基于核心素養(yǎng)下的初中數學賦能作業(yè)設計

姜曙光 尹海濤 (吉林省吉林市第五中學,吉林 吉林 132001)

引 言

為落實黨的十八大提出的“立德樹人”的教育根本任務，教育部于2014年發(fā)布了《關于全面深化課程改革 落實立德樹人根本任務的意見》，該文件提出要研究制定學生發(fā)展核心素養(yǎng)體系.2016年9月，北師大核心素養(yǎng)研究課題組發(fā)布研究成果，基于文化基礎、自主發(fā)展、社會參與三個方面，提出人文底蘊、科學精神、學會學習、健康生活、責任擔當、實踐創(chuàng)新六大素養(yǎng).2017年12月，教育部發(fā)布了《普通高中數學課程標準(2017年版)》[以下簡稱《課程標準(2017年版)》]，該文件提出數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析六個數學學科核心素養(yǎng).學生發(fā)展核心素養(yǎng)與數學學科核心素養(yǎng)不僅能指導普通高中數學課程標準、教材的修訂，也是初中數學教學的指南.真正培養(yǎng)全面發(fā)展的人才，僅憑課堂是遠遠不夠的，想讓教育延續(xù)，最佳的方式就是作業(yè).賦能作業(yè)是為學生學科素養(yǎng)發(fā)展提供的平臺，通過不同形式的作業(yè)激發(fā)學生探求知識的欲望，培養(yǎng)學生的科學精神和實踐能力.賦能作業(yè)要賦予學生自主學習、科研及實踐的能力，并在賦予學生能力的同時，提高教師的思考與創(chuàng)造能力.

一、初中數學賦能作業(yè)的研究意義

從“量”的方面來說，賦能作業(yè)嚴格控制學生的作業(yè)量，減少作業(yè)時長，減少不必要的、重復機械的作業(yè)，讓學生有更多的課外時間去研究自己喜歡的、有意義的事情.

從“效”的方面來說，賦能作業(yè)能讓學生在單位時間內獲得更多的能力，重視學生基礎知識、基本技能的落實，同時關注學生數學思想的養(yǎng)成和數學基本活動經驗的積累.

從“育人”的方面來說，一是培養(yǎng)學生的數學素養(yǎng)，目的在于發(fā)展學生數學抽象、數學建模、數學運算、數據分析、直觀想象、邏輯推理六大核心素養(yǎng)；二是培養(yǎng)學生的科學素養(yǎng)，目的在于培養(yǎng)學生發(fā)現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力.

從“學?！钡姆矫鎭碚f，一是解決數學學科作業(yè)量、形、效的問題；二是為其他學科的作業(yè)設計提供參考.

從“教育均衡”的方面來說，賦能作業(yè)能為其他學校的作業(yè)設計提供第一手資料.

從“國家”的方面來說，賦能作業(yè)的實施能為國家雙減工作的落實提供參考.

二、初中數學賦能作業(yè)的基本類型

(一)知識型作業(yè)(獨立完成)

1.設計意圖：落實當天學習的基礎知識，即關注每節(jié)課的核心知識點、單元的核心知識點，針對核心知識點布置相應的作業(yè).

2.設計方式：填空題、選擇題、單一知識點的解答題.

3.設計時間：5分鐘到7分鐘.

(二)技能型作業(yè)(獨立完成)

1.設計意圖：培養(yǎng)學生發(fā)現問題、 提出問題、分析問題、解決問題的能力，引導學生學會正確地進行數學思考.

2.設計方式：解答題.

3.設計時間：7分鐘到9分鐘.

(三)活動型作業(yè)(可合作完成)

1.設計意圖：滲透數學思想，積累活動經驗，指向科學研究的方法，兼顧學科融合.

2.設計方式：不限形式.如：手抄報、論文集、動手實踐等.

3.設計時間：不限時間.如：周作業(yè)、月作業(yè)、學期作業(yè)等.

(1)活動型作業(yè)之實踐型作業(yè)(Practice)

引導學生主動改造和探索現實世界.其基本特征為客觀性、能動性和社會歷史性.例如：實踐型作業(yè)、操作型作業(yè)、著作型作業(yè)和勞動型作業(yè)等.

(2)活動型作業(yè)之創(chuàng)新型作業(yè)(Innovation)

創(chuàng)新型作業(yè)的目的在于培養(yǎng)學生發(fā)現問題、提出問題、解決問題的能力，而發(fā)現問題、提出問題是創(chuàng)造能力的前提，所以創(chuàng)新型作業(yè)更側重于學生對問題的發(fā)現和提出.例如：探索型作業(yè)和發(fā)現型作業(yè)等.

(3)活動型作業(yè)之延展型作業(yè)(Expansion)

延展型作業(yè)的目的是釋放有限資源的無限潛能，延展型作業(yè)要為學生提供一個全新的視角，讓學生體會如何使用自己擁有的知識和技能，培養(yǎng)學生發(fā)掘自己已有資源的能力.例如：個性化作業(yè)和融合型作業(yè)等.

(4)活動型作業(yè)之網絡型作業(yè)(Network)

網絡型作業(yè)的目的是培養(yǎng)學生的資源意識，網絡資源可供學生學習交流、研討，更重要的是數據庫技術會對學生做出準確的、可持續(xù)性的分析，為學生的終身發(fā)展提供便利條件.例如：網絡學習型作業(yè)、網絡論壇型作業(yè)、網絡合作型作業(yè)和網絡作品型作業(yè)等.

三、初中數學賦能作業(yè)樣例

1.“角的平分線的性質”賦能作業(yè)樣例

依據：《課程標準(2017年版)》.

核心知識：探索并證明角的平分線的性質，應用角的平分線的性質解決相關問題.

作業(yè)設置1：(知識型作業(yè))

題目1如圖1，BE是△ABC的角平分線，∠C=90°,ED⊥AB于D，ED=3，AE=5，則AC的長為( ).

A.6 B.7 C.8 D.9

題型：選擇題.

設計意圖：直接利用角平分線的性質,找到角平分線的基本圖形，進而解決問題.

設計時間：1分鐘.

圖1

圖2

題目2如圖2，AD是△ABC的角平分線，∠C=90°,CD=4，AB=10，則△ABD的面積是________.

題型：填空題.

設計意圖：根據角平分線的性質作恰當的輔助線，補成角平分線性質的幾何模型，滲透數形結合思想.

設計時間：2分鐘.

題目3已知：如圖3，AD是△ABC的角平分線，且D是BC中點，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.

求證：BE=CF.

題型：解答題.

設計意圖：培養(yǎng)學生的邏輯推理能力,提高學生運用數學語言表達現實世界的能力.

設計時間：5分鐘到7分鐘.

圖3

圖4

作業(yè)設置2：(技能型作業(yè))

題目如圖4，AD是△ABC的角平分線，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB=7，AC=5.

(1)探究△ABD和△ACD面積的數量關系.

(2)你還有什么樣的數學思考？

題型：解答題.

設計意圖：培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識.從特殊情形出發(fā)，尋找一般情形并給予證明，另外，此題(2)問結論開放，可以通過學生得出的不同結論，看到學生不同的思考，有利于學生通過交流，共同促進邏輯思維的發(fā)展.

設計時間：8分鐘到10分鐘.

作業(yè)設置3：(活動型作業(yè))

題目1制作教材中的角平分儀，并說一說：在制作的過程中，你有怎樣的數學思考？

設計意圖：制作角平分儀具有實踐性，能引導學生主動改造和探索現實世界，致力于讓學生像科學家一樣去思考問題，像工程師一樣去解決實際問題.制作角平分儀的過程一定會涉及制作材料的選擇等方面，因此在不斷完善的過程中，能實現科學研究的項目引領和方案改進的目的.

設計方式：小組合作完成.

設計時間：月作業(yè)，一個月內完成即可.

題目2數學小報：角的平分線的性質的應用.

題目3思維導圖：角的平分線的性質的相關習題及解法.

設計意圖：數學小報、思維導圖都具有創(chuàng)新性，學生可以根據自己的認知情況，創(chuàng)造自己認為的最美小報或導圖，既提高了自身的數學素養(yǎng)，又在作業(yè)中滲透了美育，是作業(yè)育人的一個重要環(huán)節(jié).

設計方式：獨立完成.

設計時間：周作業(yè)，一周之內完成即可.

題目4十分鐘小課堂：與角的平分線的性質有關的一道習題及對這道習題的數學思考.

設計意圖：讓學生選擇自己喜歡的題或者是自己認為重要的題，并到講臺上為全班同學進行講解.這樣設計的目的是加深學生對所學知識的理解與鞏固，并提高學生的表達能力和心理素質，使其成為全面發(fā)展的人才.

設計方式：獨立完成.

設計時間：學期作業(yè)，一個學期之內完成即可(安排在本學期自習課，以自愿為原則，由學生個人提出并展示).

2.“三角形的穩(wěn)定性”賦能作業(yè)樣例

依據：《課程標準(2017年版)》.

核心知識：三角形的穩(wěn)定性.

作業(yè)設置1：(創(chuàng)新型作業(yè))

題目如圖5，有一個六邊形鋼架ABCDEF，它的結構是不穩(wěn)定的，但在建筑和機械領域常需要穩(wěn)固這種結構，你能想出多少種不同的方法？

圖5

設計意圖：(1)數學的本質是數學思考，對于同一個問題，不同的人會有不同的數學思考，所以在問題解決過程中，不同的答案代表不同深度的思維.例如：以幾種答案(如圖6).

圖6

作業(yè)評價：以上答案均把六邊形分割成三角形，使其具有穩(wěn)定性，是對定理的直接應用，但少了一點思考.

設計意圖：(2)不是所有學生的作業(yè)都是正確答案，在學習的過程中出現錯誤是不可避免的.如果把錯誤的答案轉化成一種新的認知，進而得到新的發(fā)現，這也是科學研究的一個必要過程(如圖7).

圖7

作業(yè)評價：這個答案會引起很多學生的爭議，究竟是否正確，需要一個理論與實踐的檢驗過程，在此過程中，學生會潛移默化地體會到科學精神.

作業(yè)設置2：(實踐型作業(yè))

題目選擇合適的材料制作正六邊形模型(如圖8)，探究上述方案是否能使六邊形具有穩(wěn)定性.并探究是否有其他方案可以使六邊形具有穩(wěn)定性.

圖8

設計意圖：實踐型作業(yè)是以活動為載體，以體驗與感悟為主要內容，以提高學生的實踐能力與合作能力為目標的作業(yè).所以，實踐型作業(yè)具有綜合性、實踐性、活動性、多樣性、趣味性、體驗性、感悟性、合作性、交流性等特點.完成實踐型作業(yè)是學生的一個思維旅程，它是學生學習知識、認知社會、提升自我的實踐活動.

設計時間：周作業(yè).

作業(yè)評價：學生通過動手操作體會到了實際情形中的不穩(wěn)定性，并學會用數學理論去解釋現實模型.有的家長參與進來，和學生共同走進車間，用焊接技術完成了高質量的模型，讓學生真正體會科學在實踐中的應用，培養(yǎng)學生用科學的方式思考問題，用科學的方式解決實際問題的能力.

作業(yè)設置3：(創(chuàng)新型作業(yè))

題目在實踐型作業(yè)的完成過程中，有學生意外得到下面這種穩(wěn)定形(如圖9)，探究是否還有不同的方案，用最少的材料，讓多邊形具有穩(wěn)定性.

圖9

設計意圖：學生對作業(yè)完成了二次創(chuàng)新(如圖10)，讓自己所學的知識更有實際意義.具備這樣的思考與創(chuàng)造的能力，無論學生將來從事什么樣的工作，都能為社會的進步做出貢獻，這個過程就是科學研究中的方案改進過程.

圖10

設計時間：周作業(yè).

作業(yè)評價：這一組作業(yè)找到了六邊形穩(wěn)定的不同方案(如圖11)，如果數學教師不經過分析也會誤認為這幾個圖形不穩(wěn)定，從這點來說，學生已經實現了創(chuàng)新的目的.

圖11

以上作業(yè)的完成屬于更深層次的創(chuàng)新，學生不僅考慮了如何讓材料更節(jié)省，還考慮了如何讓圖形更美觀，讓所學習的數學知識有了實際意義上的價值.這符合培養(yǎng)學生的一個方向：像科學家一樣去思考問題，像工程師一樣去解決實際問題.

深度思考：以上圖形均具有穩(wěn)定性，但是在實際建筑中穩(wěn)定的程度是否相同？這個問題涉及了工程力學、物理等相關學科的知識.至此，學生體會到了STEM的項目引領、方案改革的本質.

作業(yè)設置4：(延展型作業(yè))

題目三角形具有穩(wěn)定性，在現實生活中,有哪些自然形成的穩(wěn)定形呢？

設計意圖：讓學生體會到數學問題不是脫離實際生活而孤立存在的，數學源于生活，生活中處處有數學.我們要善于從生活中發(fā)現數學，更要讓數學為我們的生活服務.

設計時間：月作業(yè).

作業(yè)評價：至此，學生開始留意身邊的一些事物，試著尋找身邊的數學知識.流沙畫(如圖12)引起了學生的興趣，經過一段時間的觀察，有的學生發(fā)現當它積累到一定高度后就不再增高，并提出這也是一個穩(wěn)定形的說法.

圖12

觀察得出結論：

在自然情況下，每次沙子流淌下來都形成三角形，而且三角形的形狀基本相同.(定義為自然穩(wěn)定形)

作業(yè)設置5：(實踐型作業(yè))

題目探究自然穩(wěn)定形的性質.

1.猜想與假設

(1)自然穩(wěn)定形是否一定是等腰三角形？若不是,什么情況下是等腰三角形？

(2)邊與邊的夾角是固定度數嗎？

(3)底邊和高之間有什么關系？

2.驗證與結論

(1)漏點在橫線中點正上方時，形成的是等腰三角形.

(2)底角的度數大約是55度.

(3)底邊和高的比值接近某一個定值.

[如圖13(1)(2)(3)]

3.設疑與探究

如果改變漏點位置，上述結論是否發(fā)生變化？

圖13

深度思考：最后一個模型[如圖13(4)]從物理學的角度來看是否成立？這種情形是否穩(wěn)定，又有什么樣的實際意義呢？

作業(yè)設置6：(實踐型作業(yè))

題目通過實驗探究圓錐的自然穩(wěn)定形.

設計意圖：讓學生經歷知識從平面到立體、從理論到實踐的遷移，體會科學探究的一般性方法，并在實際操作中運用所學的數學、物理、化學等相關知識解決問題，把學生培養(yǎng)成具備科學素養(yǎng)、技術專長和實踐能力的復合型創(chuàng)新人才.

發(fā)現問題：金字塔是人類歷史上的奇跡，它跨越千年，歷經無數次風雨與戰(zhàn)亂，卻幾乎完好無損.立體圖形的穩(wěn)定性和三角形的穩(wěn)定性有什么樣的關聯？收集胡夫金字塔的相關數據，查找與立體圖形穩(wěn)定性有關的論文和文章，收集與工程力學有關的論文和文章，整理并形成文字材料.

實驗問題：

1.穩(wěn)定后的形狀是否圓錐？

2.圓錐的直徑越大，圓錐的高就越大？

3.圓錐的直徑與高之間存在什么關系？(難度較大)

4.底角、頂角的度數有什么特點？

5.漏斗口的大小對實驗的影響？

6.漏斗口的高度對實驗的影響？

7.是否到達一定高度以后，圓錐的高度就不再增加？

8.實驗材料的不同對實驗的影響？

實驗準備：

1.硬件條件：教師準備了鐵架臺和部分漏斗，學生帶來了實驗用的鹽、小米、大米等，并自制了各種測量工具.

2.軟件條件：學生分組，組內成員討論實驗目標、實驗操作分工、實驗報告等.

實驗結論：

1.穩(wěn)定后的形狀是圓錐.

2.隨著下落物的增加，圓錐的直徑逐漸增大，圓錐的高不斷增大.

3.對于同一種材料，圓錐的直徑與高的比值是一個定值.

4.底角度數在一定的范圍內浮動.

5.漏斗口過大或位置過高會導致圓錐無法形成較好的頂部，對實驗有影響.

6.實驗材料的不同對實驗是有影響的.

圖14

圖15

實驗數據記錄表

表達交流：

(1)我想把結論應用在建筑方面，設計一個永遠沒有積雪的房子.只需要讓房子頂部的傾角大于雪的穩(wěn)定角，那樣房子上就不再有積雪了.

(2)我想把結論應用在安全保障上面，在野外滑雪時要注意觀察，當山坡的傾角大于雪的穩(wěn)定角時就要遠離那里，因為發(fā)生雪崩的可能性極大.

(3)我想研究泥、沙石、水的混合物的穩(wěn)定性，從而發(fā)現泥石流的原因與規(guī)律，更好地為人類服務.

(4)我想研究地震后堆積物的穩(wěn)定性問題，這會對災后救助有所幫助.

作業(yè)評價：通過這組作業(yè)的完成，學生的數學思考不斷深入，科學意識也逐步加強，由形的穩(wěn)定到體的穩(wěn)定，進而考慮到房屋建筑、泥石流、雪崩、地震救援等問題，使獲得的結論能為社會服務.這組作業(yè)激發(fā)了學生對科學研究的熱情，同時培養(yǎng)了學生的“責任擔當”，實現了作業(yè)的育人功能；另外，這組作業(yè)也培養(yǎng)了學生的數學核心素養(yǎng)，讓學生用數學的眼光去觀察世界，用數學的思維去思考世界，用數學的語言去表達世界，發(fā)展了學生的數學應用意識.

結 語

對于初中數學賦能作業(yè)的研究，我們也是初探，但是對于賦能作業(yè)的功能，已經定位于發(fā)展學生的數學核心素養(yǎng)和科學素養(yǎng).因此，我們不僅要研究賦能作業(yè)的頻率、賦能作業(yè)的長度、賦能作業(yè)的可理解性、賦能作業(yè)的挑戰(zhàn)性，還要研究賦能作業(yè)的講評與反饋.