探析高中數(shù)學(xué)解題中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

田 昆 (山東省曹縣第一中學(xué)高中部，山東 菏澤 274400)

一、引 言

在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，有很多教師過于在乎成績，使用“填鴨式”的教學(xué)方法，學(xué)生總感覺到枯燥乏味.在高中數(shù)學(xué)解題中，有很多解題方法，除了數(shù)形結(jié)合法，還有分類討論法、換元法、反證法、定義法以及待定系數(shù)法等等.這些都對高中數(shù)學(xué)的解題有著重要的作用，可以減輕學(xué)生負擔(dān)，縮減學(xué)生思考答題時間.而且，隨著研究的不斷深入，越來越多的教師贊同教導(dǎo)學(xué)生使用多種方法來解答題目，這樣可以幫助學(xué)生更好地進行高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生厘清解題思路，降低學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的壓力，從而緩解學(xué)生的抵觸情緒.伴隨著素質(zhì)教育和新課標(biāo)教學(xué)理念的全方位實行，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用越來越廣泛.在近幾年高考的題型中，數(shù)形結(jié)合較之前占比更大，由此，本文主要探討數(shù)形結(jié)合對于高中數(shù)學(xué)解題的思想應(yīng)用，并從以下幾個方面展開論述.

二、數(shù)形結(jié)合概念的界定

數(shù)形結(jié)合，分開來看，主要是指數(shù)與形兩個方面.它是一種教學(xué)思路方法，也是一種解題思路方法，其使用情況大致可以分為兩種：一種是根據(jù)數(shù)據(jù)的精確程度，來判斷形的某些屬性，另一種是根據(jù)形的幾何關(guān)系，來判斷其與數(shù)據(jù)的關(guān)系.不管是哪種情況，都是為了在解題過程中更快地看出問題的重點，從而化復(fù)雜為簡單.在數(shù)形結(jié)合的過程中，學(xué)生要注意數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，同時，要學(xué)會舉一反三，根據(jù)數(shù)或者形中的某一特性，來達到對數(shù)或者形某一方面或者多個方面的認識.

三、數(shù)形結(jié)合的使用策略

數(shù)形結(jié)合的使用策略大概可以分為以下三種，以數(shù)化形、以形變數(shù)和形數(shù)互變.

1.以數(shù)化形

數(shù)和形是相對應(yīng)的表達方式，與圖形相比，數(shù)字比較抽象難懂，而圖形比較具體生動形象，可以直觀地表達很多屬性，對于解決問題有著決定性的作用.因此，我們在解答問題的時候，可以將數(shù)字與圖形對應(yīng)找出來，盡可能多地用圖形來解決問題.在解答問題的時候，我們可以把符合問題目標(biāo)的模式找出來，而這種模式就是指在圖形與數(shù)字之間的某一個特定的關(guān)系.把數(shù)字轉(zhuǎn)化為圖形，進而通過圖形來解決問題的方法，就是圖形分析法.而這種將數(shù)字圖形化的問題解決方式，就是將數(shù)字轉(zhuǎn)化為圖形，最終通過圖形問題來解決數(shù)學(xué)問題的方法.這種圖形解決法有三種方式：首先是運用平面幾何，其次是運用立體幾何，最后是運用解析幾何.通過這幾種方式，我們能將數(shù)字問題轉(zhuǎn)化為圖形問題.一般而言，我們首先要對已知的條件進行分析，再與已知的目標(biāo)相結(jié)合，找出它們之間的內(nèi)在關(guān)系與聯(lián)系，最后運用圖形解決問題.將數(shù)字轉(zhuǎn)化為圖形是解決數(shù)學(xué)問題的重要方式，也是解決數(shù)學(xué)問題的基本的思路方法.所以，在解答問題的時候，要厘清題目中的條件和目標(biāo)，運用圖形觀察分析，得出應(yīng)該使用的公式方法，從而達到解決問題的最終目的.

2.以形變數(shù)

對于比較復(fù)雜的圖形，僅僅靠簡單的觀察是不夠的，它還需要與數(shù)字相結(jié)合，需要通過數(shù)字來解決其中的問題.在解決幾何問題時，高中學(xué)生由于學(xué)習(xí)知識的單一性，并不能在頭腦中高度地構(gòu)建出題中所給的圖形，進而影響了做題的速度.因此，在計算的時候，學(xué)生要注意把復(fù)雜的圖形知識轉(zhuǎn)化為數(shù)字知識，而且，通過復(fù)雜的圖形結(jié)構(gòu)可以挖掘隱藏的數(shù)字知識.在解析某些復(fù)雜的圖形時，我們往往要構(gòu)建出坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系等輔助工具，將復(fù)雜的圖形直觀化.對于這類題目，解答的基本思路在于結(jié)合圖形，找出在圖形中體現(xiàn)出來的幾何知識，即通過圖形表達出來的性質(zhì)、概念、定理等，再結(jié)合所學(xué)習(xí)的數(shù)字知識解答問題.對于某些高考試題，學(xué)生在解決立體幾何類問題時，如果不借助以形變數(shù)的數(shù)學(xué)思想，則很難通過高強度的邏輯思維來強行畫出要求的圖形.因此，在做這種類型題時，教師最好引導(dǎo)學(xué)生使用數(shù)形結(jié)合的思想，即通過代數(shù)法來解決相關(guān)的圖形問題.

3.形數(shù)互變

在解決數(shù)學(xué)問題的時候，對于一些比較復(fù)雜的問題，我們不僅要將數(shù)字轉(zhuǎn)化為圖形，還要將圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)字.由于圖形與數(shù)字同為數(shù)學(xué)最基本的兩個要素，二者在絕大多數(shù)情況下都能相互轉(zhuǎn)化，圖形明顯易懂，數(shù)字邏輯性強，所以，圖形與數(shù)字相互轉(zhuǎn)化時有極強的邏輯貫通性.我們通過結(jié)合數(shù)字與圖形的優(yōu)點來達到解決問題的目的.在學(xué)習(xí)中，學(xué)生的重點往往是解決問題，如果通過抽象的數(shù)字和復(fù)雜的圖形不容易看出解決問題的方法，那么在解答這種問題的時候，最主要的方法就是將直觀的圖形知識轉(zhuǎn)化為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)字知識，將嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、不易表達或者抽象的數(shù)字知識轉(zhuǎn)化為形象的圖形知識.只有這樣，才可以很好地解決數(shù)學(xué)問題.

四、數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)解題中的思想應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是枯燥乏味的，是難以理解的.由于學(xué)生對數(shù)學(xué)敏感程度不同，對老師所教的內(nèi)容消化吸收得有所差異，因此學(xué)生的學(xué)習(xí)成績差異較大，這時學(xué)生就需要高效的學(xué)習(xí)思路和方法.在高中數(shù)學(xué)中有很多解決問題的思路和方法，而每一種思路和方法又可以解答不同類型的問題.數(shù)形結(jié)合也不例外.數(shù)形結(jié)合的最大好處在于它的直觀性，學(xué)生在運用具體的圖形時，能夠更好地解決抽象的數(shù)學(xué)問題.學(xué)生要想運用數(shù)形結(jié)合的解題思想，必須要有意識地將抽象問題向具體圖形進行轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)自己的圖形理解能力、圖形認知能力.在高中數(shù)學(xué)的解答過程中，數(shù)形結(jié)合可以在多個方面發(fā)揮作用，比如，數(shù)軸類問題、三角類問題、不等式類問題、函數(shù)類問題以及方程類問題和立體幾何問題，這些都是運用數(shù)形結(jié)合就可以解決問題的題型.

1.數(shù)形結(jié)合在數(shù)軸類問題中的思想應(yīng)用

顧名思義，數(shù)軸類問題主要使用的就是數(shù)軸，而數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合方法之一.數(shù)軸是規(guī)定了原點、正方向、單位長度的一條直線，線是點的集合.數(shù)軸的圖形原理就是通過數(shù)軸上的點與對應(yīng)的數(shù)字相結(jié)合，找到它們之間的對應(yīng)關(guān)系，最終達到數(shù)形結(jié)合的方法.這種思維解答方式更加具有拓展意義，而且，可以更加快速有效地解決相關(guān)問題，從而使高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不再枯燥無味，而具有生命力和活力，更重要的是，它可以幫助學(xué)生培養(yǎng)思維，提高學(xué)生的思維拓展能力.

例1假設(shè)集合A={x|x∈Z,且-10≤x≤-1},B={x|x∈Z,且|x|≤5},那么A∪B中的元素個數(shù)是( ).

A.11 B.10 C.16 D.15

解析數(shù)軸能形象地表示數(shù)，數(shù)軸上的點和實數(shù)一一對應(yīng)，即每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示.如圖1所示，由題意結(jié)合圖形可知，此類數(shù)軸題是在高中數(shù)學(xué)中出現(xiàn)比較頻繁的一類題目，而且，這種圖形也是高中數(shù)學(xué)中比較直觀簡單的圖形之一.對于此類題目，我們只需要根據(jù)集合中的相關(guān)元素，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖形問題，從而解決問題.在本題中，由圖可知，集合A與集合B的并集中共包含了16個整點數(shù).

圖1

2.數(shù)形結(jié)合在三角類問題中的思想應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合的主要思路就是將數(shù)字轉(zhuǎn)化為圖形，將圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)字，最終達到解決問題的目的.在解決三角類問題的過程中，我們可以將相對復(fù)雜的、難以理解和想象的代數(shù)問題，通過圖形表達出來，這樣可以更加直觀地找出題目的幾何背景，從而使學(xué)生對問題的思考更加深入，開闊學(xué)生的思維，降低學(xué)生的考試壓力，最終縮減學(xué)生的答題時間.

圖2

3.數(shù)形結(jié)合在不等式類問題中的思想應(yīng)用

在解答高中數(shù)學(xué)問題的過程中，特別是在解答不等式或方程問題的過程中，學(xué)生往往喜歡運用代數(shù)的方法來解答.在這種情況下，學(xué)生的解答思路就會局限于數(shù)的解答上，從而縮減了學(xué)生的思路，使問題變得更加枯燥、復(fù)雜、難懂.而且，學(xué)生在解答到某一個階段的時候，往往會因為無法進一步思考，而不得不停止思考，題目也會成為只解答了一半的未解題.在解答不等式問題的過程中，若將代數(shù)融入圖形之中，則有利于學(xué)生更加深入思考.當(dāng)然，這也需要學(xué)生具有很好的轉(zhuǎn)化能力，能夠?qū)⒋鷶?shù)問題直接快速地轉(zhuǎn)化為圖形問題.

圖3

4.數(shù)形結(jié)合在函數(shù)類問題中的思想應(yīng)用

函數(shù)類問題是高中數(shù)學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)的問題，換句話說，它是高中數(shù)學(xué)的高頻考點.然而函數(shù)類問題也十分復(fù)雜.所以，在解決函數(shù)類問題的過程中，將相關(guān)的問題通過圖形表示出來，不僅可以幫助學(xué)生對題目的理解，厘清解答思路，還可以幫助學(xué)生對函數(shù)知識有一個更深入的認識，而且，可以幫助學(xué)生對函數(shù)的隱藏關(guān)系進行探索與挖掘，最終使學(xué)生的解題思路更加深入與靈活.

例4已知log2(-x)

解析如圖4所示，由題意以及所畫圖形，可以很直接地得出y=log2(-x)的圖象在y=x+1圖象的下方部分所對應(yīng)的x的值，所以，可以很簡單地得出x的取值范圍，即(-1，0).

圖4

5.數(shù)形結(jié)合在方程類問題中的思想應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)中，方程類問題是最適合運用數(shù)形結(jié)合思想解決的題型之一.在問題的解決過程中，學(xué)生可以結(jié)合圖形，使抽象的代數(shù)轉(zhuǎn)化為具體形象的圖形模式，最終使問題簡單、容易理解，從而幫助學(xué)生快速地解答問題.

例5已知方程ax-x-a=0,且a的取值范圍是(1，+∞)，方程有幾個解？

解析在本題中，老師可以引導(dǎo)學(xué)生畫出y=ax的圖象，以此來幫助學(xué)生進一步解答.同時，學(xué)生要牢牢記住經(jīng)典的函數(shù)模型和其所代表的平面曲線，在遇到類似的題目時也能迅速厘清思路，完成題目.

6.數(shù)形結(jié)合在空間幾何問題中的應(yīng)用

立體幾何在高中數(shù)學(xué)中同樣占有相當(dāng)重要的比重.在解決立體幾何問題時，學(xué)生既可以采用畫輔助線這種純圖形式的做法，也可以使用以形換數(shù)，轉(zhuǎn)化為空間向量的做法.作為高中數(shù)學(xué)中比較經(jīng)典的解題方式，空間向量也是數(shù)形結(jié)合在空間幾何中的重要應(yīng)用.使用空間向量等以形換數(shù)的思想，能鍛煉學(xué)生以數(shù)換形的思維定式，增加對數(shù)據(jù)的理解能力.

例6正方體ABCD-A′B′C′D′中，M是AD的中點，N是DC的中點，P是A′C′的中點，求平面MPN與平面A′BC′的夾角.

圖5

五、結(jié) 語

在高中數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合是一種簡單、直觀、形象的解答方法.對于學(xué)生而言，數(shù)形結(jié)合百利而無一害，它可以幫助學(xué)生更加深入理解題型，還可以幫助學(xué)生更加直觀地認識題目.高中數(shù)學(xué)復(fù)雜的題目往往涉及多個考量標(biāo)準(zhǔn)，而數(shù)形結(jié)合這種思想能長驅(qū)直入，直奔主題.換一句話說，它可以幫助學(xué)生更加簡單地解決相關(guān)題目，縮減學(xué)生的解題時間，同時讓學(xué)生認識到，數(shù)學(xué)不是簡簡單單的數(shù)字計算，也不是將數(shù)字代入現(xiàn)成的公式中，而是要思考解決辦法，即使遇見了不同的尚未見過的題型，也要有正確應(yīng)對的心理素質(zhì)和正確解決問題的數(shù)學(xué)能力.而且，數(shù)形結(jié)合方法可以拓展學(xué)生邏輯思維能力、轉(zhuǎn)化思維能力等等，從而提高學(xué)生的解題能力.所以，在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生要注重對數(shù)形結(jié)合方法的學(xué)習(xí).