從兩個(gè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和之比與通項(xiàng)之比的關(guān)系談拓展探究教學(xué)

包志旻

【摘要】等差數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式是極為重要的兩個(gè)公式，這兩個(gè)公式之間必然存在大量的聯(lián)系，本文就兩個(gè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和之比與通項(xiàng)之比的關(guān)系進(jìn)行了探索和研究.

【關(guān)鍵詞】拓展探究教學(xué);等差數(shù)列;通項(xiàng)之比;前n項(xiàng)和之比

問題是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)問題的提出是推動(dòng)數(shù)學(xué)思維發(fā)展的核心數(shù)學(xué)活動(dòng)之一.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，發(fā)現(xiàn)和提出問題能有效地激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)新問題進(jìn)行有效而且積極的探究，這符合當(dāng)下培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)的要求.傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)偏重于培養(yǎng)分析與解決問題的能力，學(xué)生善于準(zhǔn)確高效地解決教材和教輔中呈現(xiàn)的問題，善于“學(xué)答”，而不善于“學(xué)問”，從而忽視了對(duì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題能力的培養(yǎng)，以及對(duì)批判性思維、創(chuàng)新思維的培養(yǎng).下面筆者結(jié)合自己的教學(xué)過程中的一個(gè)實(shí)例，展示如何不斷提出問題，逐步拓展探究.

原始問題 {an}，{bn}是等差數(shù)列，它們的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，且SnTn=2n+2n+3，求a5b5.

這是一道很常見的習(xí)題，下面就此問題的解決方法和拓展進(jìn)行探索研究.

一、解法探究

解法一：利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式“Sn=n（a1+an）[]2”和“a1+ a2n-1 =2an ”.

a5b5=92（a1+a9）92（b1+b9）=S9T9=2×9+29+3=53.

解法二：利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式“Sn=na1+n（n-1）d[]2”和通項(xiàng)公式“an=a1+（n-1）d”.

SnTn=na1+n（n-1）2d1nb1+n（n-1）2d2=a1+n-12d1b1+n-12d2.

∵a5b5=a1+4d1b1+4d2，令n-12=4，則n=9，∴a5b5=S9T9=53.

解法三：利用“Sn=an2+bn”.

SnTn=2n+2n+3=kn（2n+2）kn（n+3），

a5b5=S5-S4T5-T4=5（2×5+2）-4（2×4+2）5（5+3）-4（4+3）=53.

這是傳統(tǒng)教學(xué)方法中最常用到的“一題多解”，強(qiáng)調(diào)解決傳統(tǒng)問題的多樣性，比單一的機(jī)械訓(xùn)練要好一些，有利于提分.

二、結(jié)論拓展

從上述解法中不難發(fā)現(xiàn)，原始問題和解法均能上升為一般性結(jié)論.

[STHZ]定理1[STBZ] 如果{an}，{bn}是等差數(shù)列，它們的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，那么anbn=S2n-1T2n-1.

證明：anbn=2an2bn=a1+a2n-1b1+b2n-1=12（2n-1）（a1+a2n-1）12（2n-1）（b1+b2n-1）=S2n-1T2n-1.

這里揭示了兩個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和更為一般的結(jié)論，但提問水平層次仍是低水平的，僅是為了提高解題水平，以應(yīng)對(duì)同層題目的解答.

三、原始問題的一般性結(jié)論

1.如果{an}，{bn}是等差數(shù)列，它們的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn.若SnTn=an+bcn+d，則anbn=a（2n-1）+bc（2n-1）+d.

證明：根據(jù)定理1，anbn=S2n-1T2n-1=a（2n-1）+bc（2n-1）+d.

2.如果{an}，{bn}是等差數(shù)列，它們的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，則 limn→∞SnTn=limn→∞anbn.

證明：設(shè)an=a1+（n-1）d1，bn=b1+（n-1）d2.

當(dāng){an}，{bn}是非零常數(shù)列時(shí)，顯然成立.

當(dāng){an}，{bn}不是常數(shù)列時(shí)，

limn→∞SnTn=limn→∞na1+12n（n-1）d1nb1+12n（n-1）d2=d1d2，

limn→∞anbn=limn→∞a1+（n-1）d1b1+（n-1）d2=d1d2，

所以limn→∞SnTn=limn→∞anbn.

此時(shí)，思維層次上升到了抽象概括，更具應(yīng)用價(jià)值.

四、進(jìn)一步拓展探究

[STHZ]問題1[STBZ] 如果{an}，{bn}是等差數(shù)列，它們的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn.若SnTn=an+bcn+d，則anbm=a（2n-1）+bc（2m-1）+d .

解法探究一：∵SnTn=an+bcn+d，∴SnTn=kn（an+b）kn（cn+d），∴SnTm=kn（an+b）km（cm+d），

anbm=2an2bm=a1+a2n-1b1+b2m-1=2m-12n-1·（2n-1）（a1+a2n-1）2（2m-1）（b1+b2m-1）2=（2m-1）S2n-1（2n-1）T2m-1=（2m-1）k（2n-1）[a（2n-1）+b]（2n-1）k（2m-1）[c（2m-1）+d]=a（2n-1）+bc（2m-1）+d .

解法探究二：∵SnTm=kn（an+b）km（cm+d）（探究一中已證），

∴anbm=Sn-Sn-1Tm-Tm-1=n（an+b）-（n-1）[a（n-1）+b]m（cm+d）-（m-1）[c（m-1）+d]=a[n2-（n-1）2]+b[n-（n-1）]c[m2-（m-1）2]+d[m-（m-1）]=a（2n-1）+bc（2m-1）+d .

[STHZ]問題2[STBZ] 如果{an}，{bn}是二階等差數(shù)列，它們的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn .

若SnTn=an+bcn+d，則anbn=a（3n2-3n+1）+b（2n-1）c（3n2-3n+1）+d（2n-1）.

解法探究：∵SnTn=an+bcn+d=kn2（an+b）kn2（cn+d），

∴anbn=Sn-Sn-1Tn-Tn-1=n2（an+b）-（n-1）2[a（n-1）+b]n2（cn+d）-（n-1）2[c（n-1）+d]=a[n3-（n-1）3]+b[n2-（n-1）2]c[n3-（n-1）3]+d[n2-（n-1）2]=a（3n2-3n+1）+b（2n-1）c（3n2-3n+1）+d（2n-1）.

[STHZ]問題3[STBZ] 如果{an}，{bn}是二階等差數(shù)列，它們的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn.

若SnTn=an2+bn+cdn2+en+f，則anbn=a（3n2-3n+1）+b（2n-1）+cd（3n2-3n+1）+e（2n-1）+f.

解法探究：∵SnTn=an2+bn+cdn2+en+f=kn（an2+bn+c）kn（dn2+en+f），

∴anbn[ZK（]=Sn-Sn-1Tn-Tn-1=n（an2+bn+c）-（n-1）[a（n-1）2+b（n-1）+c]n（dn2+en+f）-（n-1）[d（n-1）2+e（n-1）+f]=a[n3-（n-1）3]+b[n2-（n-1）2]+cd[n3-（n-1）3]+e[n2-（n-1）2]+f=a（3n2-3n+1）+b（2n-1）+cd（3n2-3n+1）+e（2n-1）+f.[ZK）]

這里三個(gè)問題的提出與解決沒有停留在淺顯的提問上，而是逐步深入，上升到二階等差數(shù)列，超越了教材，把問題推向縱深，價(jià)值和意義更大.不少學(xué)者提出了數(shù)學(xué)探究教學(xué)法或?qū)W習(xí)論，其根本目的是把課堂交給學(xué)生，讓學(xué)生參與探究，讓學(xué)生學(xué)到的不再是會(huì)解幾道題而已，而是發(fā)展創(chuàng)新思維，包括邏輯的和非邏輯的、求同的和求異的、具體的和抽象的、理性的和直覺的等，通過內(nèi)在協(xié)同和相互作用，促進(jìn)師生和生生思維有機(jī)交融的高級(jí)過程，避免簡(jiǎn)單機(jī)械地重復(fù)孤立單一的思維活動(dòng).課堂應(yīng)成為思維成果的生長(zhǎng)層或思維“土壤”.

五、更為一般的結(jié)論探究

[STHZ]結(jié)論1[STBZ] 如果{an}，{bn}是k階等差數(shù)列，它們的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn.若SnTn=p1nk-1+p2nk-2+…+pkq1nk-1+q2nk-2+…+qk，則

anbn=p1[c1knk-1-c2knk-2+…+（-1）k-1ckk]+p2[c1k-1nk-2-c2k-1nk-3+…+（-1）k-2ck-1k-1]+…+pkq1[c1knk-1-c2knk-2+…+（-1）k-1ckk]+q2[c1k-1nk-2-c2k-1nk-3+…+（-1）k-2ck-1k-1]+…+qk.

[STHZ]結(jié)論2[STBZ] 如果{an}，{bn}是k階等差數(shù)列，它們的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn.

若SnTn=p1nk-1+p2nk-2+…+pkq1nk-1+q2nk-2+…+qk，則

limn→∞SnTn=limn→∞anbn.

[STHZ]結(jié)論3[STBZ] 如果{an}是k階等差數(shù)列，{bn}是r階等差數(shù)列，它們的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn.

若SnTn=p1nk-1+p2nk-2+…+pkq1nr-1+q2nr-2+…+qr，則

anbm=p1[c1knk-1-c2knk-2+…+（-1）k-1ckk]+p2[c1k-1nk-2-c2k-1nk-3+…+（-1）k-2ck-1k-1]+…+pkq1[c1rmr-1-c2rmr-2+…+（-1）r-1crr]+q2[c1r-1mr-2-c2r-1mr-3+…+（-1）r-2cr-1r-1]+…+qr.對(duì)以上三個(gè)結(jié)論的證明均可按照前面解問題3的思路進(jìn)行.

六、反 思

最初提出的原始問題是我們平時(shí)教學(xué)中的一道普通的習(xí)題.在傳統(tǒng)教學(xué)模式下，師生只側(cè)重于怎樣解題，能提出多種解題方法已是很成功的教學(xué).今天，從數(shù)學(xué)教育本身看，教學(xué)沒有真正抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)，常常糾纏在細(xì)枝末節(jié)上，存在脫離數(shù)學(xué)本源的現(xiàn)象，學(xué)生訓(xùn)練得太多太苦，時(shí)間、精力投入太多，教學(xué)效果不理想.數(shù)學(xué)教學(xué)“不自然”，強(qiáng)加于人的升學(xué)考試，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣與內(nèi)部動(dòng)機(jī)都有不利影響;缺乏問題意識(shí)，解答“結(jié)構(gòu)良好”的問題多，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)提出問題少，對(duì)學(xué)生提出問題的能力培養(yǎng)不利;結(jié)論記憶多，關(guān)注知識(shí)背景和應(yīng)用少，“掐頭去尾燒中段”，導(dǎo)致學(xué)習(xí)過程不完整;重解題技能技巧，輕普適性思考方法的概括，導(dǎo)致機(jī)械模仿多而獨(dú)立思考少，數(shù)學(xué)思維層次不高;強(qiáng)調(diào)細(xì)枝末節(jié)多，關(guān)注基本概念、核心數(shù)學(xué)思想少，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高不利.數(shù)學(xué)教育改革涉及教育思想、學(xué)術(shù)觀點(diǎn)、課程教材、教學(xué)方式、學(xué)習(xí)方式以及評(píng)價(jià)方式乃至價(jià)值觀的變革，應(yīng)當(dāng)允許改革的不同思路、不同方案的存在，真正貫徹百花齊放、百家爭(zhēng)鳴的方針.隨著新一輪課程改革的到來，研究性學(xué)習(xí)進(jìn)入課堂，研究性試題也開始進(jìn)入高考試題.教師在教學(xué)中必須鼓勵(lì)學(xué)生敢于提出問題，積極構(gòu)建問題場(chǎng)景，創(chuàng)建新的學(xué)習(xí)平臺(tái)、學(xué)習(xí)方式，真正培養(yǎng)創(chuàng)新型、研究型人才.

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