讓問(wèn)題搖動(dòng)問(wèn)題,讓題干枝繁葉茂
——一堂幾何復(fù)習(xí)課的思考

廣東省佛山市順德區(qū)容桂街道四基中學(xué)(528305) 邱志剛

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》提出,學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí),不能依賴死記硬背,而應(yīng)以理解為基礎(chǔ),并在知識(shí)的應(yīng)用中不斷鞏固和深化. 為了幫助學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)知識(shí),教師應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)與學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系、與學(xué)生學(xué)科知識(shí)的聯(lián)系,組織學(xué)生開(kāi)展實(shí)驗(yàn)、操作、嘗試等活動(dòng),引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、分析,抽象概況,運(yùn)用知識(shí)進(jìn)行判斷. 教師還應(yīng)揭示知識(shí)的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)及其體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想,幫助學(xué)生理清相關(guān)知識(shí)之間的區(qū)別和聯(lián)系等. 根據(jù)學(xué)科的特點(diǎn),讓學(xué)生在應(yīng)用中不斷鞏固和深化,讓知識(shí)有“生長(zhǎng)點(diǎn)”和“延伸點(diǎn)”,使學(xué)生能感受知識(shí)的結(jié)構(gòu)和體系. 本文以人教版九年級(jí)上冊(cè)“切線的證明與計(jì)算”復(fù)習(xí)課教學(xué)中,筆者借助基本構(gòu)圖,讓題目不斷生長(zhǎng),從而培養(yǎng)學(xué)生在經(jīng)歷題目的“生長(zhǎng)”、“延伸”過(guò)程中感受到數(shù)學(xué)的整體性.

1 內(nèi)容分析

本節(jié)內(nèi)容是在前面學(xué)完“直線和圓的位置關(guān)系”后的一節(jié)知識(shí)總結(jié)復(fù)習(xí)課. 這節(jié)課包含著切線的判定以及利用切線的性質(zhì)進(jìn)證明和計(jì)算,既是學(xué)生剛學(xué)完圓的基本知識(shí)的一個(gè)總結(jié)又為后續(xù)學(xué)習(xí)“圓和圓的位置關(guān)系”奠定基礎(chǔ),是一節(jié)承上啟下的復(fù)習(xí)課,同時(shí),本節(jié)課內(nèi)容在“圓”這一章中具有核心地位,體現(xiàn)在線和圓、圖形和圓的關(guān)系,在中考中的比重也比較大.

它的重點(diǎn)內(nèi)容主要包含切線的判定、切線的證明、切線的計(jì)算以及內(nèi)切圓和畫(huà)圖. 以往教師在上數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課時(shí)容易形成一套思維定勢(shì): 概念、性質(zhì)、定理的回憶;例題選講1、2;配以一定比例的練習(xí)題;小測(cè)試反饋,導(dǎo)致復(fù)習(xí)課往往是教師一言堂、滿堂灌. 但數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課絕不是對(duì)知識(shí)的簡(jiǎn)單重復(fù),而是學(xué)生認(rèn)知的繼續(xù)、深化和提高. 事實(shí)上,上好復(fù)習(xí)課,對(duì)學(xué)生鞏固學(xué)過(guò)的知識(shí),為后面的學(xué)習(xí)打下良好基礎(chǔ),至關(guān)重要. 因此,本節(jié)課的設(shè)計(jì)是通過(guò)一道基礎(chǔ)題不斷生長(zhǎng),讓學(xué)生在題目的生長(zhǎng)過(guò)程中深化概念的認(rèn)識(shí)、理解知識(shí)的運(yùn)用和構(gòu)建圓的模型.

2 學(xué)情分析

因?yàn)槭菑?fù)習(xí)課,學(xué)生在此之前已學(xué)習(xí)了“直線和圓的位置關(guān)系”,對(duì)基本概念、知識(shí)運(yùn)用已有了一定的掌握,基本了解切線證明所需的條件,從復(fù)習(xí)前期的學(xué)生反饋來(lái)看,還有相當(dāng)一部分學(xué)生對(duì)切線證明幾種方式的運(yùn)用還不太了解,對(duì)于應(yīng)用勾股定理來(lái)進(jìn)行切線的計(jì)算雖然有了初步的認(rèn)識(shí),但比較恐懼復(fù)雜圖形下的問(wèn)題. 九年級(jí)的學(xué)生已有了一定的抽象邏輯思維,因此,本節(jié)課從模型數(shù)學(xué)開(kāi)始,通過(guò)題干的逐步生長(zhǎng)讓學(xué)生的思維隨之而生長(zhǎng).

3 教學(xué)目標(biāo)

①經(jīng)歷題目的生長(zhǎng),從中找到直線和圓的位置關(guān)系,并歸納出圓切線的幾種判定方法;在生長(zhǎng)過(guò)程中,通過(guò)實(shí)驗(yàn)、操作、嘗試活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析和抽象概況.

②利用切線的性質(zhì)進(jìn)行線段和角的計(jì)算或論證并解決有關(guān)問(wèn)題;

③通過(guò)知識(shí)的遷移,感受數(shù)學(xué)知識(shí)的價(jià)值和魅力,培養(yǎng)合作學(xué)習(xí)的意識(shí)和探索精神.

4 教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn): (1)歸納出圓的切線的幾種判定方法; (2)利用切線的性質(zhì)進(jìn)行線段和角的計(jì)算或論證.

難點(diǎn): 通過(guò)活動(dòng)以及題目的生長(zhǎng)了解知識(shí)的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)及其體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想.

5 教學(xué)過(guò)程

5.1 夯實(shí)基礎(chǔ)、知識(shí)梳理

典例1: 如圖1,AB 與⊙O 相切于點(diǎn)A, 已知OA = 3, AB = 4, 則OB =____.

圖1

變式1: 如圖2-1, AB 與⊙O 相切于點(diǎn)A, 若AB = 4, BC = 2, 則⊙O 的半徑=____.

變式2: 如圖2-2,AB 與⊙O 相切于點(diǎn)A,連接AC,如果OC =AC,則∠BAC =____.

變式3: 如圖2-3,上題條件不變,延長(zhǎng)AO 交⊙O 于點(diǎn)D,連接CD,則∠D =____.

2-1

2-2

2-3

活動(dòng)預(yù)設(shè): 學(xué)生能較快速地完成例題和變形題,從解題的過(guò)程中能了解圖形的結(jié)構(gòu)和定義、性質(zhì)以及相關(guān)聯(lián)的知識(shí).

設(shè)計(jì)說(shuō)明: 傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)模式以知識(shí)的重現(xiàn)為主線,在本節(jié)課的知識(shí)梳理中,采用了問(wèn)題式的訓(xùn)練,學(xué)生通過(guò)解決一個(gè)個(gè)問(wèn)題得出相關(guān)的概念,從最簡(jiǎn)單的基本圖形模型——圓背景下的直角三角形進(jìn)行變式,用幾何畫(huà)板讓學(xué)生感受圖形的變換和生長(zhǎng),通過(guò)基礎(chǔ)訓(xùn)練去復(fù)習(xí)切線的性質(zhì)定理及應(yīng)用,同時(shí)讓學(xué)生用思維導(dǎo)圖的方式進(jìn)行知識(shí)梳理,讓學(xué)生初步體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系和銜接,對(duì)后續(xù)題目的繼續(xù)生長(zhǎng)有一定的幫助.

5.2 歸納總結(jié)、脈絡(luò)整理

活動(dòng)預(yù)設(shè): 學(xué)生通過(guò)對(duì)例題及變式題的訓(xùn)練,通過(guò)總結(jié)和歸納,小組把知識(shí)點(diǎn)利用思維導(dǎo)圖的方式對(duì)所學(xué)的概念進(jìn)行歸納和梳理,這塊知識(shí)點(diǎn)先讓學(xué)生進(jìn)行預(yù)習(xí)作業(yè),隨后讓小組推舉學(xué)生上來(lái)展示和解釋.

知識(shí)梳理:

設(shè)計(jì)說(shuō)明: 通過(guò)學(xué)生畫(huà)的思維導(dǎo)圖把已學(xué)“圓和直線位置關(guān)系”的知識(shí)結(jié)構(gòu)、知識(shí)脈絡(luò)梳理得更清晰、清楚,課堂里再讓各個(gè)小組對(duì)所畫(huà)的思維導(dǎo)圖進(jìn)行整理和完善,讓小組代表把完善修改后的思維導(dǎo)圖進(jìn)行展示. 目的旨在讓學(xué)生進(jìn)行不同畫(huà)法的比較,以便取長(zhǎng)補(bǔ)短讓學(xué)生初步體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的緊密關(guān)系.

5.3 課堂探究、方法提煉

典例2.(變式3 的進(jìn)一步變式)如圖3,AD 是⊙O 的直徑,C 是⊙O 上的一點(diǎn),且∠D = ∠BAC. 求證: AB 是⊙O的切線.

圖3

典例3.(典例1 變式)如圖4,直線AB 與⊙O 相切與點(diǎn)A,OB 是∠ABE 的角平分線,那么直線BE 與⊙O 有怎樣的位置關(guān)系? 為什么?

圖4

(思考: 用典例1 的方法還能解決問(wèn)題嗎? 為什么? )

活動(dòng)預(yù)設(shè): 針對(duì)切線的證明有兩種基本的方法,根據(jù)前面的問(wèn)題進(jìn)行改編,通過(guò)問(wèn)題讓學(xué)生去解決這兩個(gè)問(wèn)題,由于有了前面的知識(shí)梳理,學(xué)生對(duì)這兩題的解決比較順利,為下一步進(jìn)行“切線”的基本方法打下基礎(chǔ).

設(shè)計(jì)說(shuō)明: 前面學(xué)生已總結(jié)出了和線段有關(guān)的基本性質(zhì),在切線的證明中,采用學(xué)生課堂探究的方式,且和三角形具有特殊的位置關(guān)系—相切通過(guò)對(duì)前面習(xí)題的進(jìn)一步變式,在變式中圖形遵循由三角形和圓組成,兩道題的證明方式既有知識(shí)的連貫性,又有思維的遞進(jìn)關(guān)系,讓學(xué)生通過(guò)這兩題的解決得出此類問(wèn)題的基本方法是: 當(dāng)線與圓有公共點(diǎn)時(shí),用切線的性質(zhì)“連半徑,得垂直”,當(dāng)線和圓沒(méi)有明確告知公共點(diǎn)時(shí)可以嘗試用“作垂直,求半徑”的方法,在學(xué)生順利解決問(wèn)題后,通過(guò)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)讓學(xué)生自己去總結(jié)切線的證明方法.同時(shí)用思維導(dǎo)圖的方式進(jìn)行方法梳理和總結(jié).

5.4 問(wèn)題拓展、遷移應(yīng)用

典例4.(典例1、2 變式)如圖4-1,AD 是⊙O 的直徑,AB切⊙O 于點(diǎn)A,連接OB,作CD//OB 交⊙O 于點(diǎn)C,BC 的延長(zhǎng)線與AD 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.

圖4-1

(1)求證: BE 是⊙O 的切線;

(3) 在(2) 的條件下: ①求線段AB 的長(zhǎng)? ②求陰影部分的面積? ③如圖4-2, 連AC 交OB 于點(diǎn)F, 求證:?OAF ～?EBA.

圖4-2

(4)如圖4-3,過(guò)點(diǎn)D 作DF//AB,交BE 于F 點(diǎn),P 為優(yōu)弧上一點(diǎn),DF =1,AB =2,求tan ∠DPC 的值

圖4-3

活動(dòng)預(yù)設(shè): 對(duì)典例1 繼續(xù)進(jìn)行變形, 其中1、2 問(wèn)是往2018年黔三州中考題方向靠攏,第4 問(wèn)是往2020年廣東省中考題方向改編,前三個(gè)問(wèn)一共有五個(gè)小問(wèn),這五個(gè)小問(wèn)之前有比較大的聯(lián)系,每個(gè)問(wèn)題都是在前一個(gè)問(wèn)題的基礎(chǔ)上生長(zhǎng)出來(lái),對(duì)于學(xué)生解題的難度不會(huì)很大,但第4 問(wèn)是在前面問(wèn)題基礎(chǔ)上進(jìn)行增添或減少線段得到的,看似聯(lián)系不廣,但如果善于挖掘線段之間的關(guān)系,找到圖形間的聯(lián)系,兩道題的難度對(duì)于學(xué)生而言會(huì)比較適當(dāng).

設(shè)計(jì)說(shuō)明: 本題是典例1、2 的兩個(gè)圖形的整合,這樣改編的好處是讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系,學(xué)會(huì)融會(huì)貫通,在強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí),通過(guò)中考切線問(wèn)題考試熱點(diǎn)的講解,提高學(xué)生對(duì)切線證明及切線計(jì)算問(wèn)題的理解. 更為重要的是,學(xué)生通過(guò)題目的生長(zhǎng)了解題目是如何由一個(gè)簡(jiǎn)單的圖形變成繁復(fù)的圖形, 如何由一個(gè)題干變成枝繁葉茂的“參天大樹(shù)”,對(duì)學(xué)生克服復(fù)雜圖形的恐懼有一定的幫助.

5.5 總結(jié)提升、課堂評(píng)測(cè)

典例5.如圖5,AC 為⊙O的直徑, B 為AC 延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且∠BAD = ∠ABD =30?, BC = 1, AD 為⊙O 的弦,連接DO 并延長(zhǎng)交⊙O 于點(diǎn)E, 連接BE 交⊙O 于點(diǎn)M.

圖5

(1)求證: 直線BD 是⊙O 的切線;

(2)求⊙O 的半徑OD 的長(zhǎng);

(3)求陰影部分的面積;

(4)求線段BE 的長(zhǎng);

(5)求線段BM 的長(zhǎng);

設(shè)計(jì)說(shuō)明: 一節(jié)課的效果如何,課后的習(xí)題評(píng)測(cè)也是必不可少,通過(guò)課堂的評(píng)測(cè)可以讓教師及時(shí)了解學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況,適當(dāng)調(diào)整教學(xué)順序,如果課堂里沒(méi)有時(shí)間再進(jìn)行調(diào)整則通過(guò)檢測(cè)出現(xiàn)的問(wèn)題在下一節(jié)課中也可以進(jìn)行反饋.同時(shí),能夠更好地為今后的教學(xué)設(shè)計(jì)提供改進(jìn)的措施和方向.

6. 設(shè)計(jì)反思

6.1 問(wèn)題驅(qū)動(dòng)中整合知識(shí)之間的聯(lián)系

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的架構(gòu),打破以往學(xué)生背知識(shí)點(diǎn)的習(xí)慣,通過(guò)“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)”的引出,使整個(gè)建構(gòu)過(guò)程邏輯性更強(qiáng),出現(xiàn)的更為順暢和自然. 其目的是讓學(xué)生在“數(shù)學(xué)問(wèn)題”出發(fā),保持學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,這不至于讓學(xué)生因?yàn)閷W(xué)過(guò)的知識(shí),簡(jiǎn)單的背誦而顯得索然無(wú)味,更關(guān)鍵的是注重知識(shí)間的邏輯結(jié)構(gòu). 其次是通過(guò)“問(wèn)題解決”提煉模型、“問(wèn)題變式”形成思想,找到解決模型的思想和方法,通過(guò)師生合作整理、整合出知識(shí)的脈絡(luò),找到知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系,以此來(lái)實(shí)現(xiàn)歸納總結(jié)出本章主要的數(shù)學(xué)思想和方法. 最后用“問(wèn)題拓展”讓學(xué)生在學(xué)會(huì)用思辨的方式在前面構(gòu)建好知識(shí)脈絡(luò)、知識(shí)總結(jié)之后給出問(wèn)題的解決.

6.2 問(wèn)題生長(zhǎng)中搭建知識(shí)之間的橋梁

以“問(wèn)題”代替直接復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn),充分激發(fā)學(xué)生在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課堂中的探究欲望,落實(shí)學(xué)生在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課堂中的主體地位.學(xué)生通過(guò)親身經(jīng)歷圓為模型下線之間關(guān)系的過(guò)程,主動(dòng)構(gòu)建圓切線的證明和計(jì)算的方法的知識(shí)網(wǎng)絡(luò). 同時(shí),“問(wèn)題”助推了師生互動(dòng)與生生互動(dòng),學(xué)生不再是“靜止”狀態(tài),而是積極主動(dòng)地參與到教學(xué)活動(dòng)中來(lái). 通過(guò)問(wèn)題的不斷生長(zhǎng),學(xué)生初步掌握了切線、線段和面積之間的關(guān)系,為后續(xù)解決這些問(wèn)題很好地搭建了一個(gè)橋梁. 所以教師在上復(fù)習(xí)課的時(shí)候,如果以“問(wèn)題”代替直接復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn),引發(fā)學(xué)生積極主動(dòng)地參與到教學(xué)活動(dòng)中來(lái),通過(guò)問(wèn)題讓學(xué)生自主歸納, 總結(jié)知識(shí)點(diǎn)和方法,讓學(xué)生在思維中得到升華.

6.3 問(wèn)題解決中促進(jìn)知識(shí)之間的遷移

“義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”在7～9年級(jí)的學(xué)段目標(biāo)中提出: 讓學(xué)生經(jīng)歷從不同角度尋求分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的方法的過(guò)程,體驗(yàn)解決問(wèn)題方法的多樣性,掌握分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一些基本方法;在本節(jié)課里,學(xué)生通過(guò)系列“問(wèn)題”掌握了切線證明方法和線段的計(jì)算,又通過(guò)“問(wèn)題”的不斷變式讓學(xué)生體會(huì)建構(gòu)好的知識(shí)脈絡(luò)和相似、陰影部分的面積以及三角函數(shù)求解的知識(shí)遷移. 進(jìn)一步加深對(duì)模型的理解,形成思想、凸顯策略.

筆者認(rèn)為,傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)課更多的是以一種知識(shí)重現(xiàn)、記憶和解題方法、策略的教授為主,對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō),復(fù)習(xí)課就是一節(jié)習(xí)題課, 復(fù)習(xí)課上顯得枯燥和乏味, 但本節(jié)課通過(guò)“問(wèn)題”驅(qū)動(dòng)“問(wèn)題”中,學(xué)生的思維在不斷深化,學(xué)生在復(fù)習(xí)課中能主動(dòng)、輕松、愉快地學(xué)習(xí)并真正體悟到數(shù)學(xué)的內(nèi)涵所在.