馳振和基振復(fù)合作用下的雙穩(wěn)態(tài)能量采集系統(tǒng)動力學(xué)分析

董博見，徐 鵬，李海濤，2

(1.中北大學(xué) 理學(xué)院，山西 太原 030051；2.上海大學(xué) 上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，上海 200072)

0 引 言

隨著微電子加工技術(shù)的發(fā)展，微電子設(shè)備的供能問題引起廣泛關(guān)注.在自然環(huán)境中，風(fēng)等流體的動能具有容易獲取、清潔環(huán)保和功率密度高等突出優(yōu)勢，微電子設(shè)備低能耗、低功率的特點為利用流體動能替代傳統(tǒng)電池提供了可能[1].

外流誘發(fā)的結(jié)構(gòu)自激振動形式包括馳振、渦激振動和顫振等，其中馳振表現(xiàn)為氣動彈性的不穩(wěn)定性，它將引起大幅極限環(huán)振動.目前，馳振能量采集器的經(jīng)典模型為壓電式懸臂梁外接方形鈍頭體結(jié)構(gòu),馳振能量將通過壓電效應(yīng)等特定的能量轉(zhuǎn)換機制轉(zhuǎn)化為電能.Zhao等[2]建立了一個方形鈍頭體的懸臂梁結(jié)構(gòu)，研究了負載電阻、迎風(fēng)面積、鈍頭體質(zhì)量以及切入風(fēng)速對能量采集效率的影響.練繼建和趙道利等[3-4]研究了不同來流角度和鈍體形狀下系統(tǒng)的響應(yīng)特性，為后續(xù)的發(fā)電振子截面優(yōu)化提供了有利參考.Qin等[5]提出一種由兩個方形鈍頭體和一個圓柱形鈍頭體組成的新型風(fēng)能采集系統(tǒng)，該系統(tǒng)綜合了渦激振動和馳振兩種流致振動機理，提高了能量轉(zhuǎn)化效率.

上述關(guān)于馳振能量采集的研究只考慮了風(fēng)載作用，然而在實際環(huán)境中，例如交通繁忙的橋梁、地鐵、船舶以及海面浮標(biāo)等，能量采集結(jié)構(gòu)受到基礎(chǔ)激勵和風(fēng)載的共同作用.若能將風(fēng)能和基礎(chǔ)振動兩種冗余的激勵能量同時回收利用，可有效地解決傳感器和其他低功率元件的自供能問題[6-8].對于馳振和基礎(chǔ)振動復(fù)合作用下的系統(tǒng)，工作頻帶較窄和輸出電壓響應(yīng)較低是困擾研究者的兩大難題.Zhao等[9-10]通過引入碰撞分段線性來增大共振區(qū)域頻帶，提高了基礎(chǔ)振動和馳振共同作用下系統(tǒng)的能量采集效率.

近年來，通過引入磁力耦合非線性使系統(tǒng)呈現(xiàn)多穩(wěn)態(tài)被用于拓寬振動能量采集系統(tǒng)的有效工作頻帶，其中雙穩(wěn)態(tài)因其結(jié)構(gòu)簡單、容易實現(xiàn)被廣泛采用.孫舒等[11]研究了壓電懸臂梁雙穩(wěn)態(tài)能量采集系統(tǒng)的建模和分析方法，獲得了不同激勵頻率、幅值以及磁鐵間距對輸出功率的影響規(guī)律.Li等[12]提出了一種改進的壓電能量采集裝置，將傳統(tǒng)雙穩(wěn)態(tài)能量采集系統(tǒng)的外磁鐵支撐方式改為動態(tài)耦合，通過數(shù)值模擬驗證了該系統(tǒng)的優(yōu)越性.曹東興等[13]基于流致振動理論，設(shè)計了一種磁力耦合非線性渦激振動能量采集器，并通過理論和實驗驗證了其寬頻能量采集效果.Zhou等[14]提出了一種帶有Y型彎曲翼的雙穩(wěn)態(tài)能量采集系統(tǒng)，在較低風(fēng)速條件下實現(xiàn)了兩個平衡位置之間的連續(xù)跳躍以及較寬風(fēng)速范圍的相干共振.

以上關(guān)于磁力耦合實現(xiàn)寬頻能量收集的研究尚未延伸至同時考慮基礎(chǔ)振動與流致振動的情況.而在實際環(huán)境中，例如吊橋、地鐵、高層樓宇等都包含這兩種激勵的耦合作用，且需要一種穩(wěn)定的自供能設(shè)備為結(jié)構(gòu)健康檢測提供能源.為了提高環(huán)境激勵的利用效率，本文將磁力耦合非線性應(yīng)用到馳振和基礎(chǔ)振動共同作用的能量采集系統(tǒng)，建立雙穩(wěn)態(tài)能量采集系統(tǒng)的分布參數(shù)動力學(xué)模型，通過數(shù)值方法驗證寬頻、高效的能量采集效果.

1 工作原理

本文考慮了一種基于馳振和基礎(chǔ)振動的新型能量采集系統(tǒng)，這種磁力耦合的雙穩(wěn)態(tài)能量采集系統(tǒng)示意圖如圖1所示.在長度為l的懸臂梁自由端附著一個D型鈍頭體，壓電片粘貼在懸臂梁的根部兩側(cè).在D型鈍頭體后的懸臂梁上固定永磁體A；在T型基座上固定永磁體B、C.

圖1 馳振和基礎(chǔ)振動復(fù)合作用下的磁致雙穩(wěn)態(tài)能量采集裝置Fig.1 Schematic of a magnetic-induced bistable energy harvester under galloping and base vibration

懸臂梁在風(fēng)載以及基礎(chǔ)振動y(t)作用下產(chǎn)生橫向振動，在結(jié)構(gòu)振動中產(chǎn)生的應(yīng)變能通過長度為lp的壓電片轉(zhuǎn)化為電能.

2 動力學(xué)模型的建立

為了研究能量采集系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)，采用能量法建立系統(tǒng)的分布參數(shù)模型.

以懸臂梁根部的中心位置為原點構(gòu)建坐標(biāo)系，沿懸臂梁軸向為x軸，垂直于軸向為y軸，只考慮軸向應(yīng)變，忽略其他方向的應(yīng)變.系統(tǒng)的動能表示為

(1)

式中：w為壓電懸臂梁的撓度；“·”表示對時間t的微分；ρb,ρp,Ab,Ap和ME分別為懸臂梁的密度、壓電片的密度、懸臂梁的橫截面面積、壓電片的橫截面面積、懸臂梁末端鈍頭體以及磁體的總質(zhì)量.

對于雙穩(wěn)態(tài)能量采集系統(tǒng)，其勢能主要包括壓電梁的彈性勢能、因壓電效應(yīng)產(chǎn)生的電能和磁鐵間的磁勢能.壓電懸臂梁的彈性勢能表示為

(2)

式中：Tb和Sb分別為x方向上懸臂梁的軸向應(yīng)力和軸向應(yīng)變；T1和S1分別為兩片壓電片在x方向上的軸向應(yīng)力和軸向應(yīng)變.

根據(jù)壓電材料的本構(gòu)關(guān)系，壓電片的軸向應(yīng)力T1和沿y方向的電位移D3可表示為[15]

(3)

(4)

式中：“ ′ ”表示對x的微分;Yb為懸臂梁的彈性模量；Ib為懸臂梁相對中心軸的截面慣性矩；Ip為壓電層相對中心軸的截面慣性矩；hb和hp分別為懸臂梁和壓電片的厚度.

壓電片發(fā)生形變后，因壓電效應(yīng)而產(chǎn)生的電能為

(5)

圖2 磁偶極子模型Fig.2 Geometric diagram of magnetic dipoles

磁偶極矩依賴于磁鐵的體積，表示為μ=HiVm.考慮磁鐵A與B、C 之間的磁極相互吸引，基于正交分解，磁鐵A、B和C的磁偶極矩分別表示為

(6)

磁偶極子B和C作用在磁偶極子A上的磁場分別表示為

(7)

式中：μ0=4π×10-7H/m為真空磁導(dǎo)率；|·|2和分別表示二范式和梯度算子.根據(jù)幾何關(guān)系，從磁鐵B到磁鐵A的向量rBA和從磁鐵C到磁鐵A的向量rCA分別表示為

(8)

磁場的勢能為[11]

Um=-μABBA-μABCA=

(9)

基于雙穩(wěn)態(tài)能量采集系統(tǒng)的動能和勢能，將q和U作為廣義坐標(biāo)得到系統(tǒng)的Lagrange方程

(10)

(11)

(12)

式中：ρa為空氣密度；Aa為鈍頭體迎風(fēng)面積；v為風(fēng)速；ai為經(jīng)驗空氣動力系數(shù).

Fm(q(t))=K1q(t)+K2q(t)3+K3q(t)5+

O(q(t)5).

(13)

如圖3所示，磁偶極子的磁力模型和5階麥克勞林級數(shù)近似模型的結(jié)果接近，因此，馳振和基礎(chǔ)激勵共同作用下雙穩(wěn)態(tài)能量采集系統(tǒng)的非線性機電耦合振動控制方程可寫為

(14)

3 數(shù)值模擬

針對馳振和基礎(chǔ)振動作用下雙穩(wěn)態(tài)能量采集系統(tǒng)進行數(shù)值模擬，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示.如圖3(b)所示，在該結(jié)構(gòu)參數(shù)下雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的勢能壘較低，因此在模擬中僅考慮阱間振動的動力學(xué)行為.

表1 雙穩(wěn)態(tài)能量采集系統(tǒng)模型參數(shù)Tab.1 Parameters of bistable energy harvester system

為了突出在馳振和基礎(chǔ)振動作用下雙穩(wěn)態(tài)能量采集器相對線性剛度能量采集器的優(yōu)勢，圖4給出了通過變步長Runge-Kutta方法得到的兩種系統(tǒng)的RMS電壓響應(yīng).圖 5～圖8為非線性動力學(xué)特性，給出了包括位移、電壓的時間歷程、帶有龐加萊截面的相圖和電壓的功率譜密度.

如圖4所示，根據(jù)系統(tǒng)RMS電壓隨頻率的變化趨勢將系統(tǒng)在不同頻帶下的響應(yīng)特性劃分為3個區(qū)域R1、R2和R3，從圖中可以看出，區(qū)域R1和R3的響應(yīng)對基礎(chǔ)振動頻率變化不敏感，而在R2區(qū)域基礎(chǔ)振動激勵的作用較為明顯.數(shù)值頻域結(jié)果表明：線性剛度系統(tǒng)的響應(yīng)特性與文獻[9-10]中以及圖4中的解析結(jié)果一致.本文所提出的雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)在R1和R3區(qū)域內(nèi)有更高的RMS電壓響應(yīng)(13.5%)，輸出功率增大了28.45%；線性剛度系統(tǒng)僅在R2區(qū)域內(nèi)的固有頻率處存在高峰值的共振響應(yīng)，而雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)在相應(yīng)的區(qū)域有較高的峰值和較寬的頻帶.

為了詳細討論圖4中的數(shù)值頻域結(jié)果，圖 5～圖7分別在線性剛度系統(tǒng)和雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的3個區(qū)域中選擇了一些具有代表性的點(Li和Ni(i=1,…,6))進行對比分析.

圖 5(a)為在L1處(ωb=9 Hz)的線性剛度系統(tǒng)位移和電壓的穩(wěn)態(tài)時域響應(yīng)，由于馳振和基礎(chǔ)激勵的頻率接近，位移和電壓時域響應(yīng)在調(diào)制頻率下表現(xiàn)為鋸齒狀波形，此時帶有龐加萊截面的相圖中存在由若干個離散點構(gòu)成的閉環(huán)，表明系統(tǒng)的響應(yīng)呈現(xiàn)擬周期特性.從電壓的功率譜密度中可以看到系統(tǒng)在ωb和ωg處存在兩個較大的峰以及在3ωg處存在一些較小的峰.如圖 5(b) 所示，雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)在R1區(qū)域中的N1處(ωb=6 Hz)，位移和電壓的穩(wěn)態(tài)時域響應(yīng)以及對應(yīng)的相圖都表現(xiàn)為雙穩(wěn)態(tài)的擬周期特性.相比線性剛度系統(tǒng)，非線性雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的位移響應(yīng)幅值、電壓響應(yīng)幅值以及它們的密集程度都較高，因此在電壓功率譜密度的高頻部分出現(xiàn)更多峰值.

(a) 非線性磁力

(a) 線性剛度系統(tǒng)

(a) L1點

(a) L2點

(a) L3點

對于線性剛度系統(tǒng)，當(dāng)激勵偏離共振頻率時響應(yīng)幅值會急劇下降，因此區(qū)域R2相對較窄.如圖 6(a)，在L2處(ωb=10 Hz)的功率譜密度上可以看出系統(tǒng)的大幅響應(yīng)在頻域上只存在ωb和3ωb兩個峰，由此可見在R2區(qū)域中基礎(chǔ)激勵的影響起主導(dǎo)作用.如圖 6(b) 所示，雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的龐加萊截面為單一重合的點，表明在R2區(qū)域中表現(xiàn)為雙阱的周期特性.在N2處(ωb=10.8 Hz)的電壓功率譜上出現(xiàn)ωb和3ωb兩個較大的峰，以及一些由于非線性剛度引起非整數(shù)周期的倍頻成分.相比線性剛度系統(tǒng)，雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)拓寬了共振區(qū)域R2的范圍，使系統(tǒng)在更寬的頻域范圍上有大幅的輸出響應(yīng).

圖 7(a) 為線性剛度系統(tǒng)在R2區(qū)域與R3區(qū)域臨界處L3點(ωb=10.3 Hz)的響應(yīng).由于ωb和ωg兩個激勵頻率接近，疊加后的波形強弱隨時間作周期性變化，其位移和電壓的穩(wěn)態(tài)時域響應(yīng)出現(xiàn)明顯的拍振現(xiàn)象.當(dāng)基礎(chǔ)激勵頻率增加到12Hz 時(如圖 7(c))，由于ωb遠大于ωg導(dǎo)致系統(tǒng)響應(yīng)的高頻成分愈加明顯，因此拍振現(xiàn)象減弱.圖7(b),(d)為雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)在R2區(qū)域與R3區(qū)域臨界處N3點(ωb=10.8 Hz)以及R4區(qū)域N4點(ωb=12 Hz)的響應(yīng)，可以看到雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)位移和電壓的穩(wěn)態(tài)時域響應(yīng)以及對應(yīng)的相圖都呈現(xiàn)出擬周期特性，其位移和電壓的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值均高于線性剛度系統(tǒng).值得注意的是，由于在L4和N4點電壓的功率譜中馳振頻率的峰值均高于基振頻率的峰值，表明在該區(qū)域中系統(tǒng)更多得從風(fēng)能引起的馳振現(xiàn)象中收集能量.

(a) N5點

如圖8所示，即使外部激勵條件相同，雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)在共振區(qū)域R2內(nèi)仍存在高能大幅周期響應(yīng)和低能擬周期響應(yīng)的差異.高能軌道與低能軌道的差異性主要依賴于初始位移、速度和電壓等初始條件(數(shù)值模擬中N5處響應(yīng)的初始位移設(shè)定為0.05 m，而N6處響應(yīng)的初始位移設(shè)定為0m).當(dāng)基礎(chǔ)激勵頻率設(shè)定為ωb=10 Hz，雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)在R2區(qū)域中的N5處呈現(xiàn)高能軌道，而在N6處呈現(xiàn)能量較低的擬周期軌道.與N5處高能軌道上的周期性相比，N6處穩(wěn)態(tài)時的位移和電壓響應(yīng)都呈現(xiàn)強弱周期變化的鋸齒波形，具有多個頻率成分.

4 結(jié) 論

本文提出了一種馳振和基礎(chǔ)激勵共同作用下的雙穩(wěn)態(tài)壓電能量采集系統(tǒng).首先利用能量法、歐拉-伯努利梁理論和準穩(wěn)態(tài)氣動載荷假設(shè)，建立了馳振和基礎(chǔ)激勵復(fù)合作用的雙穩(wěn)態(tài)能量采集系統(tǒng)動力學(xué)模型.在此基礎(chǔ)上通過數(shù)值方法揭示了能量采集系統(tǒng)的非線性動力學(xué)特性，結(jié)果表明：

1) 相比線性剛度系統(tǒng)，非線性雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)在遠離共振區(qū)域的輸出電壓增大了13.5% ，輸出功率增大了28.45%，大幅周期響應(yīng)的頻帶拓寬了2.23 Hz，提高了能量采集效率.

2) 數(shù)值結(jié)果表明在遠離共振頻帶內(nèi)系統(tǒng)表現(xiàn)擬周期響應(yīng)，電壓的功率譜中包含基礎(chǔ)振動和馳振的復(fù)合成分；而共振區(qū)域內(nèi)的高能解呈現(xiàn)大幅周期現(xiàn)象，此時系統(tǒng)響應(yīng)中基礎(chǔ)激勵起主導(dǎo)作用.

3) 在共振區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)高能的大幅周期響應(yīng)和低能的擬周期響應(yīng)共存的非線性動力學(xué)特性，該現(xiàn)象的產(chǎn)生主要依賴于初始位移、速度和電壓等初始條件，因此，下一步可結(jié)合改變初值控制方法實現(xiàn)調(diào)控高能軌道.