序列型分?jǐn)?shù)階差分方程解的存在唯一性

李小敏, 惠小健

(西京學(xué)院理學(xué)院, 西安 710123)

雖然分?jǐn)?shù)階與整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的概念幾乎是同一時(shí)期出現(xiàn)的, 但是由于其復(fù)雜性及缺乏工程背景使得近三百年內(nèi)分?jǐn)?shù)階微積分發(fā)展較為緩慢．隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展及自然界中諸多分?jǐn)?shù)維背景現(xiàn)象的顯現(xiàn),使得分?jǐn)?shù)階微積分理論引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[1-5],對分?jǐn)?shù)階差分方程的研究逐漸興起,相關(guān)的理論也在不斷完善[6-8],研究已取得了一些成果[9-10]．相對于整數(shù)階系統(tǒng),分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)能夠更加真實(shí)地描述自然界中的某些現(xiàn)象, 尤其是對于具有記憶和遺傳性的系統(tǒng),使得分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)在物理學(xué)、控制工程及生物工程等領(lǐng)域有非常廣泛的應(yīng)用[11-13]．分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的研究是以分?jǐn)?shù)階微分及差分方程為理論基礎(chǔ),而差分方程解的重要性是不容被忽視的．大多數(shù)情況下,分?jǐn)?shù)階差分方程的解析解不易求得; 因此,研究解的存在唯一性理論顯得尤為重要．近年來,許多學(xué)者對整數(shù)階、分?jǐn)?shù)階差分方程解的存在性問題進(jìn)行了研究,并取得了較好的研究成果,但對于序列型分?jǐn)?shù)階差分方程的研究較少．序列型分?jǐn)?shù)階差分的意義在于,可將差分算子Δσn的階次σn(σn>1)分解成若干個(gè)階次為αi(0≤αi≤1,i=1,2,…,n)的差分算子,無論是在Riemann-Liouville定義下還是Caputo定義下研究差分方程的理論性質(zhì),階次介于0到1都比階次大于1的差分方程簡便得多．程金發(fā)[14]系統(tǒng)地提出了分?jǐn)?shù)階和分、差分的定義及分?jǐn)?shù)階差分方程的定義, 并證明了基于向后差分的Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階差分方程、Caputo型分?jǐn)?shù)階差分方程及序列型分?jǐn)?shù)階差分方程解的存在唯一性．本文基于文獻(xiàn)[14]給出的向后差分的定義,推導(dǎo)出基于向前分?jǐn)?shù)階差分的Z變換公式,并通過Z變換及離散Mittag-Leffler函數(shù)的性質(zhì), 證明基于向前差分的序列型分?jǐn)?shù)階線性及非線性差分方程解的存在唯一性．

1 分?jǐn)?shù)階差分與和序列型差分

1.1 向前差分與和分

定義1[14]設(shè)n∈N+,稱x(n)=x(n)-x(n-1)為x(n)一階向后差分, Δx(n)=x(n+1)-x(n)為x(n)一階向前差分．定義Δkx(n)=ΔΔ(k-1)x(n)為x(n)的k階向前差分, 其中k∈N+．

性質(zhì)1當(dāng)k1∈N+,k2∈Z時(shí), 有Δk1Δk2x(n)=Δk1+k2x(n)成立．

應(yīng)用前面的定義和性質(zhì),易證明下列結(jié)論．

1.2 序列型分?jǐn)?shù)階差分

2 分?jǐn)?shù)階差分及和分的Z變換公式

定義6[14]設(shè)f(n)為一序列, 其中-∞

(1)

定義7[14]序列型分?jǐn)?shù)階差分可定義為

3 序列型分?jǐn)?shù)階差分方程解的存在唯一性

3.1 序列分?jǐn)?shù)線性差分方程

首先考慮以下差分方程有關(guān)初值的問題

(2)

定理8滿足初始問題(2)的解是存在唯一的．

唯一性．令y1(n),y2(n)為方程(1)的解, 則h(n)=y1(n)-y2(n)滿足方程Δσmh(n)=0及初值條件, 那么h(n)的Z變換為H(z)=0, 故由逆Z變換得h(n)=0, 從而y1(n)=y2(n)成立．證畢．

3.2 序列型分?jǐn)?shù)階非線性差分方程

考慮初值問題

(3)

則有下面基本定理．

定理9假設(shè)|f(n,y)|≤M≤∞,且滿足|f(n,y2(n))-f(n,y1(n))|≤A|y2-y1|,其中A≤1,則初值問題(3)存在唯一解．

證明 初值問題(3)等價(jià)于

(4)