形是力的圖解

周健 李彥鵬 顧樂(lè)明 彭超 楊笑天

如何確定合理的建筑形態(tài)？這是建筑技術(shù)歷史上一直被提起的問(wèn)題。

自從人類開(kāi)始建造房屋，對(duì)合理形態(tài)的探索就不曾終止。在力學(xué)和計(jì)算科學(xué)都不發(fā)達(dá)的時(shí)代，工程師就嘗試通過(guò)實(shí)驗(yàn)方法探索力學(xué)與形態(tài)的關(guān)系：1747年喬瓦尼·波黎尼（Giovanni Poleni）將32個(gè)不同重量的球懸垂在繩索上，產(chǎn)生與實(shí)際拱形比例近似的懸鏈線，再以之作為參考線，根據(jù)“當(dāng)給定荷載的推力線完全位于拱的剖面上時(shí)則拱穩(wěn)定”的力學(xué)理論，成功矯正和修復(fù)了圣彼得大教堂（Saint Peter’s Basilica）穹頂[1]（圖1）。隨著力學(xué)和建造科學(xué)的發(fā)展，工程師通過(guò)不斷的嘗試，改良優(yōu)化出了結(jié)構(gòu)性能更高的各種結(jié)構(gòu)形式：19世紀(jì)中葉正值美國(guó)西部大開(kāi)發(fā)，對(duì)鐵路橋梁的需求急速增加，當(dāng)時(shí)普遍采用木拱橋和增強(qiáng)鋼架結(jié)合的形式，而經(jīng)過(guò)多次實(shí)踐后工程師發(fā)現(xiàn)，只要把增強(qiáng)鋼架做得足夠堅(jiān)固甚至可以省去拱結(jié)構(gòu)，于是各種新式的桁架紛紛出現(xiàn)，梁桁架的時(shí)代也從此開(kāi)始（圖2）。當(dāng)對(duì)靜力學(xué)理論的研究足夠深入后，工程師發(fā)明了圖解靜力學(xué)，將結(jié)構(gòu)受力與建筑形態(tài)聯(lián)系起來(lái)：1889年莫里斯·克什蘭（Maurice Koechlin）便利用圖解靜力學(xué)方法，根據(jù)不同高度的風(fēng)荷載設(shè)計(jì)了埃菲爾鐵塔的折線形態(tài)（圖3）。

隨著現(xiàn)代主義建筑的發(fā)展，多米諾體系讓結(jié)構(gòu)與空間變得各自獨(dú)立、互不干涉，從而使建筑師能夠自由發(fā)揮空間暢享。此時(shí)結(jié)構(gòu)與建筑形態(tài)變成“骨”與“皮”，結(jié)構(gòu)適應(yīng)于這種潮流發(fā)展出了諸多體系清晰、方便計(jì)算、可規(guī)?；ㄔ斓摹胺妒健惫┙ㄖx擇，如我們今天熟知的框架結(jié)構(gòu)、剪力墻結(jié)構(gòu)、框架核心筒結(jié)構(gòu)等。建筑形態(tài)變得更加自由，不需要過(guò)多考慮結(jié)構(gòu)合理性以及其中的力學(xué)規(guī)律，只要結(jié)合建筑形態(tài)套用“范式”，就可以形成一個(gè)個(gè)漂亮的“玻璃盒子”。顯然這種建筑理論和標(biāo)準(zhǔn)化設(shè)計(jì)流程適應(yīng)于工業(yè)化社會(huì)利益最大化的需要，因此即便在現(xiàn)在也處于主流地位。

然而在當(dāng)今社會(huì)，“皮骨分離”的范式越來(lái)越無(wú)法滿足多元化的社會(huì)需求，結(jié)構(gòu)標(biāo)準(zhǔn)類型也不足以支撐越來(lái)越多樣化的新建筑空間形態(tài)，因而建筑師開(kāi)始嘗試突破原有的范式，將自由曲面、最小曲面、泰森多邊形等形態(tài)應(yīng)用于實(shí)際項(xiàng)目。然而，很多項(xiàng)目的實(shí)際建成效果卻和設(shè)計(jì)方案大相徑庭，這主要是由于建筑效果非常依賴于形態(tài)結(jié)構(gòu)合理性，不合理的形態(tài)會(huì)使得結(jié)構(gòu)截面超厚，施工困難，造價(jià)失控。因而，建筑師和工程師逐漸開(kāi)始重新審視結(jié)構(gòu)與形態(tài)的關(guān)系。

1 “形”反映力流傳遞——力流方向

力的傳遞如同水的流動(dòng)，結(jié)構(gòu)的使命在于將外力安全平穩(wěn)地傳遞到支座。在給定的結(jié)構(gòu)布置以及邊界條件下力流路徑是客觀的，因此工程師的設(shè)計(jì)藝術(shù)體現(xiàn)在規(guī)劃出清晰、簡(jiǎn)潔以及高效的傳力路徑，同時(shí)使得力流的圖解被建筑師欣然接受。

我們通常用應(yīng)力跡線（簡(jiǎn)稱力線）表示力流的路徑，力線的疏密代表力流密度，即應(yīng)力的大小。力流最重要的特征是：優(yōu)先走剛度較大的路徑，力流路徑越短，構(gòu)件累積變形就越小，從而剛度越高。所以我們追求盡可能短的力流路徑，也就是所謂的“直接傳力”。比如圖4，目標(biāo)是將4層樓面荷載傳遞至基礎(chǔ)。常規(guī)的框架傳力路徑為梁—柱，懸挑框架則為梁—吊柱—柱（樓面懸挑抗彎剛度較弱時(shí)），如果用“力×力流距離”去衡量這兩個(gè)結(jié)構(gòu)的效率，則懸挑框架由于傳力路徑曲折，因此效率偏低。當(dāng)然，純理性層面的合理只是衡量建筑表現(xiàn)的一個(gè)方面，我們追求“美在合理的近旁”。

Salginatobel Bridge來(lái)源于www.pinterest.com

力流是力的一種客觀的可量化表達(dá)，可作為推演建筑形態(tài)的操作依據(jù)，同時(shí)能夠直觀呈現(xiàn)傳力路徑。以一個(gè)最簡(jiǎn)單的簡(jiǎn)支混凝土梁為例（圖5），當(dāng)跨中作用一個(gè)或三個(gè)集中力F時(shí)，在離散化主要的拉壓力流路徑后，我們可以直觀地理解工程中鋼筋的布置邏輯（主拉應(yīng)力位置）。原本混沌的混凝土梁可以通過(guò)桿系結(jié)構(gòu)來(lái)具象化力流，由此衍生出系桿拱或桁架的結(jié)構(gòu)形式，高效的同時(shí)也為設(shè)計(jì)提供了多樣化的選擇。

除了生成理性的結(jié)構(gòu)形態(tài)，力流的疏密與結(jié)構(gòu)以及建筑的表達(dá)也有著一定的因果關(guān)系。在馬德里賽馬場(chǎng)項(xiàng)目中，對(duì)于14m的懸挑看臺(tái)，基于給定的支座條件，可以得到殼體的主力線，依據(jù)力線的方向以及疏密關(guān)系確定鋼筋的排布以及間距（圖6），可謂“好鋼用在刀刃上”；在傘形結(jié)構(gòu)中，主結(jié)構(gòu)順應(yīng)板殼力線，合理高效的同時(shí)也獲得了秩序的表達(dá)（圖7）。

除了指導(dǎo)鋼筋布置、生成理性的結(jié)構(gòu)形態(tài)之外，力流的疏密對(duì)建筑功能邏輯也有著一定的暗示。以某個(gè)混凝土殼體項(xiàng)目為例，結(jié)構(gòu)跨度約35m，波峰矢高約4.5m，波谷矢高約2.5m，殼體下方為地下一層籃球場(chǎng)，為滿足觀演需求，殼體沒(méi)有落地，而是依靠?jī)蓚?cè)四對(duì)斜柱支撐。斜柱與殼體的相對(duì)剛度關(guān)系決定著拱的結(jié)構(gòu)效率，此時(shí)結(jié)構(gòu)效率與建筑外觀（斜柱的大小）有著微妙的博弈。在完成基本的合理形態(tài)找形后，建筑師希望在殼體表面開(kāi)天窗。開(kāi)在哪里既能滿足功能需求、呈現(xiàn)適宜的比例關(guān)系，又不影響殼體的受力性能成為值得討論的話題。依據(jù)給定的邊界條件計(jì)算出主力線后，能直觀的感受到力流往四個(gè)斜柱處匯集。相較以往結(jié)構(gòu)師與建筑師通過(guò)計(jì)算數(shù)據(jù)和結(jié)構(gòu)概念進(jìn)行溝通交流，此時(shí)圖像化的力流成為了更有效的交流工具，天窗被設(shè)置在力線較為稀疏的位置（圖8）。此時(shí)力學(xué)與美學(xué)相輔相成、完美融合。

以上都是基于既有力流作出的合理回應(yīng)，然而若能人為的操縱力流，從而打造豐富的建筑空間效果，則更能體現(xiàn)結(jié)構(gòu)技術(shù)與藝術(shù)的結(jié)合。樹(shù)形柱就是很好的案例，傳統(tǒng)的梁柱結(jié)構(gòu)豎向荷載通過(guò)梁柱節(jié)點(diǎn)傳遞到柱頭后會(huì)急轉(zhuǎn)90。向下傳遞，若將力流想象成水流我們?nèi)菀赘兄^處的“湍急”；而樹(shù)形柱可以通過(guò)離散的策略，規(guī)劃出多組漸變的力流路徑疏解集中應(yīng)力，通過(guò)合理找形使得樹(shù)杈桿件中為軸力而非低效的彎矩，小尺度的構(gòu)件使得整個(gè)建筑的內(nèi)部空間簡(jiǎn)潔而精致（圖9）。

2 “形”反映內(nèi)力分布——內(nèi)力圖解

通常建筑結(jié)構(gòu)可以看成由一個(gè)個(gè)構(gòu)件組裝而成，也可以認(rèn)為是從一個(gè)巨大的構(gòu)件中掏空而成，兩者是辯證的關(guān)系。建筑結(jié)構(gòu)是三維的，構(gòu)件是二維的，材料是一維的。兩種思考方式一個(gè)是升維邏輯，一個(gè)是降維邏輯。

工程中對(duì)于材料的認(rèn)知主要停留在一維的階段。對(duì)于結(jié)構(gòu)驗(yàn)算，結(jié)構(gòu)工程師傾向于將結(jié)構(gòu)看成由構(gòu)件組裝而成，所有的結(jié)構(gòu)驗(yàn)算都是將非常復(fù)雜的問(wèn)題降維，直至鋼材的單向受拉承載力、混凝土的單向受壓承載力。而如果換成升維思路，將結(jié)構(gòu)看作巨大的構(gòu)件，就會(huì)發(fā)現(xiàn)很多有趣的現(xiàn)象，即很多結(jié)構(gòu)的形態(tài)符合二維構(gòu)件內(nèi)力圖。

1 圣彼得大教堂圖解

2 埃菲爾鐵塔形態(tài)圖解

3 從拱橋到平行弦桁架的演變

4 常規(guī)框架結(jié)構(gòu)與懸挑框架結(jié)構(gòu)力流

5 混凝土梁內(nèi)的力流離散

6 殼體應(yīng)力與鋼筋排布

7 傘形結(jié)構(gòu)的應(yīng)力跡線與結(jié)構(gòu)布置

8 基于殼體力流的開(kāi)窗邏輯

9 普通柱與樹(shù)形柱的力流路徑

構(gòu)件的內(nèi)力圖直觀反映了結(jié)構(gòu)需求的大小，若結(jié)構(gòu)的外形與內(nèi)力圖統(tǒng)一，則符合自然規(guī)律。如福斯鐵道橋，可以看成是一根跨越海峽的結(jié)構(gòu)梁，其主跨519m，由兩個(gè)206m的伸臂加上107m的懸跨組成，結(jié)構(gòu)體系為桁架。伸臂跨的特點(diǎn)是橋墩處的結(jié)構(gòu)高度很高，懸跨的特點(diǎn)是與伸臂跨連接處高度最低，中部稍高。由施工順序可知，在懸跨和伸臂跨之間接近鉸接，桁架的高度與彎矩圖高度匹配。事實(shí)上，當(dāng)時(shí)為了說(shuō)明這個(gè)橋的受力體系，設(shè)計(jì)師做了一個(gè)真人試驗(yàn)進(jìn)行演示（圖10）?，F(xiàn)代橋梁也在進(jìn)行著彎矩圖的演繹：Ney設(shè)計(jì)的Knokke Footbridge將人行橋的造型完美契合了彎矩圖，橋側(cè)面的剪影也成為風(fēng)景的一部分（圖11）。

除了橋梁，在外露的屋面結(jié)構(gòu)形態(tài)中也可以看見(jiàn)彎矩圖。舊金山機(jī)場(chǎng)屋蓋采用連續(xù)桁架，在中間跨約1/4處上下弦桿交為一點(diǎn)，桁架高度與彎矩圖高度一致（圖12）。

滑鐵盧國(guó)際車站屋蓋則是借助彎矩圖發(fā)展出形態(tài)的典型范例（圖13）。車站共有5條軌道，其中一條軌道由于運(yùn)營(yíng)要求被放到最左側(cè)，因此左側(cè)屋面迅速抬升，且左側(cè)屋面下部結(jié)構(gòu)高度受限。最終火車站屋蓋的形式確定為一側(cè)陡然升起、一側(cè)較為平緩的三鉸拱。這種非對(duì)稱三鉸拱在重力荷載作用下，在兩側(cè)分別產(chǎn)生了上、下兩個(gè)不同方向的彎矩，拉索形態(tài)即反應(yīng)了結(jié)構(gòu)彎矩圖。整個(gè)屋頂?shù)脑煨图扰c內(nèi)部的使用功能高度統(tǒng)一，又實(shí)現(xiàn)了材料的優(yōu)化布置，同時(shí)借助非對(duì)稱的結(jié)構(gòu)形態(tài)活躍了建筑形象。

虹橋機(jī)場(chǎng)T1航站樓改造的出發(fā)廳屋蓋是一個(gè)中小尺度的案例（圖14）。24.5m的屋蓋跨度和12m的雨篷懸挑，實(shí)腹梁跨越能力已足夠，但出發(fā)大廳的建筑尺度不大，梁柱體系無(wú)法帶來(lái)輕巧的結(jié)構(gòu)，達(dá)不到建筑師希望的鋼結(jié)構(gòu)外露、輕盈精致的視覺(jué)效果。通過(guò)將實(shí)腹梁格構(gòu)化，消解了梁截面的彎矩需求，采用彎矩較小的軸力構(gòu)件，進(jìn)一步增強(qiáng)鋼結(jié)構(gòu)的表現(xiàn)力。最終呈現(xiàn)的效果體現(xiàn)了建筑與結(jié)構(gòu)的完美融合。

3 “形”反映形態(tài)抵抗——形態(tài)抵抗

形與力相結(jié)合的數(shù)理形態(tài)，廣泛存在于自然界中（圖15）。比如，森林中懸垂的藤蔓、粘著露水的蛛絲，以及人類建造的吊橋和輸電線。值得說(shuō)明的是，合理的曲線形態(tài)與荷載有關(guān)。在沿跨度投影方向均布的豎向荷載作用下，形成的合理形狀是二次拋物線；當(dāng)荷載沿著構(gòu)件單元長(zhǎng)度均布時(shí)，形成的合理曲線是懸鏈線；當(dāng)均布荷載沿曲線法線方向布置時(shí)，形成的合理形狀則是圓?。愃品试砼荩?。

10 福斯鐵道橋

11 Knokke Footbridge

12 舊金山機(jī)場(chǎng)屋蓋

13 滑鐵盧國(guó)際車站屋蓋

14 虹橋機(jī)場(chǎng)T1 航站樓

15 不同荷載作用下的最優(yōu)曲線

懸鏈線可以精確地用數(shù)學(xué)上的雙曲余弦函數(shù)表達(dá)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為：y=acos(x/a)+b。它同樣也廣泛應(yīng)用于建筑結(jié)構(gòu)領(lǐng)域。比如，高迪用逆吊法找形的圣家大教堂和巴特由之家懸鏈、卡皮拉諾吊橋(Capilano Suspension Bridge)、里斯本世博會(huì)葡萄牙館、以及杰斐遜紀(jì)念拱門(Gateway Arch)（圖16）等。

類似吊橋的懸鏈形結(jié)構(gòu)，其錨固支座承受拉力，而倒置的懸鏈拱結(jié)構(gòu)，其拱腳支座承受推力。在懸鏈長(zhǎng)度相同(自重荷載相同)的條件下，懸鏈線的垂度(矢高)越小，即曲線越平緩，支座的反力(水平拉力或推力)越大（圖17），這往往是工程設(shè)計(jì)的關(guān)鍵點(diǎn)。

以杭州世紀(jì)中心為例（圖18），建筑由2幢高約310m的塔樓和商業(yè)裙樓組成，雙塔之間的天幕結(jié)構(gòu)巧妙地設(shè)計(jì)為柔性懸鏈形式，使得雙塔作為天幕牢固支承點(diǎn)的同時(shí)，在地震下又不會(huì)產(chǎn)生相互拉扯影響。在正常使用狀態(tài)下，天幕結(jié)構(gòu)主要承受恒荷載，玻璃表皮和結(jié)構(gòu)自重均沿構(gòu)件長(zhǎng)度均勻分布，符合懸鏈線的理想荷載分布。懸鏈的頂部開(kāi)口52～87m，最大垂度約73m，是一個(gè)大跨度的復(fù)雜曲面結(jié)構(gòu)，利用懸鏈?zhǔn)芰Ω咝У脑恚Y(jié)構(gòu)構(gòu)件以細(xì)小的型鋼（HN300x150x6.5x9）實(shí)現(xiàn)了簡(jiǎn)潔通透的視覺(jué)效果。對(duì)于自由曲面形態(tài)的天幕，采用四邊形網(wǎng)格的建筑效果更加簡(jiǎn)潔通透，但往往網(wǎng)格有翹曲問(wèn)題，全部采用曲面玻璃是不現(xiàn)實(shí)、不經(jīng)濟(jì)的。因此，將四邊形網(wǎng)格平面化、減小玻璃的尺寸規(guī)格和種類、協(xié)調(diào)網(wǎng)格與建筑外觀是天幕設(shè)計(jì)的難點(diǎn)。以四邊形平面網(wǎng)格擬合曲面的方法有Parallel-Vectors法、Scale-Trans法等，可用來(lái)消除幕墻板塊翹曲。在初步設(shè)計(jì)構(gòu)件的懸鏈曲面時(shí)，存在四邊形玻璃網(wǎng)格不共面的現(xiàn)象，初始網(wǎng)格中翹曲大于2.5mm的網(wǎng)格占比達(dá)17.2%，最大翹曲為4.0mm。通過(guò)優(yōu)化曲面以及懸鏈線縱向切分點(diǎn)，采用Scale-Trans法生成的網(wǎng)格，實(shí)現(xiàn)網(wǎng)格絕對(duì)平面化，翹曲理論值為零，即可以采用平板玻璃，大幅節(jié)省幕墻造價(jià)，體現(xiàn)了基于數(shù)理的幾何曲面優(yōu)化的強(qiáng)大。

馬鞍面（雙曲拋物面）也是建筑中一種常用的形態(tài)。其形成過(guò)程也較為簡(jiǎn)單，在XOZ坐標(biāo)平面上設(shè)置一條開(kāi)口向上的拋物線，在YOZ坐標(biāo)平面上設(shè)置一條開(kāi)口向下的拋物線（兩條拋物線的頂端重合于一點(diǎn)上），而后讓第一條拋物線沿另一條拋物線滑動(dòng)，便形成了馬鞍面。

馬鞍面經(jīng)常被用在索網(wǎng)屋面（圖19），在重力荷載作用下，開(kāi)口向上的受力拉索稱為承重索，在上吸風(fēng)作用下荷載反向，開(kāi)口向下的受力拉索稱為穩(wěn)定索。兩個(gè)方向拋物線形拉索在不同方向荷載作用下分別受力，保證結(jié)構(gòu)的安全性和穩(wěn)定性，因此是一個(gè)極為高效的結(jié)構(gòu)。同時(shí)馬鞍面是直紋曲面（圖20），在曲面上任意一點(diǎn)都有兩根直線經(jīng)過(guò)這一點(diǎn)，工程師常利用其直紋性降低施工難度。西班牙建筑結(jié)構(gòu)師菲利克斯·坎德拉(Felix Candela)以雙曲混凝土殼著稱，在其設(shè)計(jì)的混凝土殼中經(jīng)常用到馬鞍面，運(yùn)用馬鞍面的直紋性，可以利用豎直的木材搭建殼體模板，大大減少施工成本。

16 杰斐遜紀(jì)念拱門懸鏈形輪廓

17 懸鏈結(jié)構(gòu)的錨固方式

4 結(jié)語(yǔ)

本文從力流方向、內(nèi)力圖解、形態(tài)抵抗三方面闡述形與力的關(guān)系。但需要特別注意的是，形與力的關(guān)系一般針對(duì)于一種特定的荷載工況，如本文所列案例均針對(duì)重力荷載工況，當(dāng)某類特殊項(xiàng)目為風(fēng)荷載或地震作用等側(cè)向荷載時(shí)，則需要針對(duì)多荷載工況進(jìn)行分析，使形態(tài)與復(fù)雜受力條件更加契合。

本文作為拋磚引玉，希望通過(guò)對(duì)形與力關(guān)系的深入了解建立一種科學(xué)有效的結(jié)構(gòu)性設(shè)計(jì)方法，在結(jié)構(gòu)技術(shù)與建筑創(chuàng)作中搭建一座實(shí)時(shí)并行的橋梁，在設(shè)計(jì)初期整合建筑形態(tài)和結(jié)構(gòu)技術(shù)，將問(wèn)題集中于設(shè)計(jì)初期階段，以此來(lái)節(jié)約能源和降低成本，從而設(shè)計(jì)建造出更輕質(zhì)、低成本和可持續(xù)發(fā)展的建筑。

18 杭州世紀(jì)中心天幕懸鏈線幾何邏輯

19 馬鞍面雙向拋物線應(yīng)用于索網(wǎng)屋面

20 馬鞍面直紋性應(yīng)用于混凝土殼

圖片來(lái)源

1 來(lái)源于www.wikipedia.org

2,3 來(lái)源于cn.bing.com

4-20 線稿作者自繪