提高直觀能力 感悟數(shù)量關(guān)系

程晨

摘要：本文嘗試借助一道習(xí)題的分析，折射出日常的百分?jǐn)?shù)應(yīng)用的教學(xué)中折扣問題方面的學(xué)習(xí)方法，利用大數(shù)據(jù)進(jìn)行分析并提出相應(yīng)對策以及針對性輔導(dǎo)建議。

關(guān)鍵詞：數(shù)量關(guān)系;意義理解;直觀能力

一、測試背景

本題為2021年某市六年級數(shù)學(xué)抽測統(tǒng)一用卷考查學(xué)生對百分?jǐn)?shù)、多個單位“1”未知情況下成本與售價(jià)的數(shù)量關(guān)系兩個知識層面的掌握，該題全區(qū)得分率為35.60%，得分率較低研究價(jià)值大。

某商店賣出兩件商品，每件售價(jià)都是150元，其中一件賺了20%，另一件虧了20%。商店賣出這兩件商品，總體是賺了還是虧了？請說明理由。以兩件商品售價(jià)相同，配合賺的百分比一樣的形式，考察學(xué)生分辨兩個單位“1”即原價(jià)不同的能力，再根據(jù)成本和售價(jià)的區(qū)別來判斷最終是賠還是賺。題型是解決問題，本文以區(qū)抽測的六年級2863位學(xué)生的答卷為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，對正解及正確情況、典型錯解及錯誤情況作了梳理分析。

二、正解情況分析

此題完全正確的共有821人，占樣本總數(shù)的28.67%。主要有兩類：

（一）分步計(jì)算

學(xué)生通過理清兩個原價(jià)都是單位“1”，像圖1中分別先算出兩個原價(jià)，再將結(jié)果和兩個現(xiàn)價(jià)的和進(jìn)行比較。

（二）分析判斷

該解法學(xué)生對單位“1”的不同理解比較深刻，通過對比單位“1”的不同而分析判斷，因此可以不計(jì)算通過理清楚兩個原價(jià)單位“1”的不同，判斷出虧了的商品原價(jià)單位“1”要大，因此它的20%要多，所以虧。

三、典型錯例分析與輔導(dǎo)建議

典型錯例1：單位“1”不明確

該錯例是學(xué)生對“賺20%，虧20%的理解不了，不知道這里面的原價(jià)并不一樣將150元當(dāng)作單位“1”原價(jià)，從而得出了不賺也不虧的結(jié)論。

典型錯例2：理解偏差

學(xué)生這種理解偏差造成的原因是題意并不理解，這類錯誤從直覺上知道兩種商品原價(jià)不一樣，但并不知道這兩個原價(jià)都是現(xiàn)價(jià)的單位“1”。且都屬于單位“1”未知的類型，屬于建模不清晰深刻造成理解偏差。

典型錯例3：混淆模型

學(xué)生混淆為另一個模型即一個單位“1”原價(jià)經(jīng)過漲和跌相同的百分比最終是虧還是賺。因?yàn)檫@類模型是人教版教材的例題當(dāng)中的重點(diǎn)，而對此類問題理解不深入從而造成負(fù)遷移。

為了更詳細(xì)了解學(xué)生錯因細(xì)節(jié)，進(jìn)行了題組訪談實(shí)驗(yàn)：這幾種錯誤中最典型的就是對于“賺了20%和虧了20%”的理解，對此我們進(jìn)行了以下題組實(shí)驗(yàn)并且訪談。那在所有錯誤中，這三類錯誤占比情況怎樣呢？第一類錯誤“理解關(guān)鍵信息錯誤”占58.75%左右，而第二類錯誤“混淆模型”占11.12%多點(diǎn)，“思路不清”的占23.37%多，其中“理解關(guān)鍵信息錯誤”和“思路不清”是最典型的兩類錯誤，所以著重就這兩類錯誤進(jìn)行了進(jìn)一步研究。

四、學(xué)生訪談

（一）訪談“理解關(guān)鍵信息出錯”的學(xué)生

為了解學(xué)生最真實(shí)的想法，我們做了一點(diǎn)題組實(shí)驗(yàn)逐步篩查原因：

第一組：減少一個單位“1”信息，排查學(xué)生對單位“1”的理解

（1）某商店賣出一件商品，每件售價(jià)150元，賺了20%，賺了多少錢？

（2）某商店賣出一件商品，每件售價(jià)150元，虧了20%，虧了多少錢？

實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)30個學(xué)生仍然有29個還按照把150元當(dāng)作原價(jià)去算，還有1個做對是因?yàn)榭纪炅艘院舐犝f了原價(jià)是單位“1”。也就是說大部分學(xué)生發(fā)現(xiàn)哪怕減少一個單位“1”，學(xué)生仍然不會解這類問題。為排查是否因?yàn)閷Α百嵙?0%和虧了20%”理解出錯，我們將題中的“賺了和虧了”的意思補(bǔ)充完整。隨機(jī)抽取其中20個學(xué)生完成以下題組：

第二組：排查對“賺了和虧了”的理解

（1）某商店賣出一件商品，每件售價(jià)150元，賺了原價(jià)的20%，賺了多少錢？

（2）某商店賣出一件商品，每件售價(jià)150元，虧了原價(jià)的20%，虧了多少錢？

實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)這20個學(xué)生有18個都做對了，主要用了列方程或者列算式解答。

對此我進(jìn)一步訪談：“你們是怎么想的？”學(xué)生說：“這里都寫了賺了原價(jià)的20%，說明原價(jià)是單位1”。我們發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生對于“賺了20%和虧了20%”擴(kuò)句完整后就能判斷出原價(jià)是單位“1”，并清楚里面的數(shù)量關(guān)系從而列出正確解法。

2個不會得到啟示能通過畫圖分析解決問題。學(xué)生通過畫線段圖是可以幫助解答正確這組問題的。只是這部分學(xué)生如果沒有提示他去畫圖分析，他就不會想到去用圖來解決問題，因此能判斷這部分學(xué)生的在一定程度上幾何直觀能力是具備的，但沒有內(nèi)化。

（二）訪談“思路不清晰”的學(xué)生

對第二類錯誤“思路不清晰”的學(xué)生進(jìn)行了訪談，從中可以看出學(xué)生會算原價(jià)，大多比較的適合出錯。我們問學(xué)生：“你們在考試的時候是怎么想的？學(xué)生說，“感覺這里的原價(jià)是一樣的，因?yàn)橐詾檫@兩個商品價(jià)格一樣，所以不清楚怎么比較，也不知道該和誰比?！痹诘湫湾e例分析的基礎(chǔ)上，我們著重就“關(guān)鍵信息沒有理解通透”這一類錯誤，提出了輔導(dǎo)建議。建議總體上可以分3步進(jìn)行：

（1）暴露思維，突出關(guān)鍵信息理解

我們具體來看第1步，暴露思維，在學(xué)生結(jié)合原題說說是怎么想的基礎(chǔ)上，還可通過類似“你是怎么理解賺了20%，虧了20%？”等追問，充分暴露真實(shí)思維。這是第一個操作要點(diǎn)，而第二個操作要點(diǎn)是教師適當(dāng)點(diǎn)評引導(dǎo)，讓他意識到這里的賺了20%，虧了20%把話說完整理解就是賺了原價(jià)的20%，虧了原價(jià)的20%。第2步需要馬上追問：“那么誰是單位“1”？你是怎么找的？除此之外我們可以引導(dǎo)學(xué)生從問題出發(fā)，要想知道是賺了還是虧了，該怎么求？最終引導(dǎo)到一般方法即先求“兩個商品原價(jià)——現(xiàn)價(jià)總和與原價(jià)總和分別進(jìn)行比較”。

（2）直觀表征，突出數(shù)量分析求解

經(jīng)過分析關(guān)鍵信息的步驟上還需要正確引導(dǎo)學(xué)生畫線段圖分析這類問題的數(shù)量關(guān)系，讓學(xué)生對這類單位“1”未知模型不熟悉的學(xué)生回顧這類折扣問題或賺賠問題的基本模型：例如：賺了20%的示意圖，一般單位“1”的量可以先畫在先，具體如下：以線段圖引導(dǎo)學(xué)生敘述“賺了20%虧了20%”分別指的數(shù)量關(guān)系，是賺了成本的20%或虧了成本的20%。故借助幾何直觀可以幫助學(xué)生自己建立本題的基本數(shù)量關(guān)系：成本×（1+20%）=售價(jià)、成本×（1-20%）=售價(jià)，且現(xiàn)在售價(jià)都是150元，在理解數(shù)量關(guān)系的道理之后再運(yùn)用，而非生搬硬套解決問題。

（3）對比練習(xí)，加深百分?jǐn)?shù)應(yīng)用理解

經(jīng)以上梳理再進(jìn)行類似問題的解決，同種問題的針對性練習(xí)可以這樣設(shè)計(jì)這類問題和我們的原題情境類似，計(jì)算成本價(jià)后再比較成本和售價(jià)來確定是賠了還是賺了。確定好之前輔導(dǎo)扎實(shí)再進(jìn)行對比，引發(fā)學(xué)生思考兩者有什么區(qū)別，思考清楚這是兩種模型。