深度學習視角下的教學實踐與思考
——以“十字相乘法”為例

廣東省廣州市白云廣雅實驗學校 賀福凱

廣東省廣州市白云中學 郭根文

1 背景分析

在不斷深化基礎(chǔ)教育改革的今天,深度學習理念收到越來越多的教育工作者的認可和推崇. 它根植于一線課堂,從本源上揭示了教學的最終價值訴求: 我們所有教學設(shè)計的出發(fā)點和落腳點不是聚焦教師的“教”,而是通過教師的專業(yè)智慧和價值追求, 開發(fā)出生動, 鮮活, 富有創(chuàng)造性的教學活動,驅(qū)動學生全身心主動參與、積極探索,深度體驗,以期達成學生關(guān)鍵能力、必備品格的全面提升. 通過深度學習,學生理解了學習過程,掌握了核心知識,把握了學科的本質(zhì),領(lǐng)悟了思想方法,形成了積極的內(nèi)在學習動機和情感體驗. 因此,深度學習不僅賦予了我們高屋建瓴的觀念指引,更是給予了我們?nèi)绾螌⒗砟盥涞厣牟呗苑椒? 我們平時在教學中應該在深刻領(lǐng)悟其內(nèi)涵和精神的基礎(chǔ)上,結(jié)合實際需求努力地踐行.

十字相乘法是因式分解中一種重要的方法, 從人教版(2013 版)教學八下編排來看,十字相乘法是在已經(jīng)學習了公式法基礎(chǔ)上的一種“新法”探究,它主要適用對象是特定結(jié)構(gòu)的二次三項式“(x2+(p+q)x+pq)”. 筆者在平時教學中由于機緣巧合,聽了數(shù)次關(guān)于十字相乘法的課例. 在聽的過程中,發(fā)現(xiàn)大多數(shù)執(zhí)教者的設(shè)計思路都是這樣的模式: 首先舉一些基于(x+p)(x+q)結(jié)構(gòu)的多項式乘法的特殊例子,讓學生計算,計算完畢引導學生觀察,辨析結(jié)構(gòu),感知等式左右式子特點,接下來利用因式分解和整式乘法互逆關(guān)系,指引學生反向觀察,“自然”地引出了十字相乘法,之后指導學生如何將十字相乘法步驟程式化......

細細揣摩,“十字相乘法”這節(jié)課這樣設(shè)計和實施,真的凸顯了它的內(nèi)容價值嗎? 這節(jié)課實施效果真的“自然”嗎? 筆者不敢茍同,提出兩點商榷之處:

(1) 十字相乘法是整式的乘法與因式分解中最具統(tǒng)攝性的方法, 它不僅解決了因式分解中的二次三項式“(x2+ (p + q)x + pq) ”的問題, 揭示了公式法和其特殊與一般的關(guān)系,而且從根源上也直觀展現(xiàn)了整式的乘法的發(fā)展過程. 如果這節(jié)課的定位如果僅僅是讓學生獲取一種新的操作技能,那么其品味一定是淺層的,淡然無味的.

(2)正如第一點所述,由于執(zhí)教者在做教學設(shè)計時忽略了內(nèi)容的本質(zhì),以至于在實施時未能揭示出“十字相乘法”的來龍去脈(特別是十字相乘法的源頭),以至于在介紹十字相乘法的操作步驟時顯得突兀, 像是給學生“強行”植入一種“憑空產(chǎn)生”的方法,學生未能深度參與知識的構(gòu)建過程,感悟不“自然”.

帶著這樣的思考,結(jié)合深度學習的教學理念,筆者重新對課例做了修改,并在所任教班級進行試驗,效果良好,以下展示部分教學片斷.

2 教學過程

2.1 追根溯源,回顧舊知

問題1: 我們本章學習了整式的乘法,整式的乘法有哪幾種類型? 它們之間有什么關(guān)系? 用到的原理是什么?

學生1: 整式的乘法有單項式乘單項式,單項式乘多項式,多項式乘多項式,它們之間的關(guān)系是多項式乘多項式轉(zhuǎn)化為單項式乘多項式,單項式乘多項式轉(zhuǎn)化為單項式乘單項式,用到的原理是乘法分配律、加法交換律和結(jié)合律.

問題2: 你能具體舉一些多項式乘多項式的運算例子嗎?

教學活動: 學生按照自己的習慣自由的寫,老師進行適當收集,整理出有代表性的以下一些例子:

(1)(x+y)(a+2b+c)=ax+2bx+cx+ay+2by+cy

(2)(2a+3b)(c+d)=2ac+2ad+3bc+3bd

(3)(2x+y)(x ?3y)=2x2?5xy ?3y2

(4)(4a+b)(4a+b)=16a2+8ab+b2

(5)(3x+2y)(3x ?2y)=9x2?4y2

教學分析: 追溯因式分解的源頭: 整式的乘法. 功能除了回顧舊知,突出單元主線外(單項式×單項式為整章運算的核心,加法、乘法運算律為運算基礎(chǔ)). 還為后面研磨結(jié)構(gòu)特征環(huán)節(jié),自然引入十字相乘法埋下伏筆.

2.2 深挖細剖,重整認知

問題3: 結(jié)合多項式乘多項式原理,觀察以上例子. 你發(fā)現(xiàn)等式左右兩邊結(jié)構(gòu)的多項式的項和項數(shù)呈現(xiàn)什么特點?

學生2: 我觀察到(1)式左邊是二項式乘三項式,右邊得到六項式. (2)式左邊是二項式乘二項式, 右邊得到四項式.因此右邊多項式的項為左邊多項式的各單項式分別相乘后的結(jié)果,項數(shù)為左邊兩個多項式項數(shù)之積.

追問1: 請結(jié)合必要的圖示進行說明為何呈現(xiàn)以上特點.

學生2: 我試試,我將(1)、(2)式的運算過程展開,如圖1、圖2.

圖1

圖2

(1)式左邊二項式x+y 分別乘三項式a+2b+c 每一項,再求和,得ax+2bx+cy+ay+2by+cy. 因此共3×2=6項,且每一項皆是第一個多項式每一項和第二個多項式每一項乘積結(jié)果. (2)亦是同理.

很多學生投來贊許和肯定的目光……

追問2: 所有多項式的乘法都遵循這個規(guī)律嗎? (目光轉(zhuǎn)向全班)

學生3: 我不贊成生2 的觀點,舉(3)式作為例子,展開其運算過程,如圖3.

圖3

(3)式左邊相乘,求和得2x2?6xy+xy ?3y2,但還需要合并同類項(?6xy 與xy 為同類項) , 因此最終結(jié)果為2x2?5xy ?3y2,這時項數(shù)少了(只有三項),項也不純粹是左邊單項式和單項式的乘積.

“對哦”,“確實是這樣”,部分同學開始疑惑……

追問3: 為何會產(chǎn)生這些不同的情況? (乘積之后項和項數(shù)的不確定性)

教學活動: 學生帶著疑惑和不解開始思考,并聯(lián)合學習小組的組員進行交流和討論,大約持續(xù)了5 分鐘.

學生4(某學習小組代表): 我來發(fā)表一下看法,式子左邊兩個多項式的不同類型是造成右邊多項式項與項數(shù)不同情況的原因. 如(2)式左邊兩個多項式2a+3b 和c+d,組成它們的各項沒有同類項,因此運算之后不可能產(chǎn)生新的同類項,因此右邊多項式項數(shù)為2×2=4,項為左邊各項之積;而(3)式左邊兩個多項式為2x+y 和x ?3y,組成他們的各項有兩組同類項(2x 與x,y 與?3y),因此相乘過程是: 第一次運算是第一組同類項相乘(即2x 乘x 得2x2),不妨記為首項,第二次和第三次運算是非同類項交叉相乘,產(chǎn)生新的同類項?6xy 和xy,可將它們合并為?5xy,不妨記為中間項,第四次運算是第二組同類項相乘(即y 乘?3y 得?3y2),不妨記為尾項. 由于(3)式化簡期間有產(chǎn)生同類項和合并同類項的過程中,因此就產(chǎn)生了和(2)不同的情況……

師: 生4 說的非常好! 簡單地說,整式乘法運算后項與項數(shù)本質(zhì)上是由兩個多項式結(jié)構(gòu)組成決定的. 兩個多項式相乘,特別的,如果兩個多項式之間的組成要素(單項式)互為同類項(有別于一般的無同類項的多項式相乘),不同組別的同類項互相乘,結(jié)果仍產(chǎn)生不同組別的同類項,即為首項和尾項(無法合并). 兩多項式中非同類項交叉相乘,結(jié)果會產(chǎn)生新的同類項,這時就可以進一步合并,項和項數(shù)相比于一般的多項式相乘就會有變化了.

追問4: 大家現(xiàn)在對式子(4)、(5)有了新的認識了嗎?

多個學生:“平方差公式”、“完全平方公式”都是互為同類項的多項式相乘的特殊情況,特殊之處就在于組成他們的多項式之間的同類項相同或相反,導致第二次乘和第三次乘產(chǎn)生同號的同類項或異號的同類項,于是合并之后中間項產(chǎn)生“2 倍首項尾項之積(結(jié)果共3 項)”或“相消(結(jié)果共2 項)”的情況.

教學分析: 此環(huán)節(jié)旨在挑選典型的例子指引學生對已學公式再探究,充分激發(fā)學生的好奇心和探究欲望. 學生基于結(jié)構(gòu)特征進行深入“二次發(fā)現(xiàn)”后, 能從有別于新授課的角度對過去熟悉的知識的進行重新認識,特別是借助于直觀的“整式乘法圖示”(十字相乘法的雛形),學生能真實感受到不同類別的整式相乘的特殊和一般的關(guān)系,凸顯了本章的研究方法和主線!

2.3 類比思考,形成新知

師: 我們知道,因式分解是整式乘法的逆運算,結(jié)合以上的分析,大家進一步繼續(xù)思考. 以上的圖示分析方式是否能遷移到因式分解?

問題4: 請將下列式子進行因式分解.

(1)a2?16 (2)a2?4a+4 (3)a2?4a+3

學生5: 對于(1)式,首項為a2,尾項為?16,中間項無,即要求首項和尾項的分解項中的非同類項相互乘積后產(chǎn)生異號的新同類項. 如圖4: 因此a2?16=(a+4)(a ?4).

圖4

學生6: 對于(2)式,首項為a2,尾項為4,中間項為?4a,即要求首項和尾項的分解項中的非同類項相互乘積后產(chǎn)生?4a. 如圖5: 因此,a2?4a+4=(a ?2)(a ?2).

圖5

學生7: 對于(3)式,首項為a2,尾項為3,中間項為?4a,即要求首項和尾項的分解項中的非同類項相互乘積后產(chǎn)生?4a. 如圖6: 因此,a2?4a+3=(a ?1)(a ?3).

圖6

師: 生5、6、7 演示的非常好. 像這樣,豎向分解二次項,常數(shù)項,橫向組合分解項的方法,稱之“十字相乘法”.

教學分析: 本環(huán)節(jié)基于對已學知識進行重新認知的基礎(chǔ)上,引導學生悟出新技能. 由于前面環(huán)節(jié)知識支架已經(jīng)搭建的十分穩(wěn)固,特別是運用形象的整式乘法“圖示分析”,直觀展示了乘法過程. 因此學生在因式分解時,也會自然逆向思考,將“圖示”遷移過來,形成“十字相乘法”.

2.4 歸納反思,品味新知

師: 大家重新觀察問題4, 比較, 辨析三個式子, 繼續(xù)思考.

問題5: 這三個式子有什么特點? (引導學生從結(jié)構(gòu)上分析)你可以用一個式子概括出來了嗎?

學生8: 三個式子結(jié)構(gòu)都滿足: 首尾兩項分解后交叉相乘結(jié)果之和等于中間項. 可以用x2+(p+q)x+pq 概括.

追問: 如何將這個式子進行因式分解? 運用公式法因式分解和運用十字相乘法因式分解有何異同?

學生9: 運用十字相乘法, x2+ (p + q)x + pq =(x + p)(x + q), 運用公式法因式分解本質(zhì)上屬于十字相乘法的特殊應用,是p=q,p=?q 兩種情況.

師: 綜上所述,“十字相乘法”是一種普適性非常強的方法,是通法. 它可以解決特殊結(jié)構(gòu)(平方差和完全平方)因式分解問題,也可以解決一般的二次三項式結(jié)構(gòu)因式分解問題,甚至它還推動了整式的乘法的發(fā)展(整式乘法圖示).

問題6: 請大家結(jié)合本節(jié)課的探究和思考,做一個思維導圖.

3 教學感悟

3.1 精讀教材,整合教材是促使深度學習的首要前提

深度學習是對知識本質(zhì)的理解,對知識內(nèi)在聯(lián)系的認識和整體把握. 這要求我們在進行教學設(shè)計、組織教學活動時要重視對教材這一重要范本的解讀.“重視解讀”不是要將教材上的內(nèi)容奉為“金科玉律”,不加更改的照本宣科地傳遞給學生,而是應該通過精讀、整合等方式將教材內(nèi)部零散的知識點通過一定的邏輯關(guān)系串聯(lián)起來,形成主線. 本章內(nèi)蘊于知識的隱形主線是運算律與運算法則的運用引領(lǐng)了整式的乘法由簡至繁地發(fā)展,“十字相乘法”則是這條隱形主線的顯性推動者. 因此,“十字相乘法”的價值不應該僅僅局限于分解x2+(p+q)x+pq 式,它的“形”和“魂”還展示了運算律和運算法則在推動整式運算和因式分解發(fā)展時起到的引領(lǐng)和統(tǒng)攝作用. 因此我們在設(shè)計這堂課時,可以跳出教材的框架,從整體出發(fā),以重組和發(fā)展學生的認知結(jié)構(gòu)為目標,選擇熟悉的素材,設(shè)置基于本質(zhì)的問題串和活動鏈,引導學生深度感悟“十字相乘法”操作方法和思想引航的雙重屬性.

3.2 拉長研磨思維鏈條是促使深度學習的重要基礎(chǔ)

深度學習要求學生能夠全身心投入到具有挑戰(zhàn)性、富有思維含量的學習活動. 眾所周知,數(shù)學概念、原理教學的一般模式是引入—建立—鞏固—應用. 在實際教學中,很多教師基于應試功利化緣故,為了在短時間內(nèi)讓學生習得知識,強化技能,不惜壓縮甚至減免引入和建立的過程,快速給學生植入概念、原理等新知內(nèi)容后就進行大量機械重復訓練或題型歸類訓練,在此過程中,通過“變式”加大訓練難度,美名其曰:“思維訓練”. 這其實是一個觀念誤區(qū)! 實質(zhì)上,數(shù)學概念形成過程承載著數(shù)學最本質(zhì)的方法、思想及精神. 訓練學生的思維,提升學生的思維品質(zhì),就應該盡可能拉長引入—建立的思維鏈條. 在上面的課例中,筆者從數(shù)學知識和獲取數(shù)學知識的過程中聚焦思維的發(fā)力點(多項式乘以多項式,其結(jié)果項和項數(shù)的呈現(xiàn)結(jié)果,是由原來兩個多項式的結(jié)構(gòu)特點決定的),倒逼學生通過舉例,比較,辨析,歸納(圖示)等一系列思維活動深度參與“十字相乘法”的建構(gòu)過程. 探索過程是曲折的,中間可能有疑惑,有偏差,有沖突,但正是這些自然而豐富的“插曲”在里面,才會促使學生在思辨過程中思維不斷調(diào)整,不斷優(yōu)化,不斷完善,通過深度參與達到知識、方法、情感、體驗的多重發(fā)展.

3.3 激發(fā)學生的生長原動力是促使深度學習的最終歸宿

深度學習最終歸宿,不在于給學生傳授了多少知識,而在于激發(fā),喚醒,鼓舞學生生長的原動力,激勵他們成為問題的發(fā)現(xiàn)者、探索者及研究者. 正如以上分析,“十字相乘法”這節(jié)課的如要實現(xiàn)深度學習,最初的設(shè)計定位收獲的價值不僅僅是知識本身,更重要的是體悟到推動知識發(fā)展的“從整體到局部”的研究思想(本章大概念是整式的乘法,是整體,面向局部研究是單項式乘單項式,單項式乘多項式,多項式乘多項式);從特殊到一般、從一般到特殊的研究方法(本節(jié)課是從特殊的例子歸納出一般的規(guī)律,再用一般的規(guī)律去解釋特殊的例子)和“以簡馭繁”的研究觀念(十字相乘法作為一般方法統(tǒng)攝全章). 一旦學生將這些凝聚在思維活動中的經(jīng)驗、方法、觀念進行實質(zhì)性內(nèi)化,生成新的經(jīng)驗,組成新的認知系統(tǒng)的話,那么未來在研究新的對象和問題時,一定會變得有章可循,有理可依. 實現(xiàn)課堂培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題及分析問題、解決問題的能力的功能,從而發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng).