基于新課標理念的數列教學案例研究

廣東省廣州市天河區(qū)教師發(fā)展中心(510650) 王西榮

1 問題提出

在深化課堂教學改革中, 高考命題突出立德樹人導向,重點考查學生運用所學知識分析問題和解決問題的能力. 在該理念下,數學教學更凸顯以發(fā)展學生的數學學科核心素養(yǎng)為基本導向[1].

解析近幾年全國高考課標卷中對數列板塊的考查,大多題目是明確數列類型,如等差、等比數列,通過將題設條件轉換為數列基本量之間的方程或方程組,求解后確定首項與公差或公比這些基本量,進而確定所求的等差數列或等比數列,屬于常規(guī)題型. 而近兩年的全國新高考Ⅰ卷中,對數列考查的題型發(fā)生改變,例如通過兩個不同的等差數列找公共項構造一個新的等差數列進行求和;或根據新定義分類求和;或遞推數列與等差數列結合,考查數列的通項及求和,其中涉及到分奇偶項討論. 可見,高考對數列知識板塊的考查注重數列概念的本質及研究數列的策略、方法. 強調對必備知識、關鍵能力的考查,特別是對數學思維、數學學科素養(yǎng)、情境創(chuàng)設等環(huán)節(jié)的考查,并在考查中積極滲透和貫徹核心價值.

基于上述理解, 筆者帶領高三數學教師進行數列板塊的區(qū)域備考時, 在一次區(qū)模擬測試中, 設計了這樣一道題目: 已知數列{an}中,an> 0,其前n 項和為Sn,且對任意n ∈N?, 都有(1)求a1、a2、a3, 并求數列{an}的通項公式;(2)求數列{(?1)nan}的前n 項和Tn.

閱卷發(fā)現,學生對背景常規(guī),難度不大的數列求解存在較大問題,區(qū)得分率只有0.55. 錯因分析發(fā)現: 大部分學生能記住公式,但對其通項公式的形式不理解,如只會用待定系數法求已知等差和等比數列的通項公式,對沒有給定數列類型、需要利用形式多變的遞推公式求通項公式的,束手無策;還有學生不知道數列是一個特殊的函數,缺乏用函數的思想及歸納的思想解決問題的意識; 還有學生就是計算不過關.難點在分奇偶項討論上. 這也暴露出新授課教學中,或以教輔材料為藍本,以題型訓練帶新知學習,只注重題目訓練,不重視概念教學;或重視概念,但為趕進度,強行“投喂”,輕知識與概念的來龍去脈,不注重學生對知識的自主建構.

對此,筆者嘗試通過開設相關主題的區(qū)域公開課,研究基于新課標及考試評價體系的數列教學.

2 新課標理念下的數列概念和專題教學案例解析

對于主題教學,分概念課和小專題兩種課型教學,概念課注重在教學設計上從函數的觀點入手,運用觀察、歸納、運算等方法研究數列,進而重點研究兩種特殊數列的規(guī)律;小專題則從數學運算及數據分析中發(fā)現數學規(guī)律入手,通過列舉、歸納和推理證明推導出非特殊數列的通項公式和求前n項和等相關問題.

2.1 概念教學指向必備知識落實

案例1: 人教版選擇性必修第二冊“4.1 數列的概念”教學過程節(jié)選

節(jié)選1: 創(chuàng)設情境,構建概念

情境1:《莊子?天下》中提到:“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”. 意思是如果把“一尺之棰”的長度看成單位“1”,則每天取其一半,永遠都取不完[2].

問題1: 如何用數字來表示每一天剩余的單位長度?

第i 天 第1 天 第2 天 第3 天 第4 天 … 第n 天 …剩余單位長度(li)1 2 1 4 1 8 1 16… 1 2n …

情境2: 某種細胞,如果每個細胞每小時分裂為2 個,那么每過1 小時,1 個細胞分裂的個數依次為: 2,4,8,16,32,….

情境3: 王芳從1 歲到17 歲,每年生日那天測量身高. 將這些身高數據(單位: cm)依次排成一列數: 75, 87, 96, 103,110,116,120,128,138,145,153,158,160,162,163,165,168.

情境4: 在兩河流域發(fā)掘的一塊泥版(編號K90、約產生于公元前7 世紀)上、有一列依次表示一個月中從第1 天到第15 天每天月亮可見部分的數: 5,10,20,40,80,96,112,128,144,160,176,192,208,224,240.

情境6: 無窮個1 排列成一列數: 1,1,1,1,….

【設計思路】創(chuàng)設情境,激發(fā)興趣. 利用多媒體呈現教材中和補充的、涉及數學文化、學科間知識融合、生活實際及數學課程學習等6 個情境. 這些情境蘊涵了不同類型的數列,為學生了解數列概念、數列分類、數列是一種特殊的函數及為后續(xù)學習等差數列與等比數列提供素材,做好情感體驗與認知鋪墊. 首先以情境1 為例,通過列表格引出本節(jié)課要研究的主題—數列;其次采用師生互動的形式,學生在教師的演示下,模仿情境1 的分析過程,撇開實際背景,口頭說出每個情境中蘊含的“具有確定順序的一列數”,并用數學符號表示數列,教師板書,使學生對數列的概念有一個初步的整體體驗;然后,教師引導學生觀察、思考、歸納所給出的這6 個情境的共同特征,進而給出數列的定義及其表達形式.

節(jié)選2: 類比探究,理解概念

【復習舊知】復習函數概念,以表格形式呈現. (略)

【合作探究】

問題1: 對于具體的數列而言,如情境2 反映的數列2,4,8,16,32,…,僅用記號{an}表示,并不能反映該數列的實際內涵,請嘗試用多種方法表示這個數列(引導學生用列表法、圖像法、解析式法表示該數列).

問題2:“問題1”用多種方法表示了同一個數列,這些表示法的共同特征是什么? 都涉及哪些量?

問題3:“問題1”采用的多種方法都反映了序號與項之間的對應關系,這種對應關系有什么特征? 你以前見過類似的情況嗎[3]?

問題4: 數列是函數嗎? 為什么? 數列的要素是什么?

問題5: 結合前面6 個情境,類比函數的單調性,思考數列的單調性.

【設計思路】設置問題鏈,引導學生通過小組合作、探究發(fā)現數列是一種特殊的函數,自主構建起數列與函數之間的聯系an= f(n)(n ∈N?);并通過“問題1”中數列的三種表示方法,進一步體會函數與數列的關系,逐步揭示數列是函數的實質,從而將數列概念成功納入到函數的概念體系中去,加深對數列概念的理解[4];通過“問題4、5”,類比函數,給出數列通項公式的概念,并對數列進行分類.

節(jié)選3: 典例分析,深化概念

例1根據下列數列{an}的通項公式,寫出數列的前5項,并畫出它們的圖象:

變式: 判斷66 是不是數列(1)的項? 若是,是第幾項?

思考: 結合本題中2 個具體的數列圖象,想想它們與以往學過的函數圖象有何區(qū)別?

例2根據下列數列的前5 項,寫出數列的一個通項公式:

例3傳說古希臘畢達格拉斯學派的數學家用沙粒和小石子來研究數,他們根據沙?；蛐∈铀帕械男螤畎褦捣殖稍S多類. 如下圖中的1,5,12,22 稱為五邊形數,則五邊形數所構成的數列的第6 項為____,請寫出它的一個通項公式____.

【設計思路】 設置三道例題, 例1 的意圖: 一是通過寫前5 項, 熟悉通項公式的定義, 體會對于任何一個自變量n, 都有唯一的f(n) 與其對應; 二是通過畫圖、觀察圖象, 發(fā)現數列的圖象是由一群孤立的點組成, 讓學生直觀感知數列是離散型函數, 其離散型的根源是自然數的離散性. 并通過反思, 進一步認識到數列的本質是一種特殊的函數,進而發(fā)展學生的思維[4]; 例2 的意圖在于引導學生通過觀察、運算, 發(fā)現所給數列的取值規(guī)律, 進而抽象出數列的一個通項公式; 同時通過第(2) 題的通項公式可以寫成an= 1+(?1)n+1, 也可以寫成an=(注:其實也可以寫成an=1+ cos(n+1)π),讓學生體會以數列的具體項歸納出的通項公式可能不唯一;例3 以數學史的問題為情境,進一步引導學生在解決問題的同時,體會通過運算發(fā)現規(guī)律的思想在研究數列問題中的重要作用,進而培養(yǎng)學生的數學抽象、邏輯推理與數學運算核心素養(yǎng).

本教學案例體現用函數的觀點研究數列, 通過情境創(chuàng)設、問題鏈設計,引導學生以自主探究、合作交流等方式展開學習,經歷了“情境分析—共性歸納—抽象概念—概念理解—概念應用”的數列概念生成過程,是用“數學的眼光”看事物,用“數學的思維”探究規(guī)律的示范,滲透了數學抽象、邏輯推理和數學運算的核心素養(yǎng),體現數學教學的育人價值.

2.2 專題教學指向關鍵能力提升

案例2: 2022 屆區(qū)一模備考研討課——數列小專題:“數列中分奇偶項求和問題”設計略案

【題組設計】

題組一: 列舉歸納,提煉方法.

熱身訓練: 分別寫出以下所給數列的前八項:

(1)已知數列{an}滿足a1= 1, a2= 4,an= an?2+2(n ≥3);

(2)已知數列{an}中,an> 0,其前n 項和為Sn,且對任意n ∈N?,都有

(3)已知數列{an}中,a1=1,an+1=

觀察思考:

(1)討論“熱身訓練”的這三個數列有什么共同點?

(2)可歸納總結出以上數列的遞推公式嗎? 怎樣求和?

(3)分析這類問題的數學思想方法.

題組二: 典例分析,形成能力

已知數列{an}中a1=1,a2=4,an=an?2+2(n ≥3),其前n 項的和為Sn,求Sn.

變式: 已知數列{an} 滿足a1= 2, an+ an+1=3n+2(n ≥1),其前n 項的和為Sn,求Sn.

題組三: 高考體驗,提升思維

(2021年全國新高考Ⅰ卷第17 題) 已知數列{an} 中,a1=1,an+1=n為奇數,n為偶數,

(1)記bn=a2n,寫出b1,b2,并求數列{bn}的通項公式;(2)求{an}的前20 項和S20.

拓展: 已知數列{an} 中, a1= 1, anan+1=N?).

(1)求數列{an}的通項公式;

(2)設bn= a2n?1·求數列{bn}的前n 項和Sn.

【操作實施】

題組一采取的是限時訓練. 練習、點評及總結后,教師適時引導學生“觀察思考”,以此使學生感知解決該類型數列的通項與求和的方法,為后面的例題分析做好方法引導.

題組二采取的方法是: 在熱身訓練題的基礎方法鋪墊下,教師通過例題引導學生發(fā)現該數列的奇數項和偶數項分別成等差數列,在求和過程中引導學生對n 按奇數和偶數分別進行討論、求和. 接著通過變式題進行強化: 先讓學生自己嘗試解決問題,教師巡視、答疑,及時反饋;接著展示學生的答題情況進行針對性地點評. 在該題的訓練過程中,教師引導學生模仿例1,推出{an}的遞推公式an+1?an?1=3,進而求解.

題組三的“高考題”是本節(jié)課學習目標達成度的檢測. 從課堂上學生反映及知識落實情況看,這節(jié)課的設計與實施是成功的;“拓展”是給學有余力的學生做的,體現分層教學.

【教學啟示】

(1)觀察特征,靈活運用解題方法.

本節(jié)課的3 個遞推式: ①a1=1,a2=4,an=an?2+2;②a1= 2,an+an+1= 3n+2(n ≥1); ③a1= 1,an+1=都是同一種類型的數列,即數列{an}的奇數項與偶數項都是有相同公差的等差數列. 若從數列求和的角度,應靈活多變. 不要一味強調把奇數項的和與偶數項的和各自求出再相加. 如“典例分析”的變式題,即②式求Sn,我們可以有兩種處理方式:

一是求出數列{an}的通項公式后求和. 此時可以選擇“奇數項和偶數項分別求和再相加”,如:

當n=2k 時,

S2k=(a1+a3+...+a2k?1)+(a2+a4+...+a2k)

=[2+5+...+(3k ?1)]+(3+6+...+3k)

=3k2+2k.

當n=2k ?1 時,

S2k?1=S2k?2+a2k?1

=3(k ?1)2+2(k ?1)+(3k ?1)=3k2?k.所以,Sn=也可以選擇“并項相加”,如:

當n=2k 時,

S2k=(a1+a2)+(a3+a4)+...+(a2k?1+a2k)

=5+11+...+(6k ?1)=3k2+2k.

當n=2k ?1 時,

S2k?1=(a1+a2)+(a3+a4)+...+(a2k?3+a2k?2)+a2k?1

=S2k?2+a2k?1=3(k ?1)2+2(k ?1)+(3k ?1)

=3k2?k.

二是不求數列{an}的通項公式,直接對n 進行奇、偶數分類求得:

當n 為偶數時,

當n 為奇數時,

(2)抓住本質,凸顯數學思想引領.

對2021 新高考Ⅰ卷第17 題的處理, 上課教師是通 過bn+1?bn= a2n+2?a2n=a2n+1+ 1 ?a2n=a2n+ 2 + 1 ?a2n= 3, 證明出{bn} 為等差數列. 該方法體現了數列的函數思想,推理嚴謹. 但學生對以分段函數及遞推公式為背景的數列問題的解決感到困難.

如果引導學生結合題組一的(3)所列舉的前八項a1=1,a2= 2,a3= 4,a4= 5,a5= 7,a6= 8,a7= 10,a8= 11,得出b1= 2,b2= 5,b3= 8,b4= 11,學生很容易猜出數列{bn}的通項公式. 這也正是新教材的要求—通過運算發(fā)現規(guī)律的思想,即歸納的思想,若證明猜想的正確性,還需要借助于數學歸納法.

3 結束語

近幾年數列高考題型靈活多變,教師要深入研究新教材,強調數列是一種特殊的函數,突出函數特性;要讓學生經歷沿用函數中“事實—概念—性質—應用”的研究途徑,培養(yǎng)學生觀察與歸納的能力,體會從特殊到一般,再從一般到特殊的思維規(guī)律,以此發(fā)展學生的數學抽象、邏輯推理和數學運算核心素養(yǎng).