重視立體幾何綜合解法 培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)

【摘 要】本文分析近年高考立體幾何的考查情況，以2020年高考數(shù)學(xué)立體幾何大題為例，闡述利用綜合法解立體幾何空間角問題的過程，以培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)及推理論證能力，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提高學(xué)生的思維能力。

【關(guān)鍵詞】立體幾何 綜合法 學(xué)科素養(yǎng) 直觀想象 推理能力

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2021）38-0129-04

近五年來，高考數(shù)學(xué)立體幾何在全國卷的考查基本是一大題兩小題，大題的位置基本上為第18或19題，屬于中等偏易的題目?？疾閮?nèi)容文理科略有不同，文理科第（1）問通常是相同的，主要是證明“線與線”或“線與面”或“面與面”的位置關(guān)系。第（2）問通常文理考查知識(shí)點(diǎn)不同，文科主要是求距離、面積或體積，理科基本是求二面角或線面角。在2020年13套高考數(shù)學(xué)試卷中，除了全國文科一、二、三卷沒有考查空間幾何，其他的都考，其中，全國理科一、三卷考查二面角，全國理科二卷、新高考一卷和二卷、北京卷、浙江卷考查線面角，天津卷考查二面角和線面角，江蘇卷考查線線角和二面角。高中教材引入了空間向量后，立體幾何的常用解法通常有綜合法和向量法兩種。兩種方法特點(diǎn)明顯，向量法模式化，關(guān)鍵是算;綜合法重思維，關(guān)鍵是想。高中教材剛引入空間向量時(shí)，對(duì)空間角問題，大多數(shù)教師還是比較重視這兩種解法的講解對(duì)比，但是隨著時(shí)間的推移，師生的眼中都只有向量法了。以前全國普通高考數(shù)學(xué)參考答案，立體幾何第（2）問空間角問題的解法通常給出綜合法和向量法兩種解法，但現(xiàn)在也只提供向量法，不再提供綜合法了，綜合法已經(jīng)被嚴(yán)重弱化了。

一、立體幾何主要考查素養(yǎng)分析

立體幾何考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要有數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算。向量法涉及的主要素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算，綜合法涉及的主要素養(yǎng)是直觀想象和邏輯推理，尤其直觀想象、空間想象能力，是綜合法解立體幾何必備的素養(yǎng)和能力。直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象，感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式，特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)。

強(qiáng)調(diào)向量法的作用是立體幾何改革的基本方向。但近年來因高考的導(dǎo)向，加之向量法模式化，思維量少，以固化的計(jì)算為主，在立體幾何的解題教學(xué)中，教師更注重空間向量的解法，而忽略了綜合法的教學(xué)，導(dǎo)致學(xué)生看到立體幾何空間角問題時(shí)，產(chǎn)生了思維定式，直接用向量法，再也不想用綜合法作答，這直接弱化了學(xué)生空間想象能力的培養(yǎng)，不利于學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展。

二、探索綜合法對(duì)直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)

作為教研人員，筆者非常關(guān)注學(xué)科核心素養(yǎng)在教學(xué)中的培養(yǎng)問題，試圖利用立體幾何綜合法解二面角和線面角，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)。下面主要以2020年立體幾何空間角的考查為例，闡述利用立體幾何綜合法解題培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的方法。

（一）關(guān)注垂直關(guān)系，從概念想象作出空間角

求二面角或線面角的主要的思維方法是降維，將空間角轉(zhuǎn)化為平面角。如何根據(jù)二面角、線面角的概念，找到垂直關(guān)系是關(guān)鍵。利用綜合法尋找垂直關(guān)系，從而找出二面角、線面角的平面角是求解空間角的常用方法。

【例1】（2020年全國高考理科三卷19題）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱DD1，BB1上，且2DE=ED1，BF=2FB1。

（1）證明：點(diǎn)C1在平面AEF內(nèi);

（2）若AB=2，AD=1，AA1=3，求二面角A-EF-A1的正弦值。

〖思路探索〗（2）由長方體的相關(guān)性質(zhì)及已知線段可計(jì)算出各線段的長，由勾股定理可得∠AEF為直角，且A1E=A1F，取EF中點(diǎn)G，將AE平移到GH，則∠A1GH為二面角A-EF-A1的平面角，解△A1GH可得。

〖解答過程〗

（1）（略）

（2）由已知可得A1E=A1F=[5]，AE=[2] ，AF=2[2]，EF=[6]。

因?yàn)锳F2=EF2+AE2，所以∠AEF=90°。

取EF中點(diǎn)G，連接A1G，則A1G⊥EF。

過G作GH∥AE交于H，則HG⊥EF，

所以∠A1GH為二面角A-EF-A1的平面角。

在△A1GH中，GH=[12]AE=[22]，A1G=[5-64]=[142]。

在△AA1F和△A1AH中，由余弦定理得

[5=9+8-2×3×22cos∠A1AFA1H2=9+2-2×3×2cos∠A1AF]

解得A1H=[5]

在△A1GH中，cos∠A1GH=[12+144-52×22×142=-77]，

所以sin∠A1GH=[427]。

〖直觀想象〗題目給出了線段的長度，要引導(dǎo)學(xué)生直觀想象到可由線段數(shù)量關(guān)系入手，尋找二面角中相關(guān)三角形的關(guān)系。由數(shù)量關(guān)系得到二面角所在的兩個(gè)面、一個(gè)直角三角形、一個(gè)等腰三角形，由等腰三角形三線合一及直角三角形作出二面角的平面角。但二面角的平面角所在的三角形不是直角三角形，三邊中的A1H的計(jì)算有一定難度，通過△AA1F和△A1AH中的公共邊角，由余弦定理聯(lián)立方程可解得。本解法使學(xué)生從“數(shù)”想象到“形”，再從“形”回到“數(shù)”，增強(qiáng)運(yùn)用幾何直觀和空間想象思考問題的意識(shí)。

【例2】（2020年全國高考理科一卷18題）如圖，D為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE=AD，△ABC是底面的內(nèi)接正三角形，P為DO上一點(diǎn)，PO=[66DO]。

（1）證明：PA⊥平面PBC;

（2）求二面角B-PC-E的余弦值。

〖思路探索〗（2）由（1）PA⊥平面PBC，所求二面角B-PC-E的一個(gè)面為（1）中的平面PBC。設(shè)AE交BC于F，在三角形APE中將PA平移到FG交PE于G，則FG⊥平面PBC，易知PF⊥BC。過F作FH⊥PC于H，連接GH，則∠GHF為二面角B-PC-E的平面角。依據(jù)相似、對(duì)稱性、三角形面積等知識(shí)可算得△GHF的邊長。

〖解答過程〗

（1）（略）

（2）設(shè)AE交BC于F，過F作FG∥AP交PE于G，則FG⊥平面PBC;過F作FH⊥PC于H，連接GH，則∠GHF為二面角B-PC-E的平面角。

設(shè)AE=AD=2，則DO=[3]，AB=[3]，PO=[66DO=22]，AP=BP=EP=[62]。

又AF=[32AB=32]，EF=AE-AF=[12]，故FG=[EF·APAE=12×622=68]。

在Rt△PFC中，

FH=[CF·PFPC=32×3262=64]，

HG=[FH2+FG]=[616+664]=[308]，

所以cos∠GHF=[FHHG=64308=255]。

〖直觀想象〗由第（1）問的線面垂直結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生直觀想象到垂線為二面角中的一個(gè)面的垂線，將垂線平移到二面角內(nèi)，根據(jù)三垂線定理易作出二面角的平面角。圖形稍復(fù)雜，關(guān)鍵是要通過空間圖形找出垂直關(guān)系，并轉(zhuǎn)化到三角形中以求解。本題主要考查學(xué)生空間想象能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，能很好地培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)。

【例3】（2020年高考浙江卷19題）如圖，三棱臺(tái)DEF-ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC。

（1）證明：EF⊥DB;

（2）求DF與面DBC所成角的正弦值。

〖思路探索〗（1）因?yàn)镋F⊥ BC，只需證BC⊥ DB，由面面垂直性質(zhì)，作DH⊥? AC交AC于H，連接BH，則DH⊥平面ABC，即有DH⊥ BC。根據(jù)勾股定理可證得BC⊥ BH，所以BC⊥平面BHD，BC⊥ DB，即證得EF⊥ BC。

（2）因?yàn)镈F∥CH，所以DF與平面DBC所成角即為CH與平面DBC所成角。由（1）知平面DBC⊥平面DBH，作HG⊥ BD于G，連接CG，則∠HCG即為所求角，解三角形可求出與平面DBC所成角的正弦值。

〖解答過程〗

（1）作DH⊥ AC交AC于H，連接BH，則DH⊥平面ABC，故有DH⊥ BC。

因?yàn)椤? ? ?ACB=∠? ? ?ACD=45°，所以CD=[2CH]=2CH[?]CH=[2BC]。

在△CBH中，BH? 2=CH? 2+BC 2-2CH·BCcos45°=BC 2，有BH? 2+BC 2=CH? 2，所以BH? ⊥ BC。

又BH? ⊥ DH=H，所以BC? ⊥平面BDH，從而BC? ⊥ BD。

而EF∥BC，所以EF? ⊥ DB。

（2）因?yàn)镈F∥CH，所以DF與平面DBC所成角即為CH與平面DBC所成角。

由（1）可知，BC? ⊥平面BHD，從而平面BCD? ⊥ 平面BHD，平面BCD⊥平面BHD=BD。

作HG⊥BD于G，連接CG，則HG⊥平面BCD，即CH在平面DBC內(nèi)的射影為CG，∠HCG即為CH與面DBC所成的角。

設(shè)BC=1，則CH=[2]，BH=1，DH=[2]，BD=[3]。

在Rt△HGC中，HG =[BH·DHBD=2·13=63]，所以sin∠ HCG=[HGCH=632=33]。

故DF與平面DBC所成角的正弦值為[33]。

〖直觀想象〗本題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，線面垂直的判定定理的應(yīng)用，直線與平面所成的角的求法。由（1）的解答過程得到面面垂直，從而作出線面角，考查學(xué)生的直觀想象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力;通過面面垂直、線面垂直和線線垂直的轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。

【小結(jié)】直觀想象包括借助空間形式認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律，利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題。作出空間角的平面角是綜合法解決空間角問題的首選，綜合法求二面角或線面角的基本步驟為：一作二證三算。關(guān)鍵是作和證，二者是思維能力的體現(xiàn)，考查空間想象能力，體現(xiàn)直觀想象素養(yǎng)，作與證基本是一體的?！八恪笨疾榈氖菙?shù)學(xué)運(yùn)算，通常解法是化歸為解三角形。

（二）關(guān)注點(diǎn)面距離，想象轉(zhuǎn)化求解空間角

當(dāng)空間角的平面角不易作出或過點(diǎn)作面的垂線不易找到垂足的位置時(shí)，可想象到所求空間角所在的直角三角形，通過等體積法或等面積法求出所在直角三角形的邊。

【例4】（2020年高考北京卷16題）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BB1的中點(diǎn)。

（1）求證：BC1∥平面AD1E;

（2）求直線AA1與平面AD1E所成角的正弦值。

〖思路探索〗（2）直線AA1與平面AD1E的交點(diǎn)為A，只要求出A1到平面AD1E的距離d即可，由等體積[VA1-AED1=][VD1-A1AE]可求。

〖解答過程〗（1）（略）

（2）設(shè)正方體邊長為2，點(diǎn)A1到平面AD1E的距離d，則AD1=[22]，AE=[5]，D1E=3。

cos∠? EAD1=[8+5-92×22×5=1010]，sin ∠? EAD1=[31010];

[SVAED1=12×22×5×31010=3]。

由[VA1-AED1=][VD1-A1AE]得

[13SVAED1·d=13SVA1AE·D1A1]，

3d=[12×2×2×2=4]，

d=[43]。

所以直線AA1與平面AD1E所成角[α]的正弦值為sin[α=][dAA1=432=23]。

〖直觀想象〗本題線面角的平面角不容易作出，但只要“心中有角”，直觀想象到由斜線段和垂線段及斜線段的射影組成的直角三角形，即可求出線面角。要想求直線AA1與平面AD1E所成角，只需求A1點(diǎn)到平面AD1E的距離d。本題主要考查了直觀想象、空間想象能力及運(yùn)算能力。

【例5】（2020年新高考全國1卷20題）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD。設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l。

（1）證明：l⊥平面PDC;

（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值。

〖思路探索〗（2）如圖，Q是l上的動(dòng)點(diǎn)，平面QCD是動(dòng)面，PB與平面QCD的交點(diǎn)，即PB與QC的交點(diǎn)O，它是動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)到平面QCD的距離也是變動(dòng)的。只需設(shè)PQ=m，以上距離都能用m表示。PB與平面QCD所成角的正弦值是關(guān)于m的函數(shù)，再用不等式求出最大值即可。

〖解答過程〗

（1）（略）

（2）設(shè)PQ=m，P到平面QCD的距離為h，則PD=AD=CD=1，PC=[2]，QC=[m2+2]，QD=[m2+1];

由VP-QCD=VC-PDQ得

[13SΔQCD·h=13SΔPDQ·CD]，

[12QD·CD·h=12QP·PD·CD]，

[m2+1h=m]，

h=[mm2+1];

設(shè)PB∩QC=O，因?yàn)镻Q∥BC，

所以[PO3-PO=PQBC=m]，PO=[3mm+1];

設(shè)PB與平面QCD所成角為[α]，則

sin[α]=[hPO=3（m+1）3m2+1=33m2+2m+1m2+1=][331+2m+1m≤]

[331+22=63]，

所以PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值為[63]。

〖直觀想象〗該題考查線面平行的判定和性質(zhì)定理，線面垂直的判定和性質(zhì)定理。直觀想象到面與面的交線，由動(dòng)變靜，找出組成線面角的斜線段及垂線段，并轉(zhuǎn)化為利用基本不等式求函數(shù)的最值問題。

【小結(jié)】直觀想象還包括建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路。當(dāng)直接作出空間角有困難時(shí)，可直觀想象空間角所在的直角三角形，并轉(zhuǎn)化為求三角形的邊，通常的方法有等體積法和等面積法。遇到動(dòng)態(tài)問題可構(gòu)造函數(shù)模型再解決。

三、重視立體幾何綜合解法，發(fā)展學(xué)生直觀想象素養(yǎng)

從2020年5份高考試卷中的立體幾何大題對(duì)空間角的考查情況可以看出，立體幾何空間角問題除用向量法外，都可以用綜合法作答。但學(xué)生更喜歡用向量法，因?yàn)橄蛄糠◣缀跏浅绦蚧牟僮鳎季S量比較少，導(dǎo)致學(xué)生不愿意花時(shí)間去審題，不想用綜合法去分析問題。久而久之，立體幾何對(duì)學(xué)生的應(yīng)有培養(yǎng)功能得不到充分發(fā)揮，從而使學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力得不到提升。從這些年的情況來看，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)呈現(xiàn)下降趨勢(shì)，這有違引入空間向量的初衷。筆者認(rèn)為，在教學(xué)中要把握能力培養(yǎng)這個(gè)大方向，對(duì)立體幾何教學(xué)綜合法和向量法不能有所偏廢，宜走中庸之道，因題而異，靈活選擇解題方法。在教學(xué)中通過典型例題引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比辨析，強(qiáng)化學(xué)生運(yùn)用綜合法解決立體幾何問題的能力，讓學(xué)生在觀察、探索、發(fā)現(xiàn)、解決問題的過程中，提高學(xué)生的視圖能力、作圖能力、空間想象能力和邏輯推理能力，發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。

立體幾何空間角是歷年高考的必考點(diǎn)，要求學(xué)生掌握空間幾何體中線面平行、垂直的判斷與性質(zhì)等必備知識(shí)，具有空間想象能力、運(yùn)算求解能力、邏輯推理能力等關(guān)鍵能力。必備知識(shí)與關(guān)鍵能力一樣，是學(xué)科素養(yǎng)的基礎(chǔ)支撐。高考強(qiáng)調(diào)學(xué)科素養(yǎng)的導(dǎo)向作用，因此在高考中要重視幾何綜合法的考查，使之更好地培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng)。筆者建議在立體幾何教學(xué)中，要讓學(xué)生走出“向量萬能”的誤區(qū)，重視綜合法的講解，讓向量法與綜合法成為立體幾何解題的兩把利器。

【參考文獻(xiàn)】

[1]章建躍.立體幾何教學(xué)中的幾個(gè)問題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2015（10）.

[2]教育部考試中心.中國高考評(píng)價(jià)體系[M].北京：人民教育出版社，2019.

[3]教育部考試中心.中國高考評(píng)價(jià)體系說明[M].北京：人民教育出版社，2019.

[4]曹寶龍.基于素養(yǎng)發(fā)展的課堂教學(xué)認(rèn)知目標(biāo)體系的構(gòu)建、實(shí)施與評(píng)價(jià)[J].課程·教材·教法，2019（7）.

注：本文系廣西教育科學(xué)規(guī)劃2021年度課題“核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的數(shù)學(xué)教師專業(yè)成長路徑研究”（編號(hào)：2021C714）的階段性研究成果之一。

【作者簡介】林勝德（1968— ），男，廣西合浦人，大學(xué)本科學(xué)歷，高級(jí)教師，現(xiàn)就職于廣西北海市教育教學(xué)科學(xué)研究所，主要從事高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)方法的研究。

（責(zé)編 李 唐）