例談數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育問題

佛山市順德區(qū)第一中學(xué)(528300)關(guān)嘉欣

2017年,新版普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確提出數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的確立讓數(shù)學(xué)教學(xué)回歸學(xué)科本質(zhì),強(qiáng)調(diào)學(xué)科的獨(dú)特育人價(jià)值.

在新高考、新課標(biāo)、新教材的背景下,我們都知道數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要性,但到底如何在課堂教學(xué)中培育學(xué)生核心素養(yǎng)呢?其實(shí),為了落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育,我們需要找到核心素養(yǎng)與具體的課程內(nèi)容(包括知識(shí)與方法)的內(nèi)在關(guān)聯(lián),在知識(shí)講授的過程中有意識(shí)地有針對(duì)性地滲透.下面我想以必修一第三章第2 節(jié)“函數(shù)的單調(diào)性與最(小)值”為例談?wù)勅绾卧谡n堂教學(xué)中落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

“函數(shù)的單調(diào)性與最(小)值”這節(jié)課要求學(xué)生能準(zhǔn)確用符號(hào)語言刻畫函數(shù)的單調(diào)性與最值、利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明具體函數(shù)的單調(diào)性、把現(xiàn)實(shí)問題抽象為數(shù)學(xué)模型,并能利用函數(shù)單調(diào)性與最值的知識(shí)來解決.因此,這節(jié)課是很好地滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的載體.下面從教學(xué)過程的5 個(gè)方面來展開闡述.

1 感知概念,滲透數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)

(1)思考這兩張新冠肺炎疫情數(shù)據(jù)關(guān)系圖呈現(xiàn)了什么信息?

圖1

預(yù)設(shè) 隨時(shí)間的推移,全國現(xiàn)存確診人數(shù)先上升后下降;全國累計(jì)確診人數(shù)一直上升,前面升得比較快,后面升得比較慢.兩張圖都反映了函數(shù)圖象的變化情況.

(2)分析下列熟悉的函數(shù)圖象,你發(fā)現(xiàn)了什么共同性質(zhì)?

圖2

預(yù)設(shè) 上述函數(shù)圖象都有函數(shù)值隨自變量的增大而增大(或減小)的性質(zhì):函數(shù)的單調(diào)性.

設(shè)計(jì)意圖①從真實(shí)情境:新冠肺炎疫情圖出發(fā),理解函數(shù)單調(diào)性的現(xiàn)實(shí)意義,感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系,能從情境中抽象出數(shù)學(xué)概念,積累從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),養(yǎng)成在日常生活和實(shí)踐中一般性思考問題的習(xí)慣;

②從學(xué)生熟悉的函數(shù)圖象入手,這當(dāng)中有遞增的,也有遞減的,也有增減變化的,通過豐富的實(shí)例讓學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性的概念有初步直觀感性認(rèn)識(shí),運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象的思維方式思考并解決問題.

2 探究概念,滲透直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)

2.1 用圖象語言刻畫單調(diào)性,滲透直觀想象的核心素養(yǎng)

(1)觀察你們熟悉的一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象,分析它們的單調(diào)性.

圖3

預(yù)設(shè)學(xué)生分析結(jié)果

①左圖從左到右,圖象上升→y隨著x的增大而增大→單調(diào)遞增.

②中間圖從左到右,圖象下降→y隨著x的增大而減小→單調(diào)遞減.

(2)觀察右圖,如何刻畫它的單調(diào)性?說明函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)整體性質(zhì)還是一個(gè)局部性質(zhì)?

③右圖在(?∞,0]單調(diào)遞減;在[0,+∞)單調(diào)遞增,說明函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)局部性質(zhì).

(3)思考 用圖象來判斷單調(diào)性萬能嗎?如果不是,可能會(huì)有什么問題?

預(yù)設(shè) 可能存在的問題:①圖象不夠嚴(yán)謹(jǐn),眼見不一定為實(shí).②如果函數(shù)畫不出圖象,那就判斷不了單調(diào)性.因此,我們需要從圖象語言過渡到符號(hào)語言.

設(shè)計(jì)意圖 ①從學(xué)生熟悉的函數(shù)入手,借助幾何直觀理解問題,形成數(shù)學(xué)直觀,在具體的情境中感悟事物的本質(zhì),滲透直觀想象的核心素養(yǎng);②引發(fā)沖突,指出函數(shù)單調(diào)性是一個(gè)局部性質(zhì);③通過討論用圖象判斷函數(shù)單調(diào)性的局限性,引發(fā)學(xué)習(xí)符號(hào)語言刻畫單調(diào)性的動(dòng)機(jī).

2.2 用符號(hào)語言刻畫單調(diào)性,滲透邏輯推理的核心素養(yǎng)

(1)如何用符號(hào)語言刻畫函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增?

把“在區(qū)間D上,函數(shù)值隨著自變量的增大而增大”這句話翻譯成符號(hào)語言.

①自變量的增大:x1

②函數(shù)值隨之而增大:f(x1)

(2)問題集中在自變量,需要回答:

①自變量在哪里取值?(x1,x2∈D)

②自變量如何取值?(需要進(jìn)一步探究)

(3)如何取x1

①如果1,3∈D,f(1)

②在D上取無數(shù)多個(gè)點(diǎn)x1

圖4

圖5

分析 ①②無法確保的原因是都有可能?x1,x0∈D,雖然x1f(x0),因此,需要對(duì)?x1,x0∈D進(jìn)行否定,而對(duì)存在量詞的否定就是全稱量詞,因此只需要把?x1,x0∈D改為?x1,x0∈D.

設(shè)計(jì)意圖 ①分析過程從特殊到一般進(jìn)行推理,能用數(shù)學(xué)語言有邏輯地表達(dá)與交流,滲透了邏輯推理的核心素養(yǎng);

②“任取x1,x2”對(duì)學(xué)生而言是難點(diǎn),需要重點(diǎn)突破.為了解決這個(gè)難點(diǎn),通過反例引發(fā)沖突與思考,加深對(duì)任意性的理解.結(jié)合第一章關(guān)于全稱量詞與特稱量詞的學(xué)習(xí),學(xué)生能說出特稱量詞的否定是全稱量詞.

3 建構(gòu)概念,滲透數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)

(1)經(jīng)過上述討論,請(qǐng)你嘗試用符號(hào)語言給出函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增的定義.

預(yù)設(shè) 一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮,區(qū)間D ?I,如果?x1,x2∈D,當(dāng)x1

圖6

圖7

對(duì)學(xué)生給出的定義進(jìn)行整理補(bǔ)充,并重點(diǎn)剖析概念:

①局部性:指明函數(shù)單調(diào)性發(fā)生在哪個(gè)區(qū)間;

②任意性:x1,x2的取值是任意的;

③同號(hào)性:x1,x2與f(x1),f(x2)的符號(hào)保持一致性.因此,也可用(x1?x2)(f(x1)?f(x2))>0 與來刻畫.

(2)類似地,請(qǐng)你給出函數(shù)單調(diào)遞減的定義.

預(yù)設(shè) 一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮,區(qū)間D ?I,如果?x1,x2∈D,當(dāng)x1f(x2),那么就稱f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減.特別地,如果f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí),我們就稱它為減函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖①讓學(xué)生自主歸納建構(gòu)概念,培養(yǎng)學(xué)生抓住本質(zhì)準(zhǔn)確表達(dá)的能力,提高學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng),從而滲透數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng);

②讓學(xué)生學(xué)會(huì)使用類比給出相似概念,體會(huì)類比這一數(shù)學(xué)方法.

4 辨析概念,滲透直觀想象的核心素養(yǎng)

例1根據(jù)單調(diào)性的定義,完成概念辨析:

(1)若f(2)

(2)f(x)在[2,3]上單調(diào)遞增,則f(2)

(4)若f(x)單調(diào)遞增,若f(a)

例2判斷課本P73 題目7、13 這三個(gè)函數(shù)的單調(diào)性:

(1)G(n)=3n+1,n ∈{1,2,3}.

(3)f(x)=[x],x ∈(?2.5,3].

結(jié)合圖象分析.

圖8

總結(jié)

設(shè)計(jì)意圖從具體函數(shù)入手,借助幾何直觀理解問題,形成數(shù)學(xué)直觀,在具體的情境中感悟事物的本質(zhì),滲透直觀想象的核心素養(yǎng),理解函數(shù)單調(diào)性的概念.

5 應(yīng)用概念,滲透邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)

例3根據(jù)定義,研究函數(shù)f(x)=kx+b(k ?=0)的單調(diào)性.

例4物理學(xué)中的玻意耳定律(k為正常數(shù))告訴我們,對(duì)于一定量的氣體,當(dāng)其體積V減小時(shí),壓強(qiáng)p將增大.試對(duì)此用函數(shù)的單調(diào)性證明.

例5根據(jù)定義證明函數(shù)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增

小結(jié)用定義法證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟:

(1)取值:在區(qū)間D上,任取x1,x2,令x1

(2)作差:求f(x1)?f(x2);

(3)化簡:因式分解,變形為因式相乘除的形式;

(4)定號(hào):確定f(x1)?f(x2)的正負(fù);

(5)下結(jié)論:根據(jù)“同增異減”原則,指出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性.

設(shè)計(jì)意圖通過證明函數(shù)的單調(diào)性,加深對(duì)定義的理解,掌握代數(shù)式作差、通分、因式分解的運(yùn)算法則,探究運(yùn)算思路,設(shè)計(jì)運(yùn)算程序,從而培養(yǎng)邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn),是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn).但這種素養(yǎng)的獲得并不是憑空產(chǎn)生,它依托于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程與真實(shí)情境.

因此,我們要在教學(xué)設(shè)計(jì)上多下功夫,在日常的教學(xué)與課堂中,以具體數(shù)學(xué)知識(shí)為載體,以數(shù)學(xué)方法與思想為工具,滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).只有這樣,數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)才不會(huì)成為無源之水,紙上之言,才能真正落到實(shí)處,幫助到學(xué)生.