一次函數(shù)背景下的存在性問題

王帥兵

(湖南省鄭州市孜文教育信息咨詢有限公司 450000)

一、兩定一動(dòng)型，注意好“一上一下”

兩定一動(dòng)型，是指在給定兩個(gè)點(diǎn)的情況下，另一點(diǎn)在一條線上運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的面積問題，解決這類問題，要做好題目分析，有一邊與坐標(biāo)軸平行時(shí)直接求解；沒有邊與坐標(biāo)軸平行時(shí)，用好“鉛錘法”(或“割補(bǔ)法”)，同時(shí)注意好“一上一下”.

例1如圖1所示，一次函數(shù)y=2x+4的圖像與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、B，在一次函數(shù)的圖象上是否存在一點(diǎn)P，使得△AOP的面積為3？

圖1

例2如圖2所示，直線y=1/2x與直線y=-x+3相交于點(diǎn)A，點(diǎn)B是直線y=1/2x上的一個(gè)點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為4.如果點(diǎn)P是直線y=-x+3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足△ABP的面積為9，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為____.

圖2 圖3 圖4

二、等腰三角形，用好“兩圓一線”

在一次函數(shù)的背景下，等腰三角形的存在性問題可以借助圖形的基本性質(zhì)來解，利用同端點(diǎn)、等長(zhǎng)度作圓和線段垂直平分線.

例3如圖5所示，直線y=x+4與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得△ABP為等腰三角形？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

圖5 圖6

三、直角三角形，利用頂點(diǎn)來分類

對(duì)于直角三角形的存在性，可以利用頂點(diǎn)來分類，然后結(jié)合具體條件求解.

例4如圖7所示，在平面直角坐標(biāo)系xoy中， 三角板的直角頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，2)， 一條直角邊與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，另一直角邊與y軸交于點(diǎn)B， 三角板繞點(diǎn)P在坐標(biāo)平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，當(dāng)△POA為直角三角形時(shí)，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo).

圖7 圖8 圖9

思路分析分析題設(shè)條件可得，∠POA=45°，不可能為直角，△POA的另兩個(gè)角可以是直角.如圖8，當(dāng)OA⊥AP時(shí)，可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，2)；如圖9，當(dāng)OP⊥PA時(shí)，點(diǎn)B和點(diǎn)O重合，點(diǎn)B坐標(biāo)為(0，0).綜上所述，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，2)或(0，0).

四、等腰直角三角形，借助弦圖輕松解

等腰直角三角形的分類問題，可以在構(gòu)造基本直角的情況下，借助弦圖求解.

例5如圖10所示，直線y=-2x+4與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得△ABP為等腰直角三角形？

圖10 圖11

思路分析由題設(shè)條件易得，A(2，0)、B(0，4)，OA=2，OB=4.利用Rt△AOB作弦圖，如圖11所示，其中P1、P2、P3是滿足條件的點(diǎn).利用弦圖中的全等三角形的性質(zhì)，以及線段長(zhǎng)與坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)化，可得三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：P1(4,6)、P2(6,2)、P3(3,3).

五、全等三角形，對(duì)應(yīng)后綜合求解

全等三角形的存在性問題，要注意好頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)，然后借助多種基本方法解題.

例6如圖12所示，在平面直角坐標(biāo)系中作矩形OABC，點(diǎn)B坐標(biāo)為(4，8)，將△ABC對(duì)折，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕交AB于點(diǎn)D，坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn)P(除點(diǎn)B外)，使△APC與△ABC全等？若存在，直接寫出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

圖12 圖13 圖14

六、等距離軌跡問題，借助坐標(biāo)軸三角形構(gòu)造相似

在一次函數(shù)背景下的等距離軌跡問題，可以借助一次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，構(gòu)造相似圖形，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而找到點(diǎn)所在直線的表達(dá)式.

圖15 圖16

綜上，解決一次函數(shù)的存在性問題，一定要研究好背景圖形，調(diào)用基本技巧和方法，構(gòu)圖確定位置，畫圖解答.