基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)建模的案例設(shè)計

趙麗娜 (長春市十一高中，吉林 長春 130024)

2003年在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(以下簡稱“課標(biāo)”)中，把數(shù)學(xué)建模列為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，強調(diào)把數(shù)學(xué)建模的思想滲透在模塊內(nèi)容之中，并提出了具體活動設(shè)計與要求.2017年修訂的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確把提出數(shù)學(xué)建模作為高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一.數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)的語言講述現(xiàn)實世界中與數(shù)量、圖形有關(guān)的故事，其依賴于所描述的學(xué)科背景.數(shù)學(xué)建模是一個從現(xiàn)實世界到符號世界的轉(zhuǎn)化，再回到現(xiàn)實世界的循環(huán)方式.可見，數(shù)學(xué)建模具有動態(tài)特征，是對現(xiàn)實問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實之間的關(guān)聯(lián)，積累數(shù)學(xué)實踐的經(jīng)驗，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng).

數(shù)學(xué)建?；顒邮沁\用模型思想解決實際問題的一類綜合實踐活動，也是中學(xué)數(shù)學(xué)課程的一條主線，它逐漸成為數(shù)學(xué)教育的熱點問題之一.本文基于核心素養(yǎng)討論急剎車距離模型案例，以期為高中數(shù)學(xué)建模的研究提供參考.

一、數(shù)學(xué)模型的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)模型需要從數(shù)學(xué)和現(xiàn)實這兩個出發(fā)點開始，就像建筑橋梁一樣，在建筑之前必須清楚要把橋梁建在哪里，要在此岸和彼岸同時設(shè)計橋墩的具體位置.也就是說，數(shù)學(xué)模型依賴于所描述的學(xué)科背景.數(shù)學(xué)建模是一個從現(xiàn)實世界到符號世界的轉(zhuǎn)化，再回到現(xiàn)實世界的循環(huán)方式將建模過程形象化.數(shù)學(xué)模型更側(cè)重于用數(shù)學(xué)創(chuàng)造出來的概念、原理和方法描述現(xiàn)實世界中的那些規(guī)律性的東西，其適用范圍通常表現(xiàn)為模型的假設(shè)前提、模型的初始值及對模型中參數(shù)的限制.在這個意義上，所有數(shù)學(xué)的形式，諸如函數(shù)、方程等，本身都不是數(shù)學(xué)模型，而是可以用來構(gòu)建模型的數(shù)學(xué)語言.

二、數(shù)學(xué)建模的設(shè)計思路

從課程標(biāo)準(zhǔn)來看，數(shù)學(xué)建模設(shè)置屬于教育性建模，關(guān)注從實用主義角度去理解現(xiàn)實世界的案例，促進(jìn)數(shù)學(xué)概念與算法的發(fā)展；以從學(xué)生能力角度對建模過程分階段進(jìn)行能力培養(yǎng)為目標(biāo)，以項目為導(dǎo)向，基于急剎車距離問題，成于活動經(jīng)驗，達(dá)于核心素養(yǎng)，落實“三會”和“四能”目標(biāo)，將積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗、培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識貫串整個設(shè)計之中.

三、案例的設(shè)計

【問題情境】

我們知道物體的運動速度是時間的一次函數(shù)，物體的位移是時間的二次函數(shù).因此，人們通常用二次函數(shù)表達(dá)物體的運動規(guī)律，用二次函數(shù)對應(yīng)的二次曲線描述物體的運動軌跡.一輛汽車急剎車的距離，不僅對駕駛員非常重要，對交通安全管理也非常重要.顯然，急剎車的距離與駕駛員的反應(yīng)時間有關(guān)，也與剎車前汽車的行駛速度有關(guān)；并且，在一般意義上，急剎車的距離因人而異，因車而異.因此，只能給出平均狀態(tài)下的數(shù)學(xué)模型.

【變量選擇】

排除道路狀況、天氣狀況等隨機因素的影響，我們把這個平均狀態(tài)下的數(shù)學(xué)模型用自然語言表達(dá)為：停車距離=反應(yīng)距離+剎車距離.如果用d表示停車距離，用d1表示反應(yīng)距離，用d2表示剎車距離，那么可以把模型用數(shù)學(xué)語言表達(dá)為：

d=d1+d2

①

這樣，我們需要得到d1和d2的具體表達(dá)式.

(設(shè)計意圖：學(xué)會抽象，選擇變量，去掉干擾變量，確定主變量)

【模型假設(shè)】

首先，考慮反應(yīng)距離.假設(shè)反應(yīng)距離只是反應(yīng)時間和汽車速度的函數(shù).其中，反應(yīng)時間是指駕駛員意識到應(yīng)當(dāng)急剎車到實施急剎車所需要的時間；汽車速度是指駕駛員在實施急剎車之前汽車的速度.在一般情況下，反應(yīng)距離d1與反應(yīng)時間t和汽車速度v都成正比，因此可以把這個關(guān)系表示為d1=αtv，其中α>0為待定系數(shù).但是在現(xiàn)實應(yīng)用中，需要把這個關(guān)系式化簡為：

d1=αv

②

這主要有兩方面原因:一方面，反應(yīng)時間t的具體數(shù)值很難確定；另一方面，無法建立公式計算待定系數(shù)α的值，就像下面將要進(jìn)行的那樣，只能通過若干個形如(d1,v)的能夠觀察到的成對數(shù)據(jù)，用統(tǒng)計學(xué)的方法估計αt的值，因此舍去t反而會更加準(zhǔn)確.

其次，考慮剎車距離.排除道路狀況、天氣狀況等隨機因素的影響，還需要假設(shè)汽車的剎車系統(tǒng)和輪胎完好，這樣，剎車距離就是剎車受力與汽車速度的函數(shù).對于剎車受力，假定一次剎車就把輪胎抱死，則剎車受力大小基本就是汽車輪胎與路面的摩擦力.

(設(shè)計意圖：學(xué)會選擇變量，分析關(guān)系，提出模型假設(shè))

汽車剎車速度與停車距離數(shù)據(jù)表

根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)能夠建立停車距離與汽車速度的函數(shù)模型.

【建立模型】

d2=βv2

③

其中β為待定系數(shù)，蘊含了剎車加速度、道路摩擦系數(shù)等許多很難確定的數(shù)值.這樣,綜合②和③就可以給出模型①的數(shù)學(xué)表達(dá)式：

d=αv+βv2

④

其中α和β均為待定系數(shù).

在一般情況下，現(xiàn)實數(shù)學(xué)模型的待定系數(shù)不可能通過理論計算得到，這是因為在構(gòu)建模型的過程中有許多因素不可能考慮清楚，于是把這些因素的影響都融入待定系數(shù)之中.這樣，即便我們建立的是確定性的數(shù)學(xué)模型，但仍然需要用統(tǒng)計學(xué)的方法估計模型中的待定系數(shù).

這樣，得到下面的急剎車停車距離模型：

d=0.006475v2+0.2065v，

當(dāng)v=120時，停車距離d的預(yù)測值為0.006475×1202+0.2065×120=118.02.

(設(shè)計意圖：根據(jù)模型假設(shè)，建立等量關(guān)系，根據(jù)數(shù)據(jù)確定參數(shù))

【模型選擇】

【模型求解】

解得a=1.2425，b=-38.85，

故d=1.2425v-38.85，

當(dāng)v=120時，停車距離d的預(yù)測值為1.2425×120-38.85=110.25；

解得a=0.9996875，b=-1456.875，

解得a≈0.0081607，b≈379.2857，

由實驗數(shù)據(jù)可知：當(dāng)v=120時，停車距離為118 m.

(設(shè)計意圖：選擇不同的模型，根據(jù)結(jié)果和模型擬合，選擇最佳模型)

【歸納提升】

精簡背景.最初模型的預(yù)測值更接近118 m，故模型d=0.006475v2+0.2065v的擬合效果最好.所以這個模型被普遍應(yīng)用于路面交通管理及汽車剎車設(shè)計.

【模型應(yīng)用】

在一個限速40 km/h的彎道上，甲、乙兩車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況后同時剎車，但還是發(fā)生了相撞.測得甲車的剎車距離為12 m，乙車的剎車距離為10.5 m，如果已知甲、乙兩種車型的剎車距離s(m)與車速x(km/h)的關(guān)系分別為：

s甲=0.1x+0.001x2,

s乙=0.05x+0.05x2.

請計算出相撞事故的主要責(zé)任車輛.

d=0.208v+0.006v2.

(設(shè)計意圖：根據(jù)最佳模型去判斷、預(yù)測和分析，體會建模的意義)

四、案例設(shè)計的反思與討論

在上面的討論中可以看到，我們精簡了很多因素與變量.這樣的精簡必將影響表達(dá)式對客觀現(xiàn)實的描述，所以，我們只用數(shù)學(xué)的語言刻畫物體運動的規(guī)律，而不是探究物體運動的原因.

在數(shù)學(xué)模型的發(fā)展歷程中，從建模過程動態(tài)的角度來看主要是循環(huán)特征，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是一個動態(tài)的過程，是一個逐漸接近客觀規(guī)律的過程.可見，數(shù)學(xué)建模從建模意識到思想的感悟，從體驗建模過程到自主建構(gòu)，從簡單實踐過程的體驗到經(jīng)驗的積累，單純依賴教師的課堂講授是不行的，更主要的是依賴學(xué)生的自主參與探究和同伴間的合作.教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷完整的建模過程，從感知經(jīng)驗上升到方法經(jīng)驗與思維經(jīng)驗.

1.建模過程動態(tài)的思維特征：數(shù)學(xué)模型是有邏輯的抽象化

構(gòu)建急剎車距離的數(shù)學(xué)模型是對現(xiàn)實物理背景本身進(jìn)行抽象.傳統(tǒng)的科學(xué)研究可以從觀察結(jié)果中歸納出結(jié)論，通過現(xiàn)象歸納模型，通過演繹描述模型，通過現(xiàn)象驗證模型，有邏輯地得到研究對象的性質(zhì)，以及描述研究對象之間的關(guān)系.通過模型表達(dá)，人們用數(shù)學(xué)所創(chuàng)造的語言、符號和方法來描述現(xiàn)實世界中的故事，促進(jìn)了數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展.數(shù)學(xué)建模過程的思維特征是不斷的有邏輯的抽象與推理，是歸納與演繹的有機融合.

2.建模過程動態(tài)的經(jīng)驗特征：數(shù)學(xué)模型是實踐經(jīng)驗與思維經(jīng)驗的復(fù)合

我們知道，數(shù)學(xué)模型的建立最初是對問題復(fù)雜性的洞悉和對變量關(guān)系的選擇.數(shù)學(xué)建模在本質(zhì)上可以是活動經(jīng)驗的積累，可以是思維活動經(jīng)驗的積累，也可以是實踐活動經(jīng)驗的積累.學(xué)生在不同階段積累不同的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，從經(jīng)歷過的事物推斷未曾經(jīng)歷過的選擇，既能夠從條件推斷結(jié)果，又能從結(jié)果探究成因，這是一種創(chuàng)造性思維活動.數(shù)學(xué)建模意識、經(jīng)驗和數(shù)學(xué)思想的感悟是一種隱性知識，因此，通過構(gòu)建急剎車距離模型既要突出各階段建模不同能力的培養(yǎng)和活動經(jīng)驗的積累，又要注重學(xué)生的自身體驗、感悟和創(chuàng)造.教師通過融合的建模數(shù)學(xué)課程設(shè)計和引導(dǎo)，全方位立體化地落實數(shù)學(xué)模型素養(yǎng)的實施，能有效提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

3.數(shù)學(xué)模型課程設(shè)計的融合特征：進(jìn)階與結(jié)構(gòu)化設(shè)計

融合的課程設(shè)計是指在核心知識單元既有單元知識融合，又有獨立的課題設(shè)計；既有小綜合，又有大綜合；既有課內(nèi)探究活動，又有課外探究活動.數(shù)學(xué)建模是過程化、綜合性與實踐性融合一體的教育,是落實學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效載體，因此，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的進(jìn)階評價還是要回歸數(shù)學(xué)建模的核心特征，改變傳統(tǒng)的“目標(biāo)、成就、評價”的線性單元結(jié)構(gòu)設(shè)計及終結(jié)性評價，提倡以“主題、經(jīng)驗、表達(dá)”的非線性單元結(jié)構(gòu)設(shè)計，這樣既能夠突出各階段不同能力的培養(yǎng)和活動經(jīng)驗的積累，又能夠全方位立體化地突出數(shù)學(xué)模型的地位，落實數(shù)學(xué)模型素養(yǎng)的實施.

4.數(shù)學(xué)模型課程評價的形成特征：個性差異與價值認(rèn)知

數(shù)學(xué)建模是過程的教育,是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的集中體現(xiàn)，因此，數(shù)學(xué)建模的評價還是要回歸數(shù)學(xué)建模的核心特征，改變傳統(tǒng)的終結(jié)性評價，提倡“主題、經(jīng)驗、表達(dá)”的非線性單元結(jié)構(gòu)設(shè)計和形成性評價，并且采用科學(xué)客觀的方法判斷課程實施質(zhì)量.不同階段數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容要求對建模過程、活動經(jīng)驗和數(shù)學(xué)思維都有所表述，但沒有系統(tǒng)化的闡述和表征.因此，我們試圖建立更清晰的行為表現(xiàn)界定，注重學(xué)生的體驗過程，在體驗的基礎(chǔ)上構(gòu)建自己的價值認(rèn)知；關(guān)注學(xué)生的個性差異，拓寬學(xué)生實踐的智慧時空；關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力與活動經(jīng)驗的生成與積累，以此來全方位提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).