時(shí)域下空間曲線曲率及撓率問(wèn)題的研究

許 飛，劉翠香，閔祥娟，單彩虹，曹貽鵬

（陸軍裝甲兵學(xué)院基礎(chǔ)部，北京 100072）

0 引言

在戰(zhàn)術(shù)彈道導(dǎo)彈攔截領(lǐng)域，傳統(tǒng)的基于視線（LOS）角速度的比例導(dǎo)引及其變形，以其易于實(shí)現(xiàn)、高效而得到廣泛的應(yīng)用［1-2］，其在本質(zhì)上是在目標(biāo)不機(jī)動(dòng)、系統(tǒng)無(wú)延時(shí)、控制能量不受約束情況下產(chǎn)生零脫靶量和控制量的平方積最小的制導(dǎo)律［2］。但現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)中的攔截目標(biāo)機(jī)動(dòng)性強(qiáng)、制導(dǎo)環(huán)境惡劣、飛行軌跡無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)等現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，也對(duì)導(dǎo)引律的設(shè)計(jì)和應(yīng)用提出了更高的要求，針對(duì)這些問(wèn)題，相繼提出了最優(yōu)制導(dǎo)、自適應(yīng)制導(dǎo)、微分對(duì)策及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)制導(dǎo)等大量的現(xiàn)代制導(dǎo)規(guī)律，但真正在實(shí)際中應(yīng)用更多的是如比例導(dǎo)引及其變形的古典制導(dǎo)律［3］。

空間域下攔截彈的制導(dǎo)問(wèn)題可抽象為空間曲線問(wèn)題，是微分幾何主要的研究對(duì)象，曲線性態(tài)在局部上完全由曲率和撓率所決定，為此，可通過(guò)實(shí)時(shí)調(diào)整曲率和撓率的取值，實(shí)現(xiàn)攔截彈的路徑預(yù)測(cè)和規(guī)劃。本文以攔截彈的實(shí)時(shí)位置信息為原點(diǎn)，建立活動(dòng)標(biāo)架，結(jié)合攔截彈的實(shí)時(shí)速度建立關(guān)于弧長(zhǎng)的Frenet 公式，并將其轉(zhuǎn)化為時(shí)域上的Frenet 公式，根據(jù)視線運(yùn)動(dòng)方程和彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程推導(dǎo)了曲率和撓率指令表達(dá)式，從指令表達(dá)式上看，相關(guān)變化量易于測(cè)量，便于仿真，是對(duì)攔截彈路徑規(guī)劃及有效制導(dǎo)的有益探索。

1 空間曲線的活動(dòng)標(biāo)架和Frenet 公式

1.1 弧長(zhǎng)域下的空間曲線及Frenet 公式

攔截彈制導(dǎo)策略問(wèn)題可抽象化為E3上具有一個(gè)自由度的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，其向量形式的參數(shù)方程可表示為［4-5］

1.2 時(shí)域下的空間曲線及Frenet 公式

在傳統(tǒng)的攔截彈制導(dǎo)策略研究中，通常采用的獨(dú)立參數(shù)為時(shí)間變量t，與采用弧長(zhǎng)參數(shù)s 之間具有關(guān)系式［6-7］

聯(lián)立式（12）～式（14），可得到具有形式（1）的時(shí)域下的Frenet 公式

通過(guò)對(duì)式（12）～式（14）的簡(jiǎn)單計(jì)算，可得空間曲線方程在時(shí)域下的曲率和撓率計(jì)算公式

式（5）、式（6）、式（18）、式（19）即為弧長(zhǎng)域及時(shí)域下的曲率、撓率表達(dá)式，下面將對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行幾何建模，推導(dǎo)能夠應(yīng)用于實(shí)際的曲率和撓率公式，從而用于攔截彈制導(dǎo)的路徑規(guī)劃。

2 攔截彈制導(dǎo)的幾何模型建立

2.1 視線運(yùn)動(dòng)方程的推導(dǎo)

圖1 攔截彈活動(dòng)標(biāo)架

根據(jù)視線旋轉(zhuǎn)的幾何關(guān)系，可建立關(guān)于視線運(yùn)動(dòng)的Frenet 公式

2.2 攔截彈運(yùn)動(dòng)方程的推導(dǎo)

2.2.1 彈目運(yùn)動(dòng)方程的推導(dǎo)

在本節(jié)中，下角標(biāo)T，M 分別表示目標(biāo)彈和攔截彈，彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)的幾何模型如圖2 所示，其中，rM是攔截彈的有向距離，vM為攔截彈速度矢量，大小為vM，tM，nM是攔截彈運(yùn)動(dòng)的方向切向量和主法向量，r 是彈目的有向距離，θM是彈目視線角，φM，φM是攔截彈運(yùn)動(dòng)方向與彈目視線和其法向量的夾角，同時(shí)目標(biāo)彈也有上述相關(guān)幾何描述，如圖2 所示。

圖2 彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)幾何模型

在2.2.1 節(jié)中得到了彈目視線的切向量、主法向量及副法向量的表達(dá)式（22），其形式完全由攔截彈與目標(biāo)彈的速度及實(shí)時(shí)位置信息所決定。

2.2.2 空間曲線曲率指令的推導(dǎo)

對(duì)式（21）進(jìn)行變形可得

由于曲率用于控制攔截彈的轉(zhuǎn)向，其方向與eθ同向，則可對(duì)式（27）兩端同乘eθ得

2.2.3 空間曲線撓率指令的推導(dǎo)

在2.2.2 與2.2.3 節(jié)中詳細(xì)地推導(dǎo)了攔截彈制導(dǎo)的曲率和撓率指令表達(dá)式，其中，曲率指令表達(dá)式又分為恒速和變速兩種攔截方式，適用范圍更廣，且表達(dá)式的各個(gè)變量均是可測(cè)的，易于后續(xù)模擬仿真的實(shí)現(xiàn)。

3 結(jié)論

攔截彈路徑規(guī)劃及制導(dǎo)過(guò)程實(shí)際上就是空間曲線性態(tài)研究問(wèn)題，本文通過(guò)弧長(zhǎng)域下的Frenet 公式轉(zhuǎn)化到時(shí)域下的Frenet 公式，又進(jìn)一步推導(dǎo)了在恒定速度攔截和變速攔截兩種情況下的曲率和撓率的指令表達(dá)式，從結(jié)果上看，指令表達(dá)式的各量都可以根據(jù)彈目實(shí)時(shí)位置信息和速度信息求得，后續(xù)將依托曲率和撓率的指令表達(dá)式進(jìn)行離散化處理，利用MATLAB、PYTHON 相關(guān)軟件進(jìn)行模擬仿真。