“大概念”數(shù)學(xué)課程的內(nèi)涵詮釋與實(shí)踐建構(gòu)

許娟

【摘 要】“大概念”位于“數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)中心”，蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，牽引著數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)?！按蟾拍睢庇兄谡蠑?shù)學(xué)知識(shí)、培養(yǎng)學(xué)生思維、促進(jìn)學(xué)習(xí)遷移。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要把握結(jié)構(gòu)、追溯本源、抽取要素等，提取“大概念”、解讀“大概念”。作為教師，要自覺(jué)地引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用“大概念”，用“大概念”建構(gòu)知識(shí)、關(guān)聯(lián)知識(shí)、簡(jiǎn)化知識(shí)等。尋找“大概念”、抽取“大概念”、解讀“大概念”、應(yīng)用“大概念”等將成為重塑師生教學(xué)的新原點(diǎn)和新樣態(tài)。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) “大概念”課程 內(nèi)涵詮釋 實(shí)踐建構(gòu)

“大概念”的英文為“big ideas”，其原意為“大創(chuàng)意”。在學(xué)科教學(xué)中，“大概念”是指能整合學(xué)科知識(shí)、揭示學(xué)科本質(zhì)、支撐學(xué)科骨架的一些概念。 “大概念”之“大”不是絕對(duì)的，而是相對(duì)的。在不同的學(xué)段，概念的“大”的屬性是不同的。作為教師，要把握“大概念”之“大”的度，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)大概念、理解大概念、應(yīng)用大概念。

一、 “大概念”的意義

“大概念”的內(nèi)涵，從范圍上說(shuō)有兩個(gè)方面：廣義上既包括“學(xué)科概念”，也包括“跨學(xué)科概念”;狹義上就是指“學(xué)科概念”。換言之，提煉、建構(gòu)、應(yīng)用“大概念”，既可以基于學(xué)科視野，也可以跨學(xué)科將視野遍及學(xué)生的生活、經(jīng)驗(yàn)。從屬性上說(shuō)，“大概念”既包括知識(shí)層面上的，也包括方法層面、思想層面上的，還包括文化、精神層面上的。

1.“大概念”有助于整合數(shù)學(xué)知識(shí)

數(shù)學(xué)知識(shí)是一個(gè)整體的、結(jié)構(gòu)性的系統(tǒng)，但體現(xiàn)在教材中、學(xué)生學(xué)習(xí)中的是單一性、碎片化的。借助于“大概念”，能將這些零碎的、散落的數(shù)學(xué)知識(shí)串接、整合起來(lái)，形成一個(gè)知識(shí)整體?！按蟾拍睢本褪侵R(shí)整體中的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)、關(guān)聯(lián)節(jié)點(diǎn)。比如“平均分”這一概念，就是勾連整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)的橋梁和紐帶。學(xué)生只有理解了“平均分”這樣一個(gè)“大概念”，才能有效地認(rèn)識(shí)、整合，溝通整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的聯(lián)系。其中，小數(shù)是不帶分母的十進(jìn)分?jǐn)?shù)，小數(shù)是將“整數(shù)1”平均分成10份、100份……表示一份或幾份的數(shù);分?jǐn)?shù)是將“單位1”平均分成若干份，表示其中的一份或幾份的數(shù)。有了“平均分”大概念，學(xué)生就能深刻理解小數(shù)的意義、分?jǐn)?shù)的意義，從而建立“數(shù)概念”。

2.“大概念”有助于培養(yǎng)學(xué)生思維

當(dāng)下，由于受到單一性、碎片化教學(xué)的影響，很多學(xué)生數(shù)學(xué)思維是割裂的。立足于數(shù)學(xué)“大概念”，有助于培育學(xué)生的高階思維。所謂“高階思維”，是指發(fā)生在較高認(rèn)知水平層次上的一種心智活動(dòng)或認(rèn)知能力。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生分析、綜合、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造。如學(xué)習(xí)了《異分母分?jǐn)?shù)加減法》之后，教師就有必要引導(dǎo)學(xué)生比較整數(shù)加減法、小數(shù)加減法和分?jǐn)?shù)加減法的法則，引導(dǎo)學(xué)生抽象、提煉出這些不同計(jì)算法則背后共同的、一致性的算理，即“只有計(jì)數(shù)單位相同才能直接相加減”，從而幫助學(xué)生建構(gòu)大概念——“計(jì)數(shù)單位”，培養(yǎng)學(xué)生的分析能力、歸納能力。

3.“大概念”有助于促進(jìn)學(xué)習(xí)遷移

學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程，一般來(lái)說(shuō)包括“學(xué)知識(shí)”“用知識(shí)”兩個(gè)部分?！按蟾拍睢笔菍W(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“錨點(diǎn)”，一方面組織著學(xué)科知識(shí)，另一方面編織著學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)?！按蟾拍睢笔墙Y(jié)構(gòu)化教學(xué)研究的重要組織表征、表達(dá)。學(xué)生習(xí)得“大概念”，就能促進(jìn)適應(yīng)性遷移、轉(zhuǎn)化，這種遷移有助于數(shù)學(xué)知識(shí)的自我完善、迭代更新。如學(xué)生在學(xué)習(xí)“多邊形的面積”這一部分內(nèi)容之后，就會(huì)形成自覺(jué)的“圖形轉(zhuǎn)化意識(shí)”，生成“圖形轉(zhuǎn)化能力”，因而在后續(xù)學(xué)習(xí)“圓的面積”等知識(shí)時(shí)，就能自覺(jué)地猜想“圓可以轉(zhuǎn)化成什么圖形呢？”“怎樣轉(zhuǎn)化呢？”等。顯然，學(xué)生的學(xué)習(xí)遷移不僅僅指探究行為的遷移，更指思維方式、思想意識(shí)等的遷移。相比較于行為遷移而言，思想、意識(shí)等層面的遷移更具有生命的活力。

二、 “大概念”的提取

1.把握結(jié)構(gòu)，提取“大概念”

“大概念”往往反映了一類數(shù)學(xué)知識(shí)的共同屬性。教學(xué)中，教師要把握一類知識(shí)的共同屬性、結(jié)構(gòu)，或者把握數(shù)學(xué)知識(shí)某一層面、側(cè)面的共同屬性、結(jié)構(gòu)等。相比較于一般性的概念，“大概念”的適用面更廣。教師在教學(xué)中要善于瞻前顧后、左顧右盼，自覺(jué)地將相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)梳理、勾連，從而探尋到相關(guān)知識(shí)的共性，找尋到“大概念”。如在教學(xué)“圓柱體的側(cè)面積”之后，筆者將長(zhǎng)方體、正方體的側(cè)面積納入其中，借助于一張長(zhǎng)方形紙，讓學(xué)生通過(guò)“卷”“折”等不同的操作，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)直柱體的共同的側(cè)面積計(jì)算公式，即“底面周長(zhǎng)×高”。相比較于長(zhǎng)方體、正方體和圓柱體原來(lái)的側(cè)面積公式，這樣的側(cè)面積公式更能激活學(xué)生的動(dòng)態(tài)思維、想象，即“直柱體的側(cè)面積都是直柱體的底面周長(zhǎng)向上生長(zhǎng)的結(jié)果”。尋找數(shù)學(xué)知識(shí)的共同結(jié)構(gòu)，有助于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)、結(jié)構(gòu)。正如著名認(rèn)知心理學(xué)家皮亞杰所說(shuō)，“一切的知識(shí)都是按照結(jié)構(gòu)的建構(gòu)來(lái)展開(kāi)的，這種結(jié)構(gòu)的建構(gòu)是完全開(kāi)放性的……通過(guò)不斷對(duì)結(jié)構(gòu)的建構(gòu)，形成更強(qiáng)的結(jié)構(gòu)，或者說(shuō)是用更強(qiáng)的結(jié)構(gòu)來(lái)予以結(jié)構(gòu)化”。

2.追溯本源，提取“大概念”

很多數(shù)學(xué)知識(shí)，盡管其表現(xiàn)形態(tài)不同，且分屬于不同的知識(shí)類領(lǐng)域，卻有著相同的起源。提取“大概念”，不僅僅可以從知識(shí)的共同結(jié)構(gòu)中探尋，也可以追溯知識(shí)的本源，引導(dǎo)學(xué)生返回知識(shí)的源頭處，去挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)的源頭活水。比如“數(shù)（shù）源于數(shù)（shǔ）”“量

（liànɡ）源于量（liánɡ）”，在“小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”這些內(nèi)容的教學(xué)中，教師都可以從整數(shù)入手，引導(dǎo)學(xué)生把握“十進(jìn)制計(jì)數(shù)法”、“十進(jìn)制計(jì)數(shù)法在整數(shù)計(jì)數(shù)和小數(shù)計(jì)數(shù)中是一以貫之的”，以及“分?jǐn)?shù)是不帶分母的十進(jìn)分?jǐn)?shù)”，它們都是對(duì)“整數(shù)1”“單位1”等進(jìn)行“平均分”的。追溯知識(shí)的本源，能讓學(xué)生感悟到人類的生命實(shí)踐智慧。一般來(lái)說(shuō)，返回本源主要有兩種方式：其一是返回學(xué)生的生活本源、經(jīng)驗(yàn)本源;其二是返回最原始的知識(shí)，返回母知識(shí)。

3.抽象要素，提取“大概念”

提取“大概念”，一般來(lái)說(shuō)有兩種向度：其一是從諸多下位知識(shí)追溯上位知識(shí)，其路徑一般是從“事實(shí)”過(guò)渡到“觀點(diǎn)”，從“觀點(diǎn)”過(guò)渡到“觀念”的過(guò)程;其二是首先呈現(xiàn)上位知識(shí)，讓上位知識(shí)不斷地衍生，形成整個(gè)的知識(shí)群落。在這個(gè)過(guò)程中，上位知識(shí)基本上就是指“大概念”。如在教學(xué)“圓的周長(zhǎng)”“圓的面積”“圓柱的體積”等相關(guān)內(nèi)容時(shí)，教師要有意識(shí)地凸顯“化曲為直”的思想觀念。在這樣一種“大概念”的指引下，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，運(yùn)用各種方法去體現(xiàn)“化曲為直”。如在“圓的周長(zhǎng)”探究過(guò)程中，讓學(xué)生將緊貼圓周的曲線拉直;在“圓的面積”的探究過(guò)程中，讓學(xué)生通過(guò)剪拼法將圓剪拼成長(zhǎng)方形;在“圓柱的體積”的探究過(guò)程中，讓學(xué)生通過(guò)切割法將圓柱轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方體;等等。所有這些探索，都離不開(kāi)教師提煉出的“化曲為直”的數(shù)學(xué)思想。有了這樣的思想，學(xué)生今后看到曲面形體就能自覺(jué)地、有意識(shí)地想辦法將其轉(zhuǎn)化成平面形體。

三、 “大概念”的應(yīng)用

綜上所述，“大概念”是位居概念中心、核心地位的概念，“大概念”具有一種認(rèn)識(shí)論、方法論、價(jià)值論的作用和功能。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要充分地應(yīng)用“大概念”，引導(dǎo)學(xué)生的思維、認(rèn)知等不斷深入，形成一種“專家思維”，這有助于引導(dǎo)學(xué)生的探究不斷深化，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)獲得飛躍。

1.用“大概念”建構(gòu)數(shù)學(xué)新知

借助于“大概念”，學(xué)生在學(xué)習(xí)中往往能舉一反三、觸類旁通。常見(jiàn)的“大概念”建構(gòu)數(shù)學(xué)新知的方法主要有“演繹法”“類比法”和“歸納法”等。如教學(xué)

“商不變的規(guī)律”之后，教師就要提煉出“猜想—驗(yàn)證”這一“大概念”。這一“大概念”對(duì)于“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”“小數(shù)的性質(zhì)”“比的基本性質(zhì)”等相關(guān)新知的建構(gòu)具有重要意義。教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)除法、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、比等相關(guān)知識(shí)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生大膽“猜想”，小心“驗(yàn)證”，從而積極、主動(dòng)地建構(gòu)數(shù)學(xué)新知。

2.用“大概念”關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

“大概念”往往是眾多有關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)節(jié)點(diǎn)。教學(xué)中，教師可以用“大概念”組織、勾連相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，讓零散、碎片化的數(shù)學(xué)知識(shí)得到有效的集結(jié)，將其整合成有機(jī)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，包括并列關(guān)系的結(jié)構(gòu)、種屬關(guān)系的結(jié)構(gòu)、交叉關(guān)系的結(jié)構(gòu)，等等。如“認(rèn)識(shí)厘米”“角的度量”等分屬于長(zhǎng)度單位認(rèn)識(shí)教學(xué)和角的單位認(rèn)識(shí)教學(xué)，教學(xué)時(shí)，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“認(rèn)識(shí)厘米”的本質(zhì)、“角的度量”的本質(zhì);引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷創(chuàng)造“厘米尺”“量角器”等測(cè)量工具的過(guò)程，讓學(xué)生形成一種認(rèn)識(shí)——所謂“測(cè)量”，就是看被測(cè)量對(duì)象中包含多少個(gè)測(cè)量單位。學(xué)生有了這種認(rèn)識(shí)，就能用“包含除”這樣的一個(gè)大概念來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)新知的自主建構(gòu)，如“長(zhǎng)方形的面積”就是看長(zhǎng)方形中有多少個(gè)面積單位，“長(zhǎng)方體體積”就是看長(zhǎng)方體中有多少個(gè)體積單位，“物體的質(zhì)量”就是看該物體中包含有多少個(gè)質(zhì)量單位，“時(shí)間的多少”就是看時(shí)間流中包含多少個(gè)時(shí)間單位，等等。借助于“大概念”，能將相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)關(guān)聯(lián)起來(lái)。

3.用“大概念”精簡(jiǎn)知識(shí)重點(diǎn)

美國(guó)著名教育家布魯納強(qiáng)調(diào)，學(xué)科大概念應(yīng)當(dāng)能將學(xué)科內(nèi)容精簡(jiǎn)為一組命題。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)用“大概念”進(jìn)行教學(xué)，能讓學(xué)生把握數(shù)學(xué)學(xué)科中的一組經(jīng)濟(jì)的、更具有活力的東西。如教學(xué)“稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題”這一單元內(nèi)容時(shí)，我們抽象、提煉、概括出幾個(gè)關(guān)鍵詞——“對(duì)應(yīng)”“轉(zhuǎn)化”，具體而言，就是要求學(xué)生在解答稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題時(shí)，首先看一看題目中的數(shù)量和分率是否直接對(duì)應(yīng)，如果不直接對(duì)應(yīng)，就需要通過(guò)關(guān)鍵句的轉(zhuǎn)化，將不直接對(duì)應(yīng)關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)橹苯訉?duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)單位“1”的量是已知還是未知，確定用乘法還是除法。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生只需要抓住“大概念”，以“大概念”為依托，就能解決問(wèn)題。

“大概念”不是一個(gè)簡(jiǎn)單的詞語(yǔ)，從某種意義上說(shuō)，它是學(xué)科知識(shí)、學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的承載體。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于探尋、提取“大概念”，充分發(fā)揮“大概念”的作用、功能，促進(jìn)學(xué)生展開(kāi)自主性、自能性的學(xué)習(xí)。尋找“大概念”、抽取“大概念”、解讀“大概念”、應(yīng)用“大概念”等將成為重塑師生教學(xué)的新原點(diǎn)和新樣態(tài)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]熊梅，李洪修.發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)：?jiǎn)卧獙W(xué)習(xí)的價(jià)值、特征和策略[J].課程·教材·教法，2018（12）.

[2]周曉梅.基于循證理論的小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式探究[J].教學(xué)與管理（小學(xué)版），2020（2）.

[3]戚洪祥. 提升學(xué)生數(shù)學(xué)言語(yǔ)表達(dá)能力的三個(gè)維度[J].教學(xué)與管理（小學(xué)版），2021（6）.