從一道測(cè)試題看“正比例圖像”的疑點(diǎn)及教學(xué)策略

朱學(xué)堯

【摘 ? 要】教師在教學(xué)“正比例圖像”時(shí)要注意以下兩點(diǎn)：一是研讀課標(biāo)，在尊重教材的基礎(chǔ)上，創(chuàng)造性地使用教材，變靜態(tài)的文本為動(dòng)態(tài)的知識(shí)形成過(guò)程，樹(shù)立正確的教材使用觀。二是從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，學(xué)生有畫(huà)折線統(tǒng)計(jì)圖數(shù)對(duì)的經(jīng)驗(yàn)，教學(xué)中立足于知識(shí)的發(fā)展、延續(xù)，提升學(xué)生的認(rèn)知水平。

【關(guān)鍵詞】課標(biāo);教材;教學(xué)策略

在市級(jí)教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)閱卷中，閱卷教師對(duì)其中一道題的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)提出了質(zhì)疑，試題及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)如下。

下面是小明買(mǎi)皮球的情況：

題目：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，描出各點(diǎn)，再連起來(lái)（4分）。

評(píng)分要求：連線時(shí)必須從（0，0）點(diǎn)開(kāi)始，所連的直線必須是一條射線，即連到（5，30）這一點(diǎn)時(shí)，這條直直的線要伸出去一點(diǎn)，不具備這兩點(diǎn)的算全錯(cuò)。

90%的學(xué)生沒(méi)有同時(shí)做到這兩點(diǎn)，70%的教師認(rèn)為：不應(yīng)該從0點(diǎn)開(kāi)始連接，理由是表格中的第一列是從（1，6）這一點(diǎn)開(kāi)始的，而不是從（0，0）點(diǎn)開(kāi)始的，更何況，題目中要求“根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，描出各點(diǎn)，再連起來(lái)”。60%的教師認(rèn)為：這條直直的線，可以是線段，也可以是射線和直線，具體要看表格中最后一列有沒(méi)有省略號(hào)和給出的數(shù)據(jù)特點(diǎn)，如果有省略號(hào)，這條線就應(yīng)該是一條射線，如果數(shù)據(jù)有負(fù)數(shù)，這就是一條直線（初中學(xué)習(xí)）。對(duì)閱卷教師提出的質(zhì)疑，筆者進(jìn)行了思考。

一、 研讀課標(biāo)，依據(jù)課標(biāo)指導(dǎo)教學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）在“數(shù)與代數(shù)”的正比例和反比例單元教學(xué)目標(biāo)中說(shuō)：“會(huì)根據(jù)給出的有正比例關(guān)系的數(shù)據(jù)在方格紙上畫(huà)圖，并會(huì)根據(jù)其中一個(gè)量的值估計(jì)另一個(gè)量的值。”并在第89頁(yè)給出了如下例子：“彩帶每米售價(jià)3.2元，購(gòu)買(mǎi)2米，3米……10米彩帶分別需要多少元？在方格紙上把與數(shù)對(duì)（長(zhǎng)度，價(jià)錢(qián)）相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)描出，并且回答下列問(wèn)題?！保裕墩n程標(biāo)準(zhǔn)》“希望學(xué)生感受成正比例關(guān)系的一組數(shù)對(duì)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在一條直線上，并且能夠借助圖形進(jìn)行數(shù)據(jù)的估計(jì)”，指出“教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生在描點(diǎn)之前，先建立下面的表格，有利于直觀地理解正比例關(guān)系，并為描點(diǎn)作準(zhǔn)備”。

第一句話可以看作本節(jié)課的一個(gè)教學(xué)目標(biāo)，第二句話可以看作例題教學(xué)實(shí)施的一個(gè)建議。在這里，表格第一列給出了0米和0元這一數(shù)對(duì)的位置，即（0，0），突出了0點(diǎn)價(jià)值和意義，學(xué)生在連點(diǎn)時(shí)，自然就會(huì)從0點(diǎn)開(kāi)始連接了，但如果教師沒(méi)有研讀《課程標(biāo)準(zhǔn)》的這一內(nèi)容，課堂上教師是否會(huì)讓學(xué)生經(jīng)歷上面列表的過(guò)程，學(xué)生又是否知道，表格第一列要從0開(kāi)始以及從0開(kāi)始描點(diǎn)的好處在哪里？這就要看教師對(duì)正比例圖像特征的理解層次了，是固守教材，有什么就教什么，還是立足于知識(shí)的發(fā)展、延續(xù)，來(lái)適時(shí)地提升學(xué)生的認(rèn)知水平？

從《課程標(biāo)準(zhǔn)》給出的課例來(lái)看，學(xué)生連點(diǎn)描線時(shí)，教師需要適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注0點(diǎn)的意義和價(jià)值，至于要不要將這條線延伸，《課程標(biāo)準(zhǔn)》中沒(méi)有作出說(shuō)明。

二、研讀教材，理解意圖，明確教學(xué)路徑

《課程標(biāo)準(zhǔn)》是教材編寫(xiě)的依據(jù)，教材是對(duì)《課程標(biāo)準(zhǔn)》的再創(chuàng)造。基于這樣的認(rèn)識(shí)，筆者對(duì)不同版本教材關(guān)于“正比例圖像”的例題素材進(jìn)行了研讀，以指導(dǎo)教師的教和學(xué)生的學(xué)。

蘇教版六年級(jí)下冊(cè)（2013年版）提供的例題情境和要解決的問(wèn)題是這樣的。

蘇教版六年級(jí)下冊(cè)（2009年版）中提出的要解決的問(wèn)題同上，提供的例題情境是這樣的（如右圖）。

對(duì)比蘇教版新舊教材所提供的方格圖中的信息，筆者得出兩點(diǎn)啟示：一是新教材把原來(lái)已形成的正比例圖像（一條直線）隱去了，留下幾個(gè)點(diǎn)。筆者認(rèn)為，這旨在讓學(xué)生經(jīng)歷描點(diǎn)的過(guò)程，在描點(diǎn)的過(guò)程中體會(huì)正比例圖像的特征，更利于達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，若按老教材提供完整的正比例圖像來(lái)教學(xué)，教師就容易略去讓學(xué)生描點(diǎn)的過(guò)程，學(xué)生直接通過(guò)觀察圖像來(lái)回答問(wèn)題，不利于達(dá)成《課程標(biāo)準(zhǔn)》所提出的教學(xué)目標(biāo)。二是老教材把這條線的一端延伸出去一小段，這樣的延伸回應(yīng)了表格后面的省略號(hào)。這一點(diǎn)新教材也有所反映，新教材方格圖中最后一個(gè)點(diǎn)的位置是（7，560），而表格中最后一組數(shù)據(jù)是（6，480），暗示了方格圖中的這條線可以繼續(xù)延伸下去。教材的“留白”，給不同的教師帶來(lái)不同的價(jià)值。當(dāng)然，如何解釋從0點(diǎn)開(kāi)始連接，為什么要把這條線延伸出去一點(diǎn)，教學(xué)時(shí)教師可以適時(shí)提出相關(guān)的問(wèn)題來(lái)讓學(xué)生討論。

人教版教材六年級(jí)下冊(cè)提供的例題情境如下：

表中的數(shù)據(jù)還可以用圖像（如下圖）來(lái)表示：

人教版教材給出的圖像也是從0點(diǎn)開(kāi)始的，但呈現(xiàn)的是一條線段，方格圖中的直線并沒(méi)有從最后一組數(shù)據(jù)（8，28）延伸出去。

北師大版教材六年級(jí)下冊(cè)提供的例題情境如下：

表格中給出的第一組數(shù)據(jù)是從（0，0）開(kāi)始的，蘇教版和人教版表格中的第一組數(shù)據(jù)均不是從（0，0）開(kāi)始，表格最后一列三個(gè)版本教材都有省略號(hào)。

研讀教材帶來(lái)的思考是教師要吃透課標(biāo)，認(rèn)真領(lǐng)會(huì)教材中的“留白”，既要尊重教材又要高于教材來(lái)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。教材是一個(gè)靜態(tài)的文本，這就需要教師有一雙“慧眼”，仔細(xì)琢磨教材，動(dòng)態(tài)地使用教材，如蘇教版新教材練習(xí)十第3題給出的完整正比例圖像既是從（0，0）點(diǎn)開(kāi)始連接的，又把這條線進(jìn)行了延伸。教學(xué)中可生成兩個(gè)層次進(jìn)行處理，一是先讓學(xué)生根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)來(lái)找點(diǎn)和連線，二是適時(shí)提出問(wèn)題來(lái)讓學(xué)生討論：“這條直線可以從（0，0）點(diǎn)開(kāi)始連接嗎？為什么？”“這條直線可以延伸出一段嗎？為什么？”“結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)，你覺(jué)得哪種連法更好？”這樣不局限于教材上呈現(xiàn)什么就教什么的教學(xué)，讓教師的教走向了深入，學(xué)生的學(xué)也就深刻了。這樣，學(xué)生在方格圖上找點(diǎn)和連線時(shí)，就不會(huì)出現(xiàn)閱卷教師爭(zhēng)論的問(wèn)題了，同時(shí)也為初中八年級(jí)正比例函數(shù)圖像的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。

三、研讀學(xué)生，探尋基于課標(biāo)、高于教材的教學(xué)策略

學(xué)生學(xué)習(xí)的折線統(tǒng)計(jì)圖，起點(diǎn)既可以從（0，0）開(kāi)始，也可以不從（0，0）開(kāi)始，還可以從橫軸或縱軸開(kāi)始。統(tǒng)計(jì)表中最后一欄數(shù)據(jù)如果是“封閉的”，那么，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)連成的線也應(yīng)是封閉的，終點(diǎn)不再延伸。在教學(xué)正比例圖像時(shí)，教師讓學(xué)生討論這條直線的起始位置和延伸的意義，學(xué)生是具備一定認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的。因此，正比例圖像教學(xué)，可以在尊重學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，適時(shí)豐富學(xué)生對(duì)正比例圖像的認(rèn)知，既尊重教材，又不拘于教材。以下是筆者對(duì)正比例圖像新授環(huán)節(jié)的思考。

【教學(xué)片段】

1.借助直觀進(jìn)行猜想。

出示表格和方格圖。

師：這是一張帶橫軸和縱軸的方格圖，橫軸表示時(shí)間，縱軸表示路程，你能找到汽車(chē)1小時(shí)行駛80千米對(duì)應(yīng)的點(diǎn)嗎？說(shuō)說(shuō)你是怎樣找的。

教師根據(jù)學(xué)生的發(fā)言，動(dòng)態(tài)顯示點(diǎn)A，并出示蘇教版六年級(jí)下冊(cè)第58頁(yè)例2圖。

師：你能從圖中看出點(diǎn)B表示幾小時(shí)行多少千米？其他各點(diǎn)呢？

師：想一想，如果用手勢(shì)來(lái)表示這幾組數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)，會(huì)是什么樣的呢？

（設(shè)計(jì)意圖：把靜止的方格圖改為動(dòng)態(tài)的演示過(guò)程，意在讓學(xué)生經(jīng)歷找點(diǎn)的過(guò)程。教師讓學(xué)生用手勢(shì)表示表格中幾組數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)，豐富了學(xué)生對(duì)正比例圖像的認(rèn)識(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)直線上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫軸上的時(shí)間、縱軸上的路程變化而比值不變，較好地掌握了概念。）

2.描點(diǎn)連線，驗(yàn)證猜想。

師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)诜礁駡D中描出表格中各組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)并連線。

師：都連好了嗎？小明同學(xué)是這樣連的（如右圖），你也是這樣連的嗎？

師：連接圖中各點(diǎn)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

小結(jié)：同學(xué)們一定想到很多。我們來(lái)看一看，這是小明同學(xué)得到的圖像（課件演示連接過(guò)程）。這些點(diǎn)都在同一條直線上，這條直線既能反映行車(chē)的時(shí)間，又能反映行車(chē)的路程，更能反映時(shí)間和路程這兩種關(guān)聯(lián)的量之間的關(guān)系。

師：小紅同學(xué)連出的圖像是這樣的（如右圖），與你們的圖像有什么不同？

引導(dǎo)學(xué)生辨析后進(jìn)行如下總結(jié)：

這輛汽車(chē)1小時(shí)之前，就開(kāi)始行駛了，小紅的圖像能看出1小時(shí)之前汽車(chē)行駛的路程;表格中7小時(shí)之后打的是省略號(hào)，把這條線延伸一點(diǎn)，就與表格中的省略號(hào)對(duì)應(yīng)了，這樣看來(lái)，小紅的圖像更全面、更合理。

（設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷描點(diǎn)和連線過(guò)程，針對(duì)大部分同學(xué)會(huì)按照表格中給出的數(shù)據(jù)連成一個(gè)“線段”的情況，提出：“小紅同學(xué)連出的圖像是這樣的，與你們的圖像有什么不同？”意在讓學(xué)生通過(guò)對(duì)比和辨析，拓展學(xué)生對(duì)正比例圖像的認(rèn)知，這是基于從整體結(jié)構(gòu)出發(fā)考慮的。）

參考文獻(xiàn)：

[1]劉佳.抵達(dá)本質(zhì)意義后的遠(yuǎn)航：“正比例的圖像”教學(xué)實(shí)踐與思考[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2020（2）.

（安徽省蚌埠市禹會(huì)區(qū)教體局教研室 ? ?233000）