基于數(shù)學建模的高中概率公平性問題教學*

廣東省中山市中山紀念中學(528454)周佳

一、課程分析

1.教材分析

本文以人教版《數(shù)學》(選修2-3)為藍本,將博弈論的問題和數(shù)學建模結合設計教學過程,引導學生建立數(shù)學模型將數(shù)學建模引入高中數(shù)學教學,這樣不僅可以調動學生的能動性,還能鍛煉學生用所學知識解決實際問題和分析問題的能力,從而加深學生對書本知識的理解,提高學生的學習能力.在新的高中課程改革中,數(shù)學建模作為核心素養(yǎng)能力之一,已經(jīng)被放在了首位,教材中也有大量的素材以數(shù)學建模為背景.數(shù)學建模是將生活中的問題,借助數(shù)學語言來分析問題,解決問題,表達問題.數(shù)學建模可以讓抽象的知識系統(tǒng)化,是一種高效的課堂教學模式.本文列舉了生活中的問題,通過建模思想研究其公平性,并完善規(guī)則,讓學生在建模的過程中增強對所學知識的認識和興趣.

2.學情分析

(1)授課對象:中山紀念中學高二學生

(2)認知基礎:學生已經(jīng)掌握了排列組合,概率等相關知識,有了利用所學知識建立數(shù)學模型分析問題的能力.

3.教學目標

(1)知識與技能 會運用所學的數(shù)學知識,通過建模過程將實際問題數(shù)學化,并通過數(shù)學知識解決問題.

(2)過程與方法 讓學生親自參與建模過程,經(jīng)歷“提出問題——探索問題——轉化問題——建立模型——解決問題”的過程.

(3)情感態(tài)度價值觀 通過數(shù)學建模過程,激發(fā)學生探索問題的好奇心,培養(yǎng)學生利用所學知識探索問題的興趣和能力,通過數(shù)學建模過程讓學生真正體會數(shù)學來源于生活,服務于生活,切身體會數(shù)學的魅力.

4.教學重,難點

(1)重點教學過程中,教師應該分配好每個環(huán)節(jié)的時間,對每個環(huán)節(jié)進行適時的引導和講解,在教學設計中要體現(xiàn)數(shù)學建模的過程和背景所涉及的數(shù)學方法,即如何建立數(shù)學模型來解決問題,求解問題等.

(2)難點 如何培養(yǎng)學生的數(shù)學建模思想,如何將實際問題抽象為數(shù)學問題等.

5.教學方法和手段

采用啟發(fā)式教學,分組式探究合作法.

二、教學過程

1.引入

公平性問題在生活中經(jīng)常遇到,那我們如何運用所學知識對事件是否公平進行討論呢?這是一種很重要的能力,今天我們就通過對一個游戲規(guī)則是否公平的討論,識別生活中的騙局,體驗一下如何利用數(shù)學建模思想將我們所學的知識用來分析問題和解決問題.

2.問題提出

例1小明過年回老家,在集市上遇到一位商販(以下簡稱乙方)制定了這樣一個賭博游戲引誘街上游客(以下簡稱甲方)來玩.箱子里面裝有六個外形一樣分別標有1,2,3,4,5,6 號碼的球,甲先從箱子中摸出一個球,乙再從剩下的球中摸出兩個球,勝負規(guī)則為:乙摸到的兩個球的數(shù)字相加和甲的數(shù)字比較,誰的大誰就贏,值相同就是平局.賭金按如下規(guī)則支付:如果甲贏,則乙方向甲方支付2 元,若乙贏,則甲向乙支付1 元,這個游戲規(guī)則對甲方是否公平,是否有利?

3.自主探究

師:這個摸球規(guī)則誰獲勝的可能性大,如何計算具體概率?

生:明顯乙獲勝的概率大,可以列出總的基本事件

師:但從賭金支付情況看,規(guī)則對于甲是否公平?需要計算什么?

甲抽出牌的數(shù)字123乙抽出牌的可能數(shù)字(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,4)(3,5)(3,6)(4,5)(4,6)(5,6)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(3,4)(3,5)(3,6)(4,5)(4,6)(5,6)(1,2)(1,3)(1,5)(1,6)(2,3)(2,5)(2,6)(3,5)(3,6)(5,6)

甲抽出牌的數(shù)字456乙抽出牌的可能數(shù)字(1,2)(1,3)(1,5)(1,6)(2,3)(2,5)(2,6)(3,5)(3,6)(5,6)(1,2)(1,3)(1,4)(1,6)(2,3)(2,4)(2,6)(3,4)(3,6)(4,6)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)(3,4)(3,5)(4,5)

生:需要計算甲獲利的期望,甲獲利的期望(即平均獲利)為,所以對于甲是不公平的.

4.修改模型

數(shù)學建模更加注重思維能力的培養(yǎng),一個模型可能面臨多樣性解的問題,教師要事先做好準備.

師:那我們有哪些方法修改規(guī)則讓這個規(guī)則對于雙方是公平的?

處理方式一:

生:可以修改支付賭金規(guī)則,使得雙方獲利的期望為0,則規(guī)則是公平的.

問題引導:事先我們不知道如何設置賭金規(guī)則更公平,可以設如果甲贏,則乙方向甲方支付a元,若乙贏,則甲向乙支付b元,接下來如何計算呢?

處理方式二:

問題引導:是不是保持按1:2 比例支付就一定對甲不公平?我們的最終目標是要讓甲的獲利期望為零,若設甲獲勝的概率為P1,乙獲勝的概率為P2,則應滿足P1×2+P2×(?1)=0,化簡得P1:P2=1:2,比如當甲獲勝的概率為,乙獲勝的概率為時就滿足,那么如何設置球的數(shù)字能滿足相應概率呢?這個問題可能有些復雜,我們可以先簡化問題,比如把球的數(shù)量改成3 個,大家討論如何設置.

生:可以發(fā)現(xiàn)號碼為1,2,3 不行,但設置為1,2,4 就可以.

師:那如果球的數(shù)量變成4 個,請大家討論一下.

生:我們試了號碼為1,2,3,4 不行,但如1,2,4,7 這種就可以.

師:那大家從上面的情況是否發(fā)現(xiàn)規(guī)律可利用到六個球的情況.

生:可以發(fā)現(xiàn)當數(shù)字從小到大排列,任意兩個數(shù)字之和小于后面的號碼即可.比如6 個球的時候號碼定為1,2,4,7,13,21 是滿足的.

5.模型推廣及檢驗模型

我們來驗證下前面的猜想,對于箱子里面裝有n個外形完全一樣的球,號碼標為X1

問題引導:現(xiàn)在如何計算甲,乙獲勝的概率,總的基本事件有多少個?甲獲勝的基本事件有多少個?這樣的數(shù)字有平局出現(xiàn)嗎?

生:上面的數(shù)字保證了沒有平局,總的基本事件為

甲獲勝的基本事件為

6.小結

這節(jié)課我們通過學過的知識幫助我們識別了生活中的騙局,讓我們真切感受到數(shù)學的力量.相信大家通過這節(jié)課也提升了學數(shù)學的成就感.下面我就布置兩個課后作業(yè)供大家繼續(xù)通過建模思想研究公平性問題.

7.課后作業(yè)

1.(2020年高考全國I 卷理科第21 題改編)甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽,約定賽制如下:累計負兩場者被淘汰:比賽前抽簽決定首先比賽的兩人,另一人輪空;每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽,負者下一場輪空,直至有一人被淘汰;當一人被淘汰后,剩余的兩人繼續(xù)比賽,直至其中一人被淘汰,另一人最終獲勝,比賽結束.設每場比賽雙方獲勝的概率都為.

①探討這場比賽是否公平?

②經(jīng)抽簽,甲、乙首先比賽,丙輪空.丙獲勝的概率為多少?并對丙是否值得參與比賽給出建議.

2.一年夏天,北京中關村科學院小區(qū)門口有個西瓜攤,攤主是魏姓大興人,他賣瓜不稱重,大瓜小瓜分著賣,大瓜的個頭基本相當,每個15 元;小瓜的個頭也很均勻,每個5 元.這天住在小區(qū)里的王教授和王太太夫婦來買西瓜,王太太看到很多人都在買小瓜,就湊了過去,卻聽見王教授說:“不買小的,買大的.”“大瓜的半徑比小瓜的半徑大不了一倍,可大的價格卻是小的3 倍呢,……”王太太猶豫道.王教授笑笑說:“瓜的大小要算體積,不是面積.那小瓜的半徑大概是大瓜的一半,小瓜的體積不到大的30%,大小瓜的皮厚差不多,當然買大的劃算.”王太太疑惑地抱起了大個的西瓜,老魏看得目瞪口呆.

①你是否支持王教授的判斷?請說明理由.

②請你替攤主老魏出個主意.同品種的大小瓜的半徑比是3:2,大瓜如果賣15 塊錢一個,小瓜大概賣多少錢一個才能使得買大瓜小瓜都一樣.

三、反思

在《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》中的課程內容突出了四條主線,其中一個就是“數(shù)學建?；顒优c數(shù)學探究活動”,必修有6 個課時,選擇性必修有4 個課時,這是不同于舊教材的的一大創(chuàng)新.可見數(shù)學建模在新課標中的地位很重要,根據(jù)這種指導思想,本文嘗試了將數(shù)學建模思想融入到解決實際生活的概率問題.

但數(shù)學建模并不是單純地解決一個純粹的數(shù)學問題,而是需要將實際問題數(shù)學化以及數(shù)學問題實際化的過程,因此在數(shù)學建模教學中應該善于靈活處理教材.做到教學有法,教無定法,貴在得法.

開展本節(jié)課后可以發(fā)現(xiàn),數(shù)學建模課堂要以生為本,教師在引導學生處理實際問題上,要多鼓勵學生發(fā)現(xiàn)問題,探究問題,讓學生學會用數(shù)學的語言,符號,圖表等來解決實際問題,真切體會到數(shù)學與生活之間的聯(lián)系.在平時的教學中也可以有意識的滲透建模思想,只有這樣,才能真正培養(yǎng)學生的建模能力和建模意識,不斷提高學生的核心素養(yǎng)能力.

在討論環(huán)節(jié)由于數(shù)學建模本身具有靈動性和自主性,所以課堂本身有許多不可控制性,這是最大的難點,這也要求教師事先就要預設好各種可能的方法和情形,從而在課堂上能做到靈活應對.在學生的參與過程中,要關注學生能否做到和他人交流;是否能自主分析問題;是否能利用數(shù)學語言處理問題,由于學生之間是有個體差異的,所以不能運用同一個標準來評判學生的建?；顒?而應該從多種角度和結果進行評價.