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    等差法解答一類走走停停行程問題

    2021-02-02 05:59:58蘇蕤軒
    數(shù)理化解題研究 2021年2期
    關(guān)鍵詞:休息區(qū)路程公差

    蘇蕤軒

    (四川省成都?xì)W拉教育 611430)

    一、引入

    在很多小學(xué)畢業(yè)考試、小學(xué)杯賽或初中數(shù)學(xué)考試中常出現(xiàn)行程問題,它是普遍學(xué)生的弱項(xiàng),同時(shí)也成為命題者偏愛的題型之一,在奧數(shù)競(jìng)賽中擁有非常顯赫的地位.走走停停行程問題屬于難點(diǎn)題型,它并不能直接用基本行程公式解決,需要經(jīng)過復(fù)雜的判斷和計(jì)算,已有文獻(xiàn)給出了路程差是休息路程整數(shù)倍時(shí)的解答方法,但是該方法并不能解決路程差不是休息路程整數(shù)倍的題型.本文重在于探索一種更具有通用性的方法.

    二、難點(diǎn)突破

    此類問題的難點(diǎn)在于如何判斷最終狀態(tài),本文通過等差數(shù)列和斜率來突破難點(diǎn),通過平移快者的路程來計(jì)算追及時(shí)間.

    1.最終狀態(tài)判斷

    本文把題目給定的路程差用S表示,休息路程用ΔS表示,休息時(shí)間用ΔT表示,快者的速度用vk表示,慢者的速度用vm表示.

    最終追及點(diǎn)判斷需要明確到底是快者追及上行進(jìn)中的慢者還是休息中的慢者.本文將結(jié)果分為如下三類:

    (1)快者最后一次休息后的行進(jìn)中,第一次追及上行進(jìn)中的慢者;

    (2)快者最后一次休息后的行進(jìn)中,第一次追及上休息中的慢者;

    (3)快者最后一次休息前的行進(jìn)中,第一次追及上行進(jìn)中的慢者.

    圖1

    圖2

    判斷好斜率后,如果b斜率小于a,就還要判斷追及點(diǎn)會(huì)不會(huì)在慢者的休息區(qū),因?yàn)榕懦祟愋?3),還得鎖定到底是(2)還是(1),所幸這比較容易,比較下一個(gè)休息區(qū)的時(shí)間差即可.

    如果是類型(2),那么:公差-余數(shù)<休息時(shí)間,如果是類型(1),那么:公差-余數(shù)>休息時(shí)間,見圖3,標(biāo)注的橫線部分就是“公差-余數(shù)”.

    圖3

    2.追及時(shí)間計(jì)算

    如果是類型(1)和類型(3),可優(yōu)先使用平移快者的方法,快速得到連續(xù)追及的時(shí)間,我們假定追及上時(shí)快者比慢者多休息Δn次,那么連續(xù)追及時(shí)間為(S+Δn×ΔT×vk)÷(vk-vm),這個(gè)時(shí)間恰好等于慢者的連續(xù)行進(jìn)時(shí)間,外加慢者的休息時(shí)間即為總的追及時(shí)間.

    如果是類型(2),直接通過慢者計(jì)算即可.假定慢者一共休息了n次(含最后一次),因?yàn)樽詈笠淮螞]有休息完,離休息結(jié)束還有“公差-余數(shù)”,所以直接當(dāng)成n次計(jì)算總時(shí)間,然后減去“公差-余數(shù)”即可.

    三、典例分析

    例1 快慢兩人分別從相距550米的兩地同時(shí)出發(fā)同向而行,他們每走200米都會(huì)停1秒,已知快者的速度是100米每秒,慢者的速度是40米每秒.求快者第一次追上慢者的時(shí)間.

    解答:快者行至路程差的時(shí)間外加休息時(shí)間550÷100+2×1=7.5秒

    次數(shù)7.5÷3=2次……1.5秒

    (50是快者的休息區(qū)跟慢者前一次休息區(qū)的距離,因?yàn)?00的倍數(shù)減去550,最小值為50)

    下一次的余數(shù)3-1.5=1.5秒,大于1秒

    屬于類型①,接下來平移快者,直接計(jì)算追及時(shí)間

    例2快慢兩人分別從相距550米的兩地同時(shí)出發(fā)同向而行,他們每走200米都會(huì)停1秒,已知快者的速度是100米每秒,慢者的速度是60米每秒.求快者第一次追上慢者的時(shí)間.

    解答:快者行至路程差的時(shí)間外加休息時(shí)間為:550÷100+2×1=7.5秒

    快者已經(jīng)休息2次

    例3快慢兩人分別從相距500米的兩地同時(shí)出發(fā)同向而行,他們每走200米都會(huì)停1秒,已知快者的速度是100米每秒,慢者的速度是60米每秒.求快者第一次追上慢者的時(shí)間.

    解答:快者行至路程差的時(shí)間外加休息時(shí)間500÷100+2×1=7秒

    屬于類型③,接下來平移快者,直接計(jì)算追及時(shí)間

    處理此類休息路程相同的走走停停行程問題可以按照如下思路解決:其一、通過兩者行進(jìn)休息路程的時(shí)間差計(jì)算休息次數(shù);其二、通過斜率判斷屬于哪種類型;其三、直接計(jì)算(類型②)或通過平移法計(jì)算(類型①或類型③)追及時(shí)間.

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