提升數(shù)學(xué)教育碩士教學(xué)設(shè)計水平途徑
——以“單項式除以單項式”教學(xué)設(shè)計為例

淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(235000) 蓋榮倩 張 昆

弗賴登塔爾說,“為教好學(xué)生數(shù)學(xué),就要懂得怎樣教”,即對一名數(shù)學(xué)教師來講,知道“如何教”比“教什么”更為重要,這就要求各大高校在培養(yǎng)未來數(shù)學(xué)教師的過程中投入更多的精力[1]. 隨著碩士研究生的擴(kuò)招,相信過不了多久,教育碩士研究生將會成為各中小學(xué)的主要師資力量,由于他們即將扮演的是千千萬萬中小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中方向標(biāo)的角色,因此數(shù)學(xué)教育碩士教學(xué)設(shè)計水平的提升將會是當(dāng)今社會需要著重關(guān)注的熱點問題. 那么,數(shù)學(xué)教育碩士的教學(xué)設(shè)計水平如何才能得到提升呢?

1 教學(xué)設(shè)計水平提升的具體途徑

教學(xué)設(shè)計是數(shù)學(xué)教學(xué)的呈現(xiàn)方式[2],好的教學(xué)設(shè)計直接影響數(shù)學(xué)課堂實施效果. 數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計是教師將教材中的數(shù)學(xué)知識點通過合適的教學(xué)法投射到學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的過程設(shè)計,因此數(shù)學(xué)教育碩士在進(jìn)行具體知識點的教學(xué)設(shè)計時需要很好地兼顧教材分析、學(xué)情分析、教學(xué)法分析三者之間的關(guān)系,其中,教材分析是構(gòu)成數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計及其課堂實施的邏輯起點[3],學(xué)情分析是在教材分析的基礎(chǔ)上仔細(xì)推測學(xué)生在學(xué)習(xí)某具體知識點時心理活動的起承轉(zhuǎn)合歷程,二者整合的結(jié)果構(gòu)成了教學(xué)法分析的基礎(chǔ),顯然以上三種分析過程也是教學(xué)設(shè)計的形成過程.

蘇格拉底在“產(chǎn)婆術(shù)”中通過向?qū)W生提出問題來引導(dǎo)學(xué)生自己進(jìn)行思考并得出結(jié)論,同樣在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計時,數(shù)學(xué)教育碩士也可以通過設(shè)置問題來使教學(xué)達(dá)到啟發(fā)學(xué)生思考的最優(yōu)效果,其中最關(guān)鍵的一步便是設(shè)置合適的“初始問題”(所謂“初始問題”是教師為引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識某個知識點而提出的適合學(xué)生本階段認(rèn)知結(jié)構(gòu)和心理活動的問題),“初始問題”的提出又源于“合適根據(jù)地”(學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已經(jīng)存有的組織具體發(fā)生新數(shù)學(xué)知識的合適素材的那個特定舊數(shù)學(xué)知識點,稱為“根據(jù)地”,其中將那種最適合于具體素材的“根據(jù)地”稱為“合適根據(jù)地”[4])的確立,如何確立“合適根據(jù)地”呢? 這就需要數(shù)學(xué)教育碩士在了解教材具體知識內(nèi)容、整體知識結(jié)構(gòu)以及學(xué)生心理活動特點的基礎(chǔ)上選擇合適的教學(xué)法,才能找到學(xué)生學(xué)習(xí)某具體數(shù)學(xué)知識點的“合適根據(jù)地”,設(shè)置合適的“初始問題”,以提高教學(xué)設(shè)計的有效性,達(dá)到的較高層次的教學(xué)設(shè)計水平.

然而,“紙上得來終覺淺, 絕知此事要躬行”, 本次研究若只是用理論描述而不用具體教材進(jìn)行分析體現(xiàn),難免會顯得蒼白,很難達(dá)到預(yù)期的效果,故這里選擇了人民教育出版社出版的《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》(以下簡稱“人教版教科書”)和上?？茖W(xué)技術(shù)出版社出版的《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》(以下簡稱“滬科版教科書”)中的同一知識點“單項式除以單項式”進(jìn)行分析比較,可以發(fā)現(xiàn): 在引入新課方面,人教版教科書通過“計算12a3b2x3÷3ab2”的問題引入新課,滬科版教科書是以思考題“怎樣計算15a4b3x2÷3a2b3”引入新課, 二者都是以單項式除以單項式的具體問題引入新課;在教學(xué)方法方面,二者都是引導(dǎo)學(xué)生把“單項式除以單項式”轉(zhuǎn)化為“單項式乘以單項式”,從而得到問題結(jié)果;在歸納總結(jié)方面,二者也都是充分發(fā)揮學(xué)生的感性思維,引導(dǎo)學(xué)生觀察所得等式存在的規(guī)律,最終得到運(yùn)算法則. 可見,以上兩版教材在整體知識內(nèi)容安排上差異較小,故筆者最終選擇了滬科版教科書七年級下冊“單項式除以單項式”這一教學(xué)內(nèi)容為例,展示“數(shù)學(xué)教育碩士教學(xué)設(shè)計水平提升”的具體過程.

2 教學(xué)設(shè)計水平提升過程

為方便本次研究過程的呈現(xiàn),這里將數(shù)學(xué)教育碩士教學(xué)設(shè)計水平提升的具體過程分為三個階段: 初步階段——尋找“合適根據(jù)地”設(shè)置“初始問題”;提高階段——啟發(fā)學(xué)生萌生數(shù)學(xué)觀念生成數(shù)學(xué)方法;完善階段——關(guān)注學(xué)生主體性完善教學(xué)設(shè)計. 下面依次分階段進(jìn)行分析.

2.1 初步階段: 尋找“合適根據(jù)地”設(shè)置“初始問題”

教育碩士們經(jīng)過思考,基于教材中所給的思考題“怎樣計算15a4b3x2÷3a2b3? ”對“單項式除以單項式”進(jìn)行教學(xué)設(shè)計并發(fā)表觀點,現(xiàn)將主要內(nèi)容實錄如下: (下文中所提到的“教碩”是指學(xué)科教學(xué)(數(shù)學(xué))專業(yè)在讀教育碩士,分別用數(shù)字1-5 進(jìn)行標(biāo)記區(qū)分)

教碩1: 先引導(dǎo)學(xué)生將“單項式除以單項式”轉(zhuǎn)化為“單項式乘以單項式”, 即( )·3a2b3= 15a4b3x2, 再分別列出( )×3 = 15,( )×a2= a4,( )×b3= b3,( )×1 = x2對學(xué)生進(jìn)行啟發(fā), 學(xué)生可以比較容易地得到括號里分別填5,a2,1,x2,從而得到單項式為5a2x2,即15a4b3x2÷3a2b3=5a2x2.

教碩2: 學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)學(xué)習(xí)過分?jǐn)?shù),知道分?jǐn)?shù)線具有除號的作用,因此教師可以引導(dǎo)學(xué)生將“單項式除以單項式”轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)的形式,即利用學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已經(jīng)存在的約分思想,把本節(jié)課的知識同化到他們已有的認(rèn)知體系中去,從而促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建立.

注: 以上兩位教育碩士的教學(xué)法都源于教材分析中的宏觀分析,關(guān)注點在于知識點與知識點之間的聯(lián)系,把學(xué)生思維限制在某個單元中,這只是學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的“根據(jù)地”,但并非“合適根據(jù)地”,不利于學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展過程的實質(zhì). 作為一名數(shù)學(xué)教師,要想找到學(xué)生學(xué)習(xí)某具體數(shù)學(xué)知識點的“合適根據(jù)地”,就要學(xué)會運(yùn)用教材分析中的微觀分析,分析每一個要素的功能、作用.

教碩3: 引導(dǎo)學(xué)生將“單項式除以單項式”轉(zhuǎn)化為“單項式乘以單項式”(學(xué)生之前已經(jīng)學(xué)過的知識),即( )·3a2b3=15a4b3x2,考慮到存在教師所教授班級的學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差,不能觀察出括號內(nèi)應(yīng)填單項式的情況,教師可以告訴學(xué)生運(yùn)用待定系數(shù)、待定指數(shù)法的思想提出假設(shè): 設(shè)括號里的單項式為kambnxp,從而得到kambnxp·3a2b3=15a4b3x2,通過列方程3k =15,am+2=a4,bn+3=b3,xp=x2求解可以得到k =5,m=2,n=0,x=2,由于b0=1,故括號里的單項式為5a2x2,最終得到15a4b3x2÷3a2b3=5a2x2. 具體如圖1(所設(shè)計成的PPT 進(jìn)行了相應(yīng)的壓縮,下同).

圖1

通過以上案例可以看出,當(dāng)數(shù)學(xué)教育碩士教學(xué)設(shè)計水平處于初步階段時,教碩1 和教碩2 的觀點只是以之前學(xué)習(xí)的知識點為“根據(jù)地”將教材中的新知識傳遞給了學(xué)生,在這個過程中對學(xué)生思維意識的培養(yǎng)產(chǎn)生了較小的影響,也就是說,這種教學(xué)設(shè)計僅僅只是針對特定知識點進(jìn)行設(shè)計,并沒有貫穿學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過程. 但值得肯定的是,教碩3 的觀點在前兩者的基礎(chǔ)上有了很大的創(chuàng)新,他運(yùn)用待定系數(shù)、待定指數(shù)法的思想(“合適根據(jù)地”)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計,能夠激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的火花,具有很好的數(shù)學(xué)教學(xué)價值,在實際數(shù)學(xué)教學(xué)中,數(shù)學(xué)教師們所缺少的就是這種能夠提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的教學(xué)法. 可見,基本數(shù)學(xué)思想不會白紙黑字寫在教科書上,而是蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識的形成、發(fā)展過程中,蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)問題的剖析、解決過程中,教學(xué)中教師要能夠透過知識看思想,通過合理設(shè)計,引導(dǎo)學(xué)生逐步感悟數(shù)學(xué)思想[5].

2.2 提高階段: 啟發(fā)學(xué)生萌生數(shù)學(xué)觀念生成數(shù)學(xué)方法

在初步階段中,教師只是引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用待定系數(shù)、待定指數(shù)法的思想求出了特定的單項式除以單項式的值,但并未擴(kuò)展到全部單項式除以單項式的求解方式,即運(yùn)算法則. 難道學(xué)生在今后遇到這種問題時依舊要運(yùn)用這種比較繁瑣的方式進(jìn)行求解計算嗎? 顯然,這是不現(xiàn)實的. 因此,教師在幫助學(xué)生找到“合適根據(jù)地”的同時,也要啟發(fā)學(xué)生萌生數(shù)學(xué)觀念,生成數(shù)學(xué)方法,即引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納出“單項式除以單項式”的運(yùn)算法則,以便于學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)中能夠直接使用.因此,教育碩士們經(jīng)過思考與討論,對這個知識點的教學(xué)過程做了進(jìn)一步補(bǔ)充.

教碩4: 在教碩3 教學(xué)實施所得到的結(jié)果15a4b3x2÷3a2b3= 5a2x2基礎(chǔ)之上,引導(dǎo)學(xué)生觀察系數(shù)、同底數(shù)冪分別在被除數(shù)、除數(shù)、商三個位置上的關(guān)系(學(xué)生之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了同底數(shù)冪的除法法則). 先觀察系數(shù)15÷3 = 5,再觀察同底數(shù)冪a4÷a2=a2;b3÷b3=1,學(xué)生可以發(fā)現(xiàn): 把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除作為商的因式;另外,還剩下字母x 這種特殊情況未被描述,教師可以引導(dǎo)學(xué)生分析x 只出現(xiàn)在被除式和商中,最終總結(jié)得出: 對于只在被除式中含有的字母,則連同它的指數(shù)作為商的一個因式. 具體如圖2.

圖2

通過以上案例可以看出,當(dāng)數(shù)學(xué)教育碩士教學(xué)設(shè)計水平處于提高階段時,教碩4 能夠在教碩3 的教學(xué)基礎(chǔ)之上進(jìn)行補(bǔ)充,引導(dǎo)學(xué)生把之前所學(xué)的知識點自然而然地運(yùn)用到對當(dāng)前知識點的理解過程中,學(xué)生不僅對前面所學(xué)的知識點進(jìn)行了復(fù)習(xí)鞏固,加深印象,而且能將前后知識點聯(lián)系起來,把新知識納入自身已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去,促進(jìn)了對新知識的理解;此外,在教師的引導(dǎo)下,學(xué)生通過觀察總結(jié)出“單項式除以單項式”的運(yùn)算法則,更能加深其對這個知識點的記憶,應(yīng)用起來也更得心應(yīng)手. 可見,本階段數(shù)學(xué)教育碩士能夠相對完整地完成某個知識點的教學(xué)設(shè)計,但在某些細(xì)微之處還存在問題,例如: 板書設(shè)計不規(guī)范、重難點突出不明顯、一味灌輸數(shù)學(xué)思想等方面,還需要進(jìn)行進(jìn)一步修改和完善,才能更好地完成這個知識點的教學(xué)設(shè)計.

2.3 完善階段: 關(guān)注學(xué)生主體性完善教學(xué)設(shè)計

針對上述兩個階段教學(xué)實施過程中出現(xiàn)的一些問題,教育碩士們對“單項式除以單項式”的教學(xué)設(shè)計進(jìn)行了思考與完善,最后,由教碩5 進(jìn)行教學(xué)演示,具體教學(xué)過程如下:

首先,教師帶領(lǐng)學(xué)生一起分條回顧“單項式乘以單項式”的運(yùn)算法則,并進(jìn)行板書(板書的必要性在于防止數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差的學(xué)生無法回憶起這個知識點,從而跟不上課程節(jié)奏),自然地引出“單項式除以單項式”的課程內(nèi)容;

其次,運(yùn)用教材中所給的思考題: 怎樣計算15a4b3x2÷3a2b3? 引發(fā)學(xué)生思考, 顯然, 學(xué)生之前沒有學(xué)過“單項式除以單項式”的運(yùn)算法則, 無法進(jìn)行計算, 這時教師可以提示學(xué)生“除法是乘法的逆運(yùn)算”并簡單舉例示范, 引導(dǎo)學(xué)生將“單項式除以單項式”轉(zhuǎn)化為“單項式乘以單項式”, 即( ) · 3a2b3= 15a4b3x2, 接下來, 教師引導(dǎo)學(xué)生猜想: 括號中可能包含哪些元素?[6]學(xué)生可以比較容易地得出元素的集合為: 系數(shù), 字母a,b,x(提示: 商中的元素不可能比被除式中的元素多) , 此時, 教師可順勢引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用待定系數(shù)、待定指數(shù)法的數(shù)學(xué)思想提出假設(shè): 設(shè)這個單項式為kambnxp(在初步階段中, 教碩3 是采用灌輸式教學(xué)法直接告訴學(xué)生待定系數(shù)、待定指數(shù)法的數(shù)學(xué)思想, 并沒有對學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo), 很難形成學(xué)生自己的數(shù)學(xué)思維意識) , 從而得到kambnxp· 3a2b3= 15a4b3x2, 再通過列方程3k = 15,am+2= a4,bn+3= b3,xp= x2求解可以得到k = 5,m=2,n =0,x=2,由于b0=1,故括號里的單項式為5a2x2,最終得到15a4b3x2÷3a2b3=5a2x2.

最后, 教師引導(dǎo)學(xué)生觀察得到的式子15a4b3x2÷3a2b3= 5a2x2(考慮到部分?jǐn)?shù)學(xué)基礎(chǔ)較差的學(xué)生可能無法找到觀察的切入點, 因此教師可以提示學(xué)生主要觀察系數(shù)、同底數(shù)冪分別在被除數(shù)、除數(shù)、商三個位置上的關(guān)系,并以“單項式乘以單項式”的運(yùn)算法則格式為參照),先觀察系數(shù)15÷3 = 5,學(xué)生可以發(fā)現(xiàn): 系數(shù)的商作為商的系數(shù);再觀察含有同底數(shù)冪的兩組等式a4÷a2=a2;b3÷b3=1,學(xué)生可以發(fā)現(xiàn): 同底數(shù)冪的商作為商的因式(此前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過同底數(shù)冪的運(yùn)算法則);另外,還剩下字母x 這種特殊情況未被描述,教師可以引導(dǎo)學(xué)生分析x 只出現(xiàn)在被除式和商中,最終教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出: 對于在被除式中含有的字母,連同它的指數(shù)一起作為商的一個因式. 具體如圖3:

圖3

本階段教學(xué)設(shè)計相比較前兩個階段主要從以下三個方面進(jìn)行了完善: 首先,在PPT 設(shè)計方面,更加簡潔明了,學(xué)生能夠據(jù)此明確本節(jié)課的重點和難點,便于形成清晰的認(rèn)知結(jié)構(gòu)體系;其次,在數(shù)學(xué)思想引入方面,將“直接告訴學(xué)生”的灌輸法轉(zhuǎn)變?yōu)椤白寣W(xué)生自己去猜想、假設(shè)”的引導(dǎo)法,充分體現(xiàn)了學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體,教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者. 最后,在歸納運(yùn)算法則方面,給學(xué)生一些提示進(jìn)行引導(dǎo)而不是直接告訴學(xué)生現(xiàn)成答案,為學(xué)生的觀察活動提供了很好的切入點,同時也照顧到了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差的學(xué)生,充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)要面向全體學(xué)生. 以上完善之處盡顯義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的課程基本理念,有利于激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣,使學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識和技能,體會和運(yùn)用基本的數(shù)學(xué)思想和方法,獲得基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗[7].

3 結(jié)語

在“數(shù)學(xué)教育碩士教學(xué)設(shè)計水平提升”的整個過程中,數(shù)學(xué)教育碩士從教材的宏觀分析轉(zhuǎn)變?yōu)槲⒂^分析,從教數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)變?yōu)榻虜?shù)學(xué)思想,從講授式教學(xué)法轉(zhuǎn)變?yōu)閱l(fā)式教學(xué)法,在這個過程中不僅找到了適合學(xué)生學(xué)習(xí)某具體數(shù)學(xué)知識點的“合適根據(jù)地”,引導(dǎo)學(xué)生主動去探索數(shù)學(xué)新知,還將數(shù)學(xué)思想貫穿于課堂教學(xué)的全過程,啟發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維意識,從整體上看教學(xué)設(shè)計水平呈現(xiàn)出一種逐步上升的趨勢. 可見,數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計是一門藝術(shù),需要教師用心鉆研教材,深入了解學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和心理活動特點,仔細(xì)推敲學(xué)生在學(xué)習(xí)某一特定知識時心理活動繞不過去的關(guān)鍵環(huán)節(jié),在教學(xué)中加以鋪墊、渲染、烘托,啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行猜想和假設(shè),形成自己的認(rèn)識和理解,從而激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思想,觸動學(xué)生的數(shù)學(xué)靈感,更好地啟發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思考,進(jìn)而優(yōu)化思維素質(zhì),提高解決問題的能力[8]. 唯有如此,數(shù)學(xué)教育碩士才能真正提升教學(xué)設(shè)計水平.