“軟”任務(wù)著地 尋數(shù)學(xué)本質(zhì)

摘 要：數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)學(xué)科知識的本質(zhì)認(rèn)識，教師只有了解了數(shù)學(xué)的本質(zhì)才能真正達(dá)到鍛煉和提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的目的。所以，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師要重視數(shù)學(xué)思想這一“軟”任務(wù)的教學(xué)，從思想上認(rèn)識到在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想的重要性及其價值和意義。這樣才能在充分發(fā)揮學(xué)生課堂主體作用的同時，幫助學(xué)生形成基本的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，進(jìn)而為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升及學(xué)習(xí)能力的鍛煉做好保障。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)思想;數(shù)形結(jié)合;方程思想;建模思想;轉(zhuǎn)化思想;歸納推理思想

中圖分類號：G427? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：2095-9192（2021）36-0058-03

引? 言

數(shù)學(xué)思想是學(xué)生經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果，雖然也被納入教學(xué)目標(biāo)，但它的抽象性使其在某種意義上成為教師的“軟”任務(wù)。所以，很多教師在課堂上會忽略對學(xué)生數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)。為了提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和解題能力，在實際教學(xué)過程中，教師要有意識地讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵，進(jìn)而幫助學(xué)生在了解數(shù)學(xué)本質(zhì)的過程中形成基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為學(xué)習(xí)能力的提升打好基礎(chǔ)[1]。

一、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是學(xué)生最容易理解的一種數(shù)學(xué)思想，即將代數(shù)與圖形結(jié)合在一起來進(jìn)行相關(guān)知識理解的解題思想[2]。從實際的教學(xué)情況來看，教師在課堂上往往只告訴學(xué)生這里或那里可以用畫圖來輔助解答問題，而學(xué)生自己在解答問題時卻鮮有畫圖輔助的習(xí)慣。學(xué)生缺少用畫圖輔助解題的意識，在很大程度上影響了學(xué)習(xí)質(zhì)量和學(xué)習(xí)效率。那么，在實際教學(xué)過程中，教師該如何將數(shù)形結(jié)合思想滲透到數(shù)學(xué)課程的教學(xué)中呢？

（一）基礎(chǔ)知識教學(xué)中的滲透

近些年教材經(jīng)過了多次修訂。我們不難發(fā)現(xiàn)，插圖在教材中的占比增長明顯，這恰好是教師滲透數(shù)形結(jié)合思想的良機。教師可以從低年級開始，進(jìn)行數(shù)形結(jié)合思想的滲透，借助教材中的插圖來將抽象的概念和關(guān)系直觀化、簡單化、形象化，進(jìn)而幫助學(xué)生樹立借助圖片、圖形來輔助理解相關(guān)數(shù)學(xué)知識的意識。

例如，在教學(xué)“加法”的相關(guān)知識時，為了讓學(xué)生能夠從低年級就樹立數(shù)形結(jié)合思想，教師在相關(guān)問題的講解過程中，可以適時地滲透這一數(shù)學(xué)思想。

例1：

對于例1這一類題型（如圖1），從嚴(yán)格意義上說，它不屬于數(shù)形結(jié)合思想滲透的范疇，只不過因為小學(xué)低年級學(xué)生抽象思維能力較弱，需要結(jié)合圖形來理解相關(guān)數(shù)學(xué)概念。但這是教師給學(xué)生滲透數(shù)形結(jié)合思想的切入口。所以，在這一類習(xí)題的解答過程中，教師可以先組織學(xué)生觀察圖片，并鼓勵學(xué)生用數(shù)學(xué)語言來對圖片信息進(jìn)行合理的表達(dá)。比如，第一張圖中的“3+□=□”，學(xué)生可以表達(dá)為三只白兔子在一起玩耍，過了一會兒又來了一只灰兔子，現(xiàn)在一共有多少只兔子？教師引導(dǎo)學(xué)生在這樣的練習(xí)中感受數(shù)與形之間的關(guān)系，能降低學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的枯燥感，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

（二）習(xí)題解答中的滲透

數(shù)形結(jié)合思想是提高學(xué)生解題能力的重要數(shù)學(xué)思想之一，尤其是解答應(yīng)用題時，學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合思想不僅能理解題意，還能找到題目中的等量關(guān)系，進(jìn)而快速解題，積累解題經(jīng)驗，養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣。

例2：某公司修一條長為2850米的公路，已知前3天，該公司每天修150米，但要求后續(xù)的工程12天完成，思考該公司平均每天修多少米才能按要求完成任務(wù)？

教師可以引導(dǎo)學(xué)生按照圖2進(jìn)行思考，以幫助學(xué)生找到已知量和未知量之間的關(guān)系，進(jìn)而找到試題的解答思路。教師在教學(xué)時一定要引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合題干自己畫圖，并隨著年級的增長，逐漸增加學(xué)生結(jié)合題意自己畫圖的次數(shù)，以真正達(dá)到逐步滲透數(shù)學(xué)思想的目的。

二、數(shù)學(xué)方程思想

方程思想是指通過方程及方程組的構(gòu)建來引導(dǎo)學(xué)生解決問題。這一思想在小學(xué)數(shù)學(xué)高年級階段才會出現(xiàn)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維[3]。那么，在教學(xué)過程中，教師該如何滲透數(shù)學(xué)方程思想呢？

（一）一題多解中滲透方程思想

一題多解是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)散思維的有效方式之一。學(xué)生在一題多解的訓(xùn)練過程中也能提高知識的靈活應(yīng)用能力。但是，如何在一題多解中滲透方程思想呢？簡單來說，就是學(xué)生在解答問題時要運用方程或方程組來提高解題能力。

還以前文的例2為例，根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)生可以依據(jù)圖形傳達(dá)出來的等量關(guān)系得出答案：（2850-150×3）÷12=200（米）。此時，教師可以借助方程思想，引導(dǎo)學(xué)生思考：如果假設(shè)該公司平均每天修x米就可以在12天完成，我們能找到哪些等量關(guān)系？這樣的引導(dǎo)不僅符合學(xué)生的認(rèn)知水平，還能加深學(xué)生的理解，對提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力有積極的促進(jìn)作用。所以，在應(yīng)用題的解答過程中，教師可以通過開展這種一題多解活動，將方程思想滲透到解題過程中，以此來幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)規(guī)律。

（二）公式逆用中滲透方程思想

數(shù)學(xué)解題時存在好多公式逆用的現(xiàn)象，目的是考查學(xué)生的知識靈活運用能力，但這也給學(xué)生解題增加了難度。所以，在這種情況下，方程思想可以幫助學(xué)生按照正向的思想來解答問題，以降低試題解答的難度，提高學(xué)生的解題效率[4]。

例3：梯形的上底為5 cm，下底為10 cm，面積為90 cm2，求該梯形的高。

學(xué)生都知道梯形的面積公式是“（上底+下底）×高÷2”，學(xué)生如果不借助方程思想進(jìn)行試題的解答，而是借助公式逆用的方式，在逆向運算的過程中就很容易出現(xiàn)計算上的錯誤。比如，“除以2”就很容易丟掉。此時，教師引導(dǎo)學(xué)生借助方程思想就會讓問題解答變得更為簡單，即設(shè)該梯形的高為x，由題意得到（5+10）x÷2=90，這樣計算難度就會降低，答題正確率相對較高?？傊?，在一些公式逆用的過程中，教師要鼓勵學(xué)生借助方程思想進(jìn)行解答，以此來提高學(xué)生的問題解答效率。

三、數(shù)學(xué)建模思想

數(shù)學(xué)建模思想是指將與數(shù)學(xué)有關(guān)的情境通過數(shù)學(xué)語言來進(jìn)行描述，或者建立與數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系，進(jìn)而讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系。這對提高學(xué)生的知識靈活應(yīng)用能力有很大的促進(jìn)作用。但是，學(xué)生建模能力的培養(yǎng)和提高相對來說難度較大，需要學(xué)生具備較高的理解能力和數(shù)學(xué)思維能力。

例如，“雞兔同籠”問題是教師對學(xué)生滲透數(shù)學(xué)建模思想常用的一類試題。在教學(xué)時，教師可以先組織學(xué)生對教材內(nèi)容進(jìn)行思考，如借助多媒體向?qū)W生展示“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”為了幫助學(xué)生理解，為后續(xù)數(shù)學(xué)建模打好基礎(chǔ)，教師引導(dǎo)學(xué)生以小組為單位來將這一情境轉(zhuǎn)化成常見的數(shù)學(xué)試題形式。比如，雞兔同籠，已知頭有35個，腳有94只，請問雞有多少只？兔有多少只？然后，教師可以組織學(xué)生思考與討論，并鼓勵學(xué)生借助多種解題方法對這一問題進(jìn)行解答，這樣不僅能夠達(dá)到發(fā)散學(xué)生數(shù)學(xué)思維的目的，還能深化學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識，提高其學(xué)習(xí)效率。除此以外，教師還可以通過“舉一反三”的方式來進(jìn)行同類建模，比如，某人打算儲備210升水，想要將其分別裝在大、小兩種瓶子里面，已知大瓶可以裝3升/瓶子，小瓶1升裝2瓶，已知共裝了140瓶，問大、小瓶各裝了多少瓶？對于該題來說，他的本質(zhì)與“雞兔同籠”問題是一樣的。所以，在解答該題時，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生以“雞兔同籠”的模型來進(jìn)行思考。這樣不僅能夠幫助學(xué)生建立問題之間的聯(lián)系，還有利于學(xué)生拓展知識面。這種建模思想的滲透，極大地提高了學(xué)生的解題能力。

四、數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想

數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想是可以在教學(xué)中滲透也可以在解題中滲透的思想，其目的是將復(fù)雜的問題簡單化，將未知的問題轉(zhuǎn)化成已知的問題，將整體問題轉(zhuǎn)化成若干個小問題?？傊瑪?shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想就是通過轉(zhuǎn)化的方式來提高學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量和解題效率，進(jìn)而讓學(xué)生在獨立思考和自主轉(zhuǎn)化的過程中形成解題能力。

（一）將整體問題轉(zhuǎn)化成若干個小問題

例如，某人讀了一本故事書，目前已讀和未讀的頁數(shù)比為4∶5，如果繼續(xù)讀10頁，那么正好讀了全書的一半，請問全書一共有多少頁？

這是一道相對復(fù)雜的試題，這里的關(guān)鍵量是比例。為了提高學(xué)生的解題能力，滲透數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，在解答該題時，筆者引導(dǎo)學(xué)生將這一問題進(jìn)行了如下轉(zhuǎn)化。

（1）某人正在讀一本書，如果該書總頁數(shù)是x的話，且已讀和未讀的頁數(shù)比是4∶5，請問已讀多少頁？未讀多少頁？

（2）在這個基礎(chǔ)上，如果再讀10頁的話，那么正好讀了全書的一半，請問該書的一半是多少頁？

筆者將原本的一個問題按照題干拆分成了兩個問題，問題之間雖然有交叉，但更容易找到等量關(guān)系。從該題的轉(zhuǎn)化過程來看，我們還引入了方程，設(shè)了未知數(shù)，這也利于對方程思想的滲透。所以不難看出，將這種整體問題轉(zhuǎn)化成若干小問題的方式不僅可以讓問題簡單化，還能讓學(xué)生在轉(zhuǎn)化的過程中理清題意。

（二）將新的知識轉(zhuǎn)化成舊的知識

在教學(xué)“梯形的面積公式”相關(guān)內(nèi)容時，教師可以通過將梯形分割或拼接成已經(jīng)學(xué)過的平行四邊形、三角形、長方形的方式，來引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行推導(dǎo)。這種方法能鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的推理證明能力和學(xué)習(xí)效率。

五、歸納推理思想

歸納推理思想指的是由部分到整體，從個別到一般的推理，是鍛煉學(xué)生歸納能力及邏輯推理能力的數(shù)學(xué)思想之一。所以，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師要有意識地給學(xué)生搭建歸納推理的平臺，通過鼓勵學(xué)生獨立思考和探究來達(dá)到鍛煉和提高學(xué)生歸納能力和邏輯推理能力的目的，進(jìn)而為學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面提升打好基礎(chǔ)。

例4：分析下面的數(shù)字（如圖3），在這一三角數(shù)陣找規(guī)律。

求：第7行，左起第3個數(shù)是多少？第10行，左起第5個數(shù)是多少？第1997行，左起第3個數(shù)是多少？

教師組織學(xué)生以小組為單位對這一組數(shù)據(jù)進(jìn)行觀察和分析，并引導(dǎo)學(xué)生對每行每列之間的關(guān)系進(jìn)行思考，嘗試找到數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，比如，第4行中的數(shù)字3與第3行中的數(shù)字有什么關(guān)系？按照這個思路，教師可以繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生對第5行與第4行之間的數(shù)字關(guān)系進(jìn)行分析，比如，第5行中的第2個數(shù)字4是第4行第1位數(shù)和第2位數(shù)之和，從而引導(dǎo)學(xué)生一步步思考，嘗試在這三角矩陣中對第7行和第10行上的數(shù)字進(jìn)行推導(dǎo)。但是，對于第1997行的數(shù)字，采用這種列舉的方式顯然是行不通的。所以，在思考該題時，筆者再次引導(dǎo)學(xué)生思考行數(shù)與每行數(shù)字之間的關(guān)系?？傊?，引導(dǎo)學(xué)生大膽思考，從這一矩陣中橫向、縱向及斜向中尋找數(shù)字之間的關(guān)系，不僅能夠鍛煉和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力，還利于學(xué)生在分析與思考的過程中形成一定的數(shù)學(xué)邏輯思維。

結(jié) 語

由此可見，數(shù)學(xué)思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透既可以提高學(xué)生的解題能力，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，又能深化學(xué)生的認(rèn)知，使學(xué)生輕松掌握數(shù)學(xué)的本質(zhì)。所以，教師要有意識地向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想，要通過恰當(dāng)活動的開展及學(xué)生自主性的凸顯來確保學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)思想，進(jìn)而為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提高打好基礎(chǔ)。當(dāng)然，數(shù)學(xué)思想并不只有上文提到的這幾種，還包括整體思想、分類思想等，這些都是數(shù)學(xué)解題中常用到的思想。但需要說明的是，在數(shù)學(xué)問題的解答過程中，通常不是借助某一種思想進(jìn)行解答，而是多種思想共同使用，這同時也考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力。

[參考文獻(xiàn)]

[1]崔曉瑞.數(shù)學(xué)思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透研究[J].讀寫算，2020（36）：137-138.

[2]姚蘭婷.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透的數(shù)學(xué)思想與方法[J].中國教師，2021（S1）：136.

[3]張秀宗.探究數(shù)學(xué)思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透[J].新課程，2021（43）：76.

[4]王冬菊.在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法[J].新課程，2021（43）：202.

作者簡介：劉忠寶（1973.6-），男，福建漳州人，? 一級教師。