例說分類討論思想在解題中的一些應(yīng)用（一）

陳顯華

【摘要】分類討論，又稱分情況討論，當(dāng)一個(gè)數(shù)學(xué)問題在一定的題設(shè)下，其結(jié)論并不唯一時(shí)，我們就需要對(duì)這一問題進(jìn)行必要的分類.將一個(gè)數(shù)學(xué)問題根據(jù)題設(shè)分為有限的若干種情況，在每一種情況中分別求解，最后再將各種情況下得到的答案進(jìn)行歸納綜合，這種研究問題的思想方法就是“分類討論的思想方法”.分類討論法是根據(jù)問題的不同情況分類求解，它體現(xiàn)了化整為零和積零為整的思想與歸類整理的方法，所以它是極為重要的思想方法.

【關(guān)鍵詞】分類討論思想;解題;應(yīng)用

一、用分類討論思想求數(shù)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)

例1 點(diǎn)A在數(shù)軸上距離原點(diǎn)有3個(gè)單位長度，將點(diǎn)A向右移動(dòng)4個(gè)單位長度，再向左移動(dòng)7個(gè)單位長度，此時(shí)點(diǎn)A表示的數(shù)是.

解 當(dāng)點(diǎn)A在數(shù)軸正半軸上時(shí)，點(diǎn)A在數(shù)軸上距離原點(diǎn)有3個(gè)單位長度，將點(diǎn)A向右移動(dòng)4個(gè)單位長度，再向左移動(dòng)7個(gè)單位長度，此時(shí)點(diǎn)A表示的數(shù)是0;當(dāng)點(diǎn)A在數(shù)軸負(fù)半軸上時(shí)，點(diǎn)A在數(shù)軸上距離原點(diǎn)有3個(gè)單位長度，將點(diǎn)A向右移動(dòng)4個(gè)單位長度，再向左移動(dòng)7個(gè)單位長度，此時(shí)點(diǎn)A表示的數(shù)是-6.

綜上所述，點(diǎn)A在數(shù)軸上距離原點(diǎn)有3個(gè)單位長度，將點(diǎn)A向右移動(dòng)4個(gè)單位長度，再向左移動(dòng)7個(gè)單位長度，此時(shí)點(diǎn)A表示的數(shù)是0或-6.

二、用分類討論思想求代數(shù)式的值

例2 已知|a|=2，|b|=3，求a+b+2012的值.

解 ∵|a|=2，|b|=3，

∴a=±2，b=±3.

∴當(dāng)a=2，b=3時(shí)，a+b+2012=2+3+2012=2017;

當(dāng)a=-2，b=-3時(shí)，a+b+2012=-2+（-3）+2012=2007;

當(dāng)a=2，b=-3時(shí)，a+b+2012=2+（-3）+2012=2011;

當(dāng)a=-2，b=3時(shí)，a+b+2012=（-2）+3+2012=2013.

綜上所述，已知|a|=2，|b|=3，式子a+b+2012的值為2017，或2007，或2011，或2013.

三、用分類討論思想求盈利或虧損額

例3 某商販在一次買賣中同時(shí)賣出兩件上衣，每件都以135元售出，若按成本計(jì)算，其中一件盈利25%，另一件虧本25%，則在這次買賣中，該商販（? ）.

A.不賠不賺? B.賺9元

C.賠18元D.賺18元

分析 有些學(xué)生由于受思維定式的影響（忽略了兩件衣服的進(jìn)價(jià)），錯(cuò)誤地認(rèn)為一件盈利25%，另一件虧本25%，盈利和虧本的百分?jǐn)?shù)相同，并且每件上衣都以135元售出，所以總的盈利、虧本情況一定是不賠不賺.

解 設(shè)盈利25%的這件上衣的進(jìn)價(jià)為x元，則由

135-x=25%x，得x=108.

設(shè)虧本25%的這件上衣的進(jìn)價(jià)為y元，則由

y-135=25%y，得y=180.

∴總售價(jià)-總進(jìn)價(jià) =135×2-（108+180）=-18（元）.

綜上所述，該商販賠了18元.故本題選C.

四、 用分類討論思想求銳角三角函數(shù)值

例4 已知sin α（α為銳角）是方程3x2-7x+2=0的實(shí)數(shù)根，求sin α的值.

解 設(shè)一元二次方程3x2-7x+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1和x2，且x1

∵sin α（α為銳角）是方程3x2-7x+2=0的實(shí)數(shù)根，

∴sin α=13或sin α=2.

當(dāng)α為銳角，sin α=13時(shí)，這樣的α是存在的;

當(dāng)α為銳角，sin α=2時(shí)，這樣的α不存在，因?yàn)楫?dāng)α為銳角時(shí)，0

綜上所述，sin α（α為銳角）是方程3x2-7x+2=0的實(shí)數(shù)根時(shí)，sin α的值只能等于13.

五、用分類討論思想求線段的長度

例5 已知線段AB=10 cm，C是線段AB所在直線上的一點(diǎn)，且BC=4 cm，M是線段AC的中點(diǎn)，則線段AM的長為.

解 （1）當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)（如圖1所示），

∵M(jìn)是線段AC的中點(diǎn)，

∴AM=CM=12AC.

又∵AB=10 cm，BC=4 cm，

∴AC=AB-BC=6 cm.

∴AM=3 cm.

（2）當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長線上時(shí)（如圖2所示），

∵M(jìn)是線段AC的中點(diǎn)，

∴AM=CM=12AC.

又∵AB=10 cm，BC=4 cm，

∴AC=AB+BC=14 cm.

∴AM=7 cm.

綜上所述，線段AM的長為3 cm或7 cm，故填3 cm或7 cm.

六、用分類討論思想求三角形的周長

例6 在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，則△ABC的周長為（? ）.

A.42B.32

C.42或32D.37或33

解 如圖3所示，當(dāng)高AD在△ABC的內(nèi)部時(shí)，△ABC的周長等于AB+AC+BC=15+13+（9+5）=42;

如圖4所示，當(dāng)高AD在△ABC的外部時(shí)，△ABC的周長等于AB+AC+BC=15+13+（9-5）=32.

綜上所述，△ABC的周長為42或32.故本題選C.

七、用分類討論思想求三角形內(nèi)角的度數(shù)

例7 在△ABC中，AB=2，AC=2，∠B=30°，則∠BAC的度數(shù)是.

解 如圖5所示，當(dāng)BC邊上的高在△ABC內(nèi)部時(shí)，過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D.

根據(jù)AB=2，∠B=30°可得∠BAD=60°，AD=1.

根據(jù)勾股定理可得CD=1，

即△ADC為等腰直角三角形，所以∠DAC=45°，于是∠BAC=60°+45°=105°.

如圖6所示，當(dāng)BC邊上的高在△ABC外部時(shí)，過點(diǎn)A作AD⊥直線BC，垂足為點(diǎn)D.

因?yàn)椤螧AC+∠B=∠ACD，所以∠BAC=45°-30°=15°.

綜上所述，在△ABC中，AB=2，AC=2，∠B=30°，則∠BAC的度數(shù)是105°或15°.

例8 等腰三角形一條腰上的高與另一腰所成的夾角為45°，求這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù).

解 三角形的高的位置是由三角形的形狀所決定的.對(duì)于等腰三角形而言，當(dāng)頂角是銳角時(shí)，腰上的高在三角形內(nèi)部;當(dāng)頂角是鈍角時(shí)，腰上的高在三角形外部.所以應(yīng)該分兩種情況進(jìn)行討論.

如圖7所示，在△ABC中，AB=AC，∠A為銳角，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，則∠ACD=45°，

根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余可知∠A=45°.

如圖8所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC為鈍角，

過點(diǎn)C作BA延長線的垂線，垂足為D，

則由題意知∠ACD=45°.根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余可知∠CAD=45°，

于是∠BAC=135°.

綜上所述，等腰三角形一條腰上的高與另一腰所成的夾角為45°時(shí)，這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)為45°或135°.

例9 等腰三角形的一條腰上的高與腰長之比為1∶2，則該等腰三角形的頂角為.

解 如圖9所示，在△ABC中，AB=AC，∠A為銳角，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D.根據(jù)DCAC=12，可得sin A=DCAC=12，所以∠A=30°.

如圖10所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC為鈍角，過點(diǎn)C作BA的延長線的垂線，垂足為D.

根據(jù)DCAC=12，

可得sin∠DAC=DCAC=12，所以∠DAC=30°，于是∠BAC=150°.

綜上所述，等腰三角形的一條腰上的高與腰長之比為1∶2，則該等腰三角形的頂角為30°或150°.故填30°或150°.