非線性隨機(jī)分?jǐn)?shù)階積分微分方程半隱式歐拉解的收斂性和穩(wěn)定性

李曉衛(wèi)，賈宏恩，郭 平

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，山西 太原 030024)

0 引 言

積分微分方程是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要分支，是人們解決各種實(shí)際問(wèn)題的有效工具，它廣泛應(yīng)用于幾何、力學(xué)、物理、電子技術(shù)、自動(dòng)控制、航天、生命科學(xué)等領(lǐng)域，如反應(yīng)堆動(dòng)力學(xué)[1]、種群動(dòng)態(tài)[2]和分層介質(zhì)中的波傳播[3]，并且隨著現(xiàn)實(shí)生活中的許多隨機(jī)因素(如噪聲等)被考慮進(jìn)來(lái)，隨機(jī)積分微分方程引起了國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者的關(guān)注與研究.

在現(xiàn)有研究中，隨機(jī)積分微分方程被應(yīng)用于隨機(jī)力驅(qū)動(dòng)的粘彈性結(jié)構(gòu)構(gòu)件的力學(xué)行為[4]、期權(quán)定價(jià)[5]及人口增長(zhǎng)模型中[6].此外，一些學(xué)者證明了隨機(jī)積分微分方程解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性[7-10].但在許多情況下，隨機(jī)積分微分方程的精確解很難找到，因此，尋找求解此類方程近似解的數(shù)值方法引起了許多學(xué)者的關(guān)注.如，對(duì)于具有乘性噪聲的隨機(jī)微分方程，Tocino A等[11]提出了一種二階顯式RungeKutta格式，對(duì)于具有恒定擴(kuò)散系數(shù)的標(biāo)量方程，還得到了兩種三階RungeKutta格式；Babuska I等[12]采用蒙特卡羅Galerkin法和隨機(jī)Galerkin有限元方法求解隨機(jī)擴(kuò)散和載荷系數(shù)的隨機(jī)線性橢圓偏微分方程，當(dāng)采用少量隨機(jī)參數(shù)描述噪聲時(shí)，隨機(jī)Galerkin法為首選方法；Maleknejad K等[13]利用塊脈沖函數(shù)求解隨機(jī)沃爾泰拉積分方程，得到了精度較高的近似解.

隨著分?jǐn)?shù)階微積分的發(fā)展，分?jǐn)?shù)階積分微分方程出現(xiàn)在信號(hào)處理的統(tǒng)計(jì)力學(xué)領(lǐng)域[14-16].目前，越來(lái)越多的研究者對(duì)隨機(jī)分?jǐn)?shù)階積分微分方程進(jìn)行了深入研究，探討了此類方程解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性[17-18].而且，研究人員還研究了一些數(shù)值格式，并對(duì)這些數(shù)值格式的性質(zhì)進(jìn)行了探討，如利用譜配置方法、歐拉方法以及徑向基方法求解該類方程，并討論了這些方法的性質(zhì)[19-21].此外，F(xiàn)aedo-Galerkin方法、Legendre小波方法以及對(duì)應(yīng)的收斂性也被研究和證明[22-23].

半隱式歐拉格式已被用于多種方程中，如隨機(jī)受電弓方程和隨機(jī)微分延遲方程[24-25]，其精確解的穩(wěn)定性已被證明[26].本文主要目的是給出隨機(jī)分?jǐn)?shù)階積分微分方程的半隱式歐拉格式的收斂性分析和相應(yīng)離散數(shù)值解的穩(wěn)定性分析.

本文給出了一些必要的符號(hào)與準(zhǔn)備，以及與原始方程對(duì)應(yīng)的隨機(jī)沃爾泰拉積分方程；分析了隨機(jī)分?jǐn)?shù)階積分微分方程的半隱式歐拉格式的收斂性與收斂階；給出了半隱式歐拉格式數(shù)值解的穩(wěn)定性；最后通過(guò)數(shù)值算例驗(yàn)證了本文的理論分析.

1 符號(hào)與準(zhǔn)備工作

考慮以下d維非線性隨機(jī)分?jǐn)?shù)階積分微分方程

t∈[0,T],y(0)=y0,

(1)

定義1 對(duì)函數(shù)f∶[0,+∞)→Rd的α階Riemann-Liouvile 分?jǐn)?shù)階積分算子定義如下

α>0且I0f(t)=f(t)，其中Γ(α)為Gamma函數(shù),

定義2 對(duì)于函數(shù)f∈Cγ([0,+∞))的α階Caputo導(dǎo)數(shù)可以記作

式中：γ-1<α<γ，γ∈N+.

由富比尼定理，式(1)可轉(zhuǎn)化為以下隨機(jī)沃爾泰拉積分方程(這兩個(gè)方程的具體轉(zhuǎn)化可參考文獻(xiàn)[18])

(2)

其中

t∈[0,T],y(0)=y0,

i=1,2.

假設(shè)1 對(duì)于任意(t,s)∈Q，k1(t,s,0)與k2(t,s,0)是連續(xù)有界的函數(shù)，且存在正常數(shù)li,i=1,…,4，使得?,kj滿足如下條件

|?(t1)-?(t2)|≤l1|t1-t2|,

|kj(t1,s,y)-kj(t2,s,y)|≤l2(1+|y|)|t1-t2|,

|kj(t,s1,y)-kj(t,s2,y)|≤l3(1+|y|)|s1-s2|,

對(duì)任意t,t1,t2,s,s1,s2∈[0,T]，y,y1,y2∈Rd，j=1,2均成立.

在假設(shè)1的條件下，得到以下定理[18].

定理1 存在正常數(shù)Li,i=1,…,5,使得Φ(t),Kj(j=1,2)滿足以下條件

|Φ(t1)-Φ(t2)|≤L1|t1-t2|,

|Kj(t1,s,y)-Kj(t2,s,y)|≤L2(1+|y|)|t1-t2|,

|Kj(t,s1,y)-Kj(t,s2,y)|≤L3(1+|y|)|s1-s2|,

|Kj(t,s,y1)-Kj(t,s,y2)|≤L5|y1-y2|,

對(duì)任意t1,t2∈[0,T]，s1,s2∈[0,T]，t,s∈[0,T]，y∈Rd均成立.

下文中C代表一個(gè)任意的正常數(shù).

2 半隱式歐拉格式的收斂性與收斂階

精確解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性已在一些文獻(xiàn)中有研究[18].本節(jié)討論半隱式歐拉方法的收斂性與收斂階.

首先，將整個(gè)時(shí)間區(qū)間分割為N個(gè)小區(qū)間，對(duì)于N≥1，令h=T/N，tn=nh，對(duì)于n=0,1,2,…,N,當(dāng)t=tn+1時(shí)，

因此，定義

(3)

(4)

(5)

則得到以下半隱式歐拉格式

(6)

證明由式(3)和基本不等式，有

對(duì)上述不等式兩端同時(shí)取期望，有

則得到

由離散Gronwall不等式

1+E(|Yn+1|2)≤

及Y(t)的連續(xù)性，得到

引理2 假定滿足假設(shè)1，在h

證明對(duì)于任意的t∈[0,T]，存在一個(gè)整數(shù)n使得t∈[tn,tn+1)，由式(4)～式(6)，得到

Y(t)-Y1(t)=Y(t)-Yn=Φ(t)-Φ(tn)+

再由基本不等式，Cauchy-Schwartz不等式和It等距，得

同理，

再由基本不等式，Cauchy-Schwartz不等式和It等距，得

CL4h3≤Ch2.

定理2 在引理1的假設(shè)下，存在一個(gè)與h無(wú)關(guān)的正常數(shù)M使得

E(|y(t)-Y(t)|2)≤Mh2,

對(duì)任何t∈[0,T]均成立.

證明用式(2)減去式(6)，并由基本不等式，Cauchy-Schwartz不等式和It等距，得

對(duì)上述6項(xiàng)分別進(jìn)行處理得到

采用同樣的處理方式，得到

那么

3 半隱式歐拉格式的穩(wěn)定性

本節(jié)在假設(shè)1的條件下研究式(6)的數(shù)值解的穩(wěn)定性.

定義3 設(shè){Yn+1}n≥1為式(6)具有初始解ξ對(duì)應(yīng)的解，{Xn+1}n≥1為式(6)對(duì)應(yīng)初始值為λ的另一個(gè)解.對(duì)于任意的ε>0，存在一個(gè)正常數(shù)δ>0使得當(dāng)E|ξ-λ|2<δ時(shí)，有

成立，即式(6)的解是均方穩(wěn)定的.

證明由式(2)得

y(t)-x(t)=η-φ+

對(duì)上式兩端同時(shí)取期望，得

再由Gronwall不等式得

E|y(t)-x(t)|2≤ε.

定理4 設(shè){Yn+1}n≥1，{Xn+1}n≥1分別為式(6) 對(duì)應(yīng)于初始值ξ和λ的數(shù)值解，那么如果假設(shè)1成立，則式(6)的數(shù)值解就是均方穩(wěn)定的.

證明由式(3)得到

對(duì)上述不等式兩側(cè)同時(shí)取期望，得

則

再由離散Gronwall不等式得

E|Yn+1-Xn+1|2≤

因此，對(duì)任何的ε>0，存在一個(gè)正常數(shù)δ>0，當(dāng)E|ξ-λ|2<δ時(shí)，有

E|Yn+1-Xn+1|2<ε

成立.

4 數(shù)值算例

本節(jié)給出一個(gè)數(shù)值算例以驗(yàn)證隨機(jī)分?jǐn)?shù)階積分微分方程半隱式歐拉方法的收斂率.類似于文獻(xiàn)[18]，使用樣本均值逼近期望，更準(zhǔn)確地說(shuō)，使用以下表達(dá)衡量在最后時(shí)刻tN上的均方誤差.

式中：y(i)(tN)和Y(i)(tN)分別為精確解與數(shù)值解.

例1 考慮1維隨機(jī)分?jǐn)?shù)階積分微分方程且γ=1，

式中：t∈[0,1]，且初始值y(0)=0.

注意到函數(shù)?,k1,k2均滿足先前的假設(shè)條件，且將在時(shí)間步長(zhǎng)為h=2-11下的數(shù)值解作為隨機(jī)分?jǐn)?shù)階積分方程的精確解.在相同布朗路徑上任意取3個(gè)不同的時(shí)間步長(zhǎng)，即h=2-6,2-7,2-8，并分別求得其半隱式歐拉格式的數(shù)值解及相應(yīng)的誤差ε，相關(guān)結(jié)果如圖1所示.

圖1 例1中半隱式歐拉格式的均方誤差Fig.1 Mean square error of semi-implicit euler scheme in example 1

當(dāng)α=0.45與α=0.65時(shí)，圖像斜率接近于1，即半隱式歐拉方法的一階收斂率得到驗(yàn)證.