，即p增大），起始頻率、截止頻率和帶寬都增大，變化幅度不大；平面外，隨著p/a增大，起始頻率略增加，變化幅度不大，截止頻率和帶寬增幅較大。

圖13給出了平面內和平面外首階完全帶隙的起、止頻率以及對應的帶寬隨控制參數(shù)q變化的規(guī)律。當周期常數(shù)一定時，平面內，隨著q/a增大（由于a不變，即q增大），起始頻率、截止頻率都增大，且當q/a超過0.55 時增速變大，帶寬變化幅度不大；平面外，隨著q/a增大，起始頻率、截止頻率和帶寬都增大，但是變化幅度不大。

圖12 參數(shù)p對X截面隔振樁首階完全帶隙的影響

圖13 參數(shù)q對X截面隔振樁首階完全帶隙的影響

圖14 夾角α對X截面隔振樁首階完全帶隙的影響

圖14給出了平面內和平面外首階完全帶隙的起、止頻率以及對應的帶寬隨控制參數(shù)夾角α變化的規(guī)律。平面內，當夾角超過75°時帶隙起止頻率變大，但對帶寬影響不大；平面外，夾角達到75°以上時，帶寬急劇下降?？梢妸A角對平面內帶隙起、止頻率影響較大，對平面外帶寬影響較大。

5 結語

本文提出了三種全新構型的排樁形式，包括蜂窩截面隔振樁、正交截面隔振樁和X截面隔振樁，并根據(jù)帶隙分析理論對三種排樁進行了頻散計算，掌握了其帶隙分布特征，揭示了幾何構型因素對帶隙分布及變化的影響規(guī)律。研究發(fā)現(xiàn)：

（1）隨著周期常數(shù)的增加，三種排樁的平面內和平面外首階帶隙的起始頻率、截止頻率、帶寬都呈下降趨勢，且平面外的帶寬比平面內帶寬更大；

（2）隨著填充率的增加，蜂窩截面隔振樁平面內、外首階完全帶隙的截止頻率和帶寬都呈上升趨勢，且在填充率達到50%以上時上升變快，起始頻率增幅較平緩；

（3）填充率變化對正交截面隔振樁和X截面隔振樁平面內、外首階帶隙分布影響規(guī)律不明顯；

（4）正交截面隔振樁和X截面隔振樁的幾何控制尺寸更復雜、帶隙調節(jié)能力更豐富。