注重數(shù)學思想滲透,提高數(shù)學法則教學質量
——以“冪的乘方”教學為例

重慶市合川太和中學(401555) 陳開龍

重慶市合川瑞山中學(401520) 余曉君 羅 菊

數(shù)學運算, 是高中數(shù)學的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析這六大核心素養(yǎng)[1]之一.教會學生數(shù)學運算, 是中學數(shù)學教學最重要最基本的要求.章建躍博士強調,運算是數(shù)學的“童子功”. 學生只有練好了運算“童子功”,才能提高數(shù)學成績. 而數(shù)學運算又依賴于數(shù)學運算法則,于是數(shù)學法則教學就成為培養(yǎng)中學生數(shù)學運算能力的關鍵.

那么,如何有效地開展數(shù)學法則教學呢? 我們認為,數(shù)學法則教學要注重數(shù)學思想滲透,突出法則教學的“思想味”[2],“將法則的學術形態(tài)轉化為教育形態(tài)”[3],在法則的引出與形成過程、與所學法則的比較、法則的直接運用與活用等教學環(huán)節(jié),讓學生體會法則的實質,把法則學活用活,從而提高法則教學質量. 本文,我們以初中“冪的乘方”教學為例,談談數(shù)學法則教學滲透數(shù)學思想的途徑與方法.

1 在法則引出中滲透數(shù)學歸納思想

數(shù)學法則的引出和形成過程,可以從舊知識逐步過渡到新知識,從特殊到一般、從具體到抽象去設計法則引出的問題串, 讓學生在解答問題串的過程中自然地引出數(shù)學法則,從而滲透歸納思想等數(shù)學思想,培養(yǎng)學生數(shù)學歸納能力等能力.

例如,冪的乘方法則“(am)n=amn”的引出和形成過程,可這樣設計:

問題串: 請同學們用前面學過的知識填空:

(1)23=____×____×____;

(2)(32)3=____×____×____=____;

(3)(a2)3=____·____·____=____;

(4)(am)3=____·____·____=____(m 是正整數(shù));

(5)猜想(am)n=____(m,n 是正整數(shù));

(6)驗證你的猜想:

(7)用文字敘述你的結論:________________________.

這里,從學生學過的乘方法則出發(fā),設計了七個問題組成的問題串. (1)題以簡單的計算復習乘方法則,(2)(3)題進一步拓展乘方運算,(4)題過渡到冪的乘方運算,(5)題猜想出冪的乘方法則,(6)題驗證猜想出的冪的乘方法則,(7)題用文字敘述冪的乘方法則. 這樣設計,突出了學生學習主體,讓學生在做中學、做中悟,經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等探究活動,有利于培養(yǎng)“四基”(基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗)[4].

在上面問題串中,冪的底數(shù)由2 →32→a →a2→am,冪的指數(shù)由3 →n,既滲透了用字母代替數(shù)、代替其它字母和代數(shù)式的代數(shù)思想,又滲透了從特殊到一般、從簡單到復雜、從舊知識到新知識的數(shù)學歸納思想,以及“先猜后證”的數(shù)學思維方式. 這樣,學生經(jīng)歷了冪的乘方法則的形成過程,理解其內涵,有利于提高法則教學質量.

2 在法則比較中滲透數(shù)學類比思想

俗話說,有比較才有鑒別. 數(shù)學教學就是要多進行比較教學、類比教學,幫助學生厘清相關數(shù)學知識的區(qū)別與聯(lián)系,有利于形成知識網(wǎng)絡,把知識學得更牢. 因此,在新法則教學過程中,我們要有意識地將新法則與學過的法則進行比較或類比,把新法則運算融入到所學法則的混合計算中去,讓學生在對比和類比中深度學習.

2.1 與所學法則比較

表1 冪的乘方法則與同底數(shù)冪的乘法法則比較

學生剛學習冪的乘方法則,很容易和前面學的同底數(shù)冪的乘法等法則混淆,為突出該重點和突破該難點,可采取列表的方式進行對比教學.

這里,表格式比較,內容具體、對比性強,有利于學生區(qū)分法則. 比較內容涉及兩個法則的運算式子、運算結果、冪的底數(shù)和指數(shù)的變化,便于學生理解和記憶.

2.2 與所做習題比較

新法則教學,我們要有意識地設計一些與所學法則容易混淆的判斷題或混合計算題,讓學生在運算中進一步理解法則,能檢驗學生是否理解了所學法則.

例1計算: (1)(?x)7·2(x4)3;(2)(y3)2+(y2)3?2y·y5.

這里,(1)題綜合考查學生對乘方法則、同底數(shù)冪乘法法則和冪乘方法則的理解,通過解答,讓學生明白什么時候冪的指數(shù)相加、相乘. (2)題綜合考查學生相同冪的合并、同底數(shù)冪乘法法則和冪的乘方法則,通過解答,讓學生明白什么時候冪的系數(shù)相加減,什么時候冪的底數(shù)、指數(shù)不變,什么時候冪的指數(shù)相加、相乘.

這樣,通過設計法則的混合運用,強化了學生對所學多個法則的理解,從而主要滲透數(shù)學知識對比與數(shù)學類比思想.

3 在法則運算中滲透數(shù)學整體思想

整體思想,是代數(shù)學習中常用的一種數(shù)學思想方法與技巧. 例如: 求某些條件代數(shù)式的值常用到整體代入;求某些含有多個條件等式的代數(shù)式的值,有時將多個等式進行整體相加(相減、相乘、相除)運算. 在求代數(shù)式值的過程中,通過整體代入、整體求解、整體設元、整體運算等教學,從而滲透數(shù)學整體思想.

3.1 整體代入

整體代入,就是將某個代數(shù)式當作一個字母(整體),將它的值代入到所求代數(shù)式中去計算. 簡單地理解,整體代入就像把行囊“打包”拎走那樣.

例2已知10m=3,10n=2,求下列各式的值:

(1)103m;(2)103m+2n.

這里, 把已知中的10m和10n當作一個數(shù)(整體) , 將(1)題中的103m向已知轉化,變形為(10m)3,再把10m的值代入即可. 將(2)題中的103m+2n向兩個已知轉化,變形為(10m)3×(10n)2,再把已知整體代入即可.

本題,我們并不去求出m 和n 的值,而是通過將所求代數(shù)式進行整體構造,使之與已知條件關聯(lián),然后把已知整體代入式子求解,該過程主要滲透了整體代入思想.

3.2 整體運算

整體運算,就是將某個或某幾個代數(shù)式當作一個整體進行運算. 在整體運算中滲透數(shù)學整體思想.

例3計算: (1)(2)[(x ?y)2]3.

(1)題計算有兩種思路: 一是由內向外依次去括號計算,兩次運用冪的乘方法則計算得出結果;二是由外向內依次去括號計算,先把(a2)3當成一個冪(整體),用冪的乘方法則計算,接著再進行冪的乘方運算. (2)題直接將底數(shù)x ?y 這個多項式當作一個字母(整體),直接用冪的乘方法則計算.在本題教學中,主要滲透了整體運算思想.

4 在法則活用中滲透數(shù)學轉化思想

數(shù)學轉化思想,就是將數(shù)學問題變成學過的數(shù)學問題解決、復雜數(shù)學問題變成幾個簡單數(shù)學問題解決. 轉化思想是我們解答數(shù)學題的重要思想方法. 解答數(shù)學問題的過程,就是一個將所求解問題不斷地進行轉化的過程,最終把所求問題化為容易問題而加以解決. 就冪的乘方法則而言,在靈活運用法則過程中,通常要轉化冪的底數(shù)或指數(shù),從而滲透數(shù)學轉化思想.

4.1 轉化冪的底數(shù)

例4計算: (p ?q)3[(q ?p)3]2.

乍看,本題兩個冪的底數(shù)不同,無法計算. 但引導學生仔細觀察發(fā)現(xiàn),兩個底數(shù)是互為相反數(shù)的,我們只要改變兩底數(shù)中任何一個底數(shù)的符號,式子便轉化為同底數(shù)冪乘法和冪乘方的混合運算,從而滲透數(shù)學的轉化思想和整體思想.

4.2 轉化冪的底數(shù)和指數(shù)

例5已知2x+3y ?7=0,求4x·8y的值.

乍看,本題已知和所求式子毫不相干. 引導學生仔細觀察和分析發(fā)現(xiàn),方程2x+3y ?7=0 和4x·8y中的字母、系數(shù)、底數(shù)有著內在聯(lián)系. 通過逆用冪乘方法則和同底數(shù)冪乘法法則,將所求式子4x·8y朝著已知條件轉化,去改變換冪的底數(shù)和指數(shù): 4x·8y=(22)x·(23)y=22x·23y=22x+3y,再把已知化為2x+3y =7,整體代入即可.

通過本題教學, 我們既培養(yǎng)了學生的逆向思維與能力,又滲透了轉化思想和整體構造、整體代入等數(shù)學思想方法.

5 在法則逆用中滲透數(shù)學分類思想

數(shù)學法則多以等式(公式)形式出現(xiàn),具有可逆性. 比如,將冪的乘方法則倒過來寫,得到amn= (am)n= (an)m(m,n 為正整數(shù)) . 這里, 積相等的兩個指數(shù)不確定, 如312 =(31)12=(32)6=(36)2=(33)4=(34)3等. 正是這種不確定性,在解答過程中滲透了數(shù)學分類思想.

例6小明和小華比較3500,4400,5300的大小. 小明說:“因為3500的指數(shù)最大,所以3500的值最大”;而小華卻不服氣地說:“因為5300的底數(shù)最大,所以5300的值應該最大.”同學們,他們倆誰說得對呢?

本題屬大數(shù)的大小比較問題,無法硬算,難度較大. 引導學生探究發(fā)現(xiàn),將冪的底數(shù)和指數(shù)分別進行整體構造轉化能夠求解. 這里, 有兩種構造轉化思路: 一是將三個冪化成同底,去比較指數(shù)大小;二是將三個冪化成同指數(shù),去比較底數(shù)大小. 因三個底數(shù)3、4、5,既有奇數(shù)又有偶數(shù),我們不能將其轉化成同底數(shù)的冪,于是只能通過化同指數(shù)來解決.

那么, 三個指數(shù)500、400、300 向哪個正整數(shù)轉化呢? 顯然, 只能找其公約數(shù), 如100, 50, 10, 5, 2 等. 于是, 將3500, 4400, 5300轉化成(35)100,(44)100,(53)100, 即(243)100,(256)100,(125)100. 這樣,只需比較三個底數(shù)的大小即可. 很顯然,小明和小華均沒說對,是4400最大.

這樣,通過本題教學,我們重點滲透了數(shù)學的分類思想和轉化思想.

6 結束語

以上,我們從數(shù)學思想視角出發(fā),以初中“冪的乘方”教學為例, 探討了數(shù)學法則教學滲透數(shù)學思想的途徑與方法,這對我們的中學數(shù)學法則教學和提高課堂數(shù)學教學質量具有一定的參考價值和教學指導作用. 在這里,我們還特地說明三點: 一是數(shù)學思想滲透須有載體. 我們不能僅在一節(jié)課最后小結時生硬地、輕描淡寫地說出本節(jié)課涉及到了哪些數(shù)學思想,而要在數(shù)學法則的引出、比較、運用等教學過程中有機地滲透數(shù)學思想,讓學生真正地體會數(shù)學思想,真切感受到數(shù)學思想的重要性. 這是因為,數(shù)學思想是對數(shù)學知識的本質認識,是高于具體數(shù)學內容的一種指導思想和普遍適用的方法[5],它不同于配方法、換元法等具體方法學生容易接受,重點要讓學生去體會才行. 二是數(shù)學思想的教學不能一蹴而就,需要我們在平時教學中不斷滲透,讓學生不斷接受數(shù)學思想的熏陶, 培養(yǎng)學生在數(shù)學思想指導下解題的習慣,從而提高數(shù)學教學質量. 三是為行文方便,在法則教學的每個環(huán)節(jié),我們重點探討了一種數(shù)學思想滲透,但這并不意味著各環(huán)節(jié)只能滲透一種數(shù)學思想,而實際情況恰恰相反,一個教學環(huán)節(jié)往往滲透著多種數(shù)學思想.