數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

謝志平

(江蘇省天一中學(xué) 214171)

數(shù)和形作為數(shù)學(xué)中兩個(gè)最基本的研究對(duì)象，一定條件下能相互轉(zhuǎn)化.中學(xué)數(shù)學(xué)研究對(duì)象分為代數(shù)與幾何兩個(gè)部分，其中代數(shù)與“數(shù)”相對(duì)應(yīng)，幾何則對(duì)應(yīng)與“形”，數(shù)和形是存在聯(lián)系的，這種聯(lián)系就是數(shù)形結(jié)合.高中數(shù)學(xué)屬于數(shù)學(xué)教育的高階階段，教師需主動(dòng)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，把枯燥的數(shù)學(xué)知識(shí)變得有趣，激起學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，讓他們的學(xué)習(xí)效率更高.

一、立足數(shù)學(xué)教材內(nèi)容，發(fā)掘數(shù)形結(jié)合因素

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師需充分認(rèn)識(shí)很多知識(shí)內(nèi)容中都有所涉及數(shù)形結(jié)合，這為數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用提供良好的便利條件，不過(guò)有的地方不易發(fā)現(xiàn)，有待挖掘和提取.高中數(shù)學(xué)教師在平常教學(xué)中應(yīng)認(rèn)真研究教材內(nèi)容，以此為立足點(diǎn)深入發(fā)掘蘊(yùn)涵有數(shù)形結(jié)合思想的因素，帶領(lǐng)學(xué)生在數(shù)形結(jié)合思想下學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，提高他們的學(xué)習(xí)效果，使其記憶的更為牢固.

例如，以《三角函數(shù)概念》教學(xué)為例，教師講述：大家在學(xué)習(xí)過(guò)銳角三角函數(shù)是如何定義的？如果把銳角放入直角坐標(biāo)系中，能用角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)嗎？假如以單位圓的圓心O為原點(diǎn)，能用角的終邊與單位圓的交點(diǎn)表示銳角三角函數(shù)嗎？當(dāng)角的概念推廣后三角函數(shù)的概念該怎樣定義？鼓勵(lì)學(xué)生自由發(fā)言，引領(lǐng)他們進(jìn)一步觀察與研究.接著，教師指出：在直角坐標(biāo)系中，稱以原點(diǎn)O為圓心，以單位長(zhǎng)度為半徑的圓為單位圓，設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么如何表示正弦、余弦與正切？引領(lǐng)學(xué)生在畫圖中用x，y來(lái)表示，以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，統(tǒng)稱為三角函數(shù).

在上述案例中，教師以教材內(nèi)容為立足點(diǎn)，深入發(fā)掘有關(guān)數(shù)形結(jié)合的因素，同時(shí)著重講解該部分知識(shí)，引領(lǐng)學(xué)生借助單位圓理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.

二、注重?cái)?shù)形之間轉(zhuǎn)換，訓(xùn)練學(xué)生學(xué)習(xí)能力

在數(shù)形結(jié)合思想中，數(shù)與形在一定條件下是能相互轉(zhuǎn)化的，大致分為兩種情況：其一，以數(shù)解形，借助于數(shù)的精確性來(lái)闡明形的某些屬性；其二，以形助數(shù)，借助形的幾何直觀性來(lái)闡明數(shù)之間某種關(guān)系.高中數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)中應(yīng)當(dāng)把握好數(shù)形結(jié)合的契機(jī)，注重?cái)?shù)和形之間的轉(zhuǎn)換，幫助學(xué)生慢慢掌握數(shù)形轉(zhuǎn)換能力，逐步訓(xùn)練與提升他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

例如，在進(jìn)行《角與弧度》教學(xué)時(shí)，當(dāng)講到“弧度”時(shí)，教師講述：度量單位可以用米、英尺、碼等不同的單位制，度量質(zhì)量可以用千克、磅等不同的單位制，角的度量是否也可以用不同的單位制呢？能否像度量長(zhǎng)度、質(zhì)量那樣用十進(jìn)制的實(shí)數(shù)來(lái)度量角的大小呢？要求學(xué)生根據(jù)個(gè)人認(rèn)知自由表述，讓他們閱讀課本知識(shí)思考：弧度的含義是什么？角度值和弧度制怎么互化？扇形的弧長(zhǎng)公式與面積公式分別是什么？使其開(kāi)始學(xué)習(xí)新課.接著，教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧角的角度制，對(duì)比學(xué)習(xí)角的弧度制，結(jié)合圖形教授弧度數(shù)的計(jì)算規(guī)則與方式，指導(dǎo)他們以0°、30°、45°、60°、90°、120°、135°、150°、180°、270°、360°為例進(jìn)行角度制與弧度制的轉(zhuǎn)算，使其體驗(yàn)數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)換.

對(duì)于上述案例，教師依托于圓心角這個(gè)情境帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)一種用長(zhǎng)度度量角的方法——弧度制，將角與實(shí)數(shù)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，培養(yǎng)他們的數(shù)形結(jié)合能力，改善數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

三、借助現(xiàn)代教育技術(shù)，有效實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合

在以往的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，無(wú)論教授什么知識(shí)內(nèi)容都運(yùn)用的是人工教學(xué)，顯得效果一般，隨著信息技術(shù)在近些年的迅速發(fā)展，再加上多媒體設(shè)備日益普及，這為教學(xué)方式的改變提供良好的軟硬件支持.要想更好的應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，高中數(shù)學(xué)教師在課堂上可以充分借助現(xiàn)代教育技術(shù)的優(yōu)勢(shì)，讓學(xué)生更為直觀清晰的了解數(shù)形結(jié)合，輔助他們高效率的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí).

例如，在開(kāi)展《圓與方程》教學(xué)時(shí)，教師先在多媒體課件中展示一些隧道口的縱截面、橋梁的橋洞輪廓圖片，搭配導(dǎo)語(yǔ)：圖片中的東西給大家以圓的感覺(jué)，圓是重要而優(yōu)美的曲線，如何用代數(shù)的方法來(lái)研究圓？學(xué)生聆聽(tīng)介紹，觀看與欣賞圖片，引起他們的學(xué)習(xí)興趣與求知渴望.接著，教師提問(wèn)：在直角坐標(biāo)系中，確定直線的基本要素是什么？圓作為平面幾何中的基本圖形，確定它的要素又是什么？在平面直角坐標(biāo)系中，任何一條直線都可用一個(gè)二元一次方程來(lái)表示，圓呢？如果能，這個(gè)方程又有什么特征？學(xué)生分析與討論，同步利用信息技術(shù)手段展示平面直角坐標(biāo)系中的圓，給出圓心、半徑、坐標(biāo)等數(shù)據(jù)與信息，引領(lǐng)他們結(jié)合直觀化的學(xué)習(xí)資源總結(jié)求圓的一個(gè)方程的方法.

上述案例，教師借助現(xiàn)代化信息技術(shù)的優(yōu)勢(shì)引入具體化的教學(xué)資源，指引學(xué)生根據(jù)圓心坐標(biāo)與半徑求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，培養(yǎng)他們用坐標(biāo)法研究幾何問(wèn)題的本領(lǐng)，強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想.

四、加強(qiáng)了解基本圖形，增強(qiáng)融入數(shù)形結(jié)合

高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容主要分為代數(shù)與幾何兩大部分，相對(duì)于代數(shù)的“數(shù)”，幾何的“形”雖然較為直觀，但對(duì)學(xué)生的思維能力要求較高，尤其是高中數(shù)學(xué)所研究是解析幾何與立體幾何，他們學(xué)習(xí)起來(lái)難度更大.高中數(shù)學(xué)教師需要以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)各種基本圖形的了解與認(rèn)識(shí)，使其記憶和掌握足夠的基本圖形，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的融入力度，提高他們的數(shù)學(xué)知識(shí)水平.

例如，在教學(xué)《基本立體圖形》過(guò)程中，教師談話導(dǎo)入：在生活中，酒瓶的形狀是圓柱嗎？教學(xué)樓的形狀是柱體嗎？鋼筆、圓珠筆呢？這些物體都是簡(jiǎn)單的幾何體，如何描述它們的結(jié)構(gòu)特征？課件中同步呈現(xiàn)這些實(shí)物圖，指引學(xué)生思考后抽象出具體的幾何圖形，讓他們發(fā)現(xiàn)與自身認(rèn)知存在沖突，順利引出新課.接著，教師在課件中出示一組常見(jiàn)的基本立體圖形，如：長(zhǎng)方體、正方體、球、圓柱、圓錐、棱臺(tái)、棱錐等，帶領(lǐng)學(xué)生觀察、討論與總結(jié)：如果只考慮物體的形狀和大小，而不考慮其它因素，那么由這些物體抽象出來(lái)的空間圖形就是空間幾何體，使其在小組內(nèi)一起將這些空間幾何體初步分類，分成多面體與旋轉(zhuǎn)體兩大類，引導(dǎo)他們分析各類物體的特征給出相應(yīng)定義.

如此，教師帶領(lǐng)學(xué)生加強(qiáng)對(duì)基本立體圖形的了解，認(rèn)識(shí)常見(jiàn)幾何體的基本特征，通過(guò)描述與歸納定義融入數(shù)形結(jié)合思想，使其把實(shí)際物體抽象成空間幾何體，并培養(yǎng)他們立體感.

五、引入實(shí)際生活資源，滲透數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)學(xué)本身就是一門同現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系十分密切的科目，在高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，教師需把握好數(shù)學(xué)知識(shí)同生活之間的關(guān)系，將一些數(shù)形結(jié)合的學(xué)習(xí)資源引入到課堂上，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的有效應(yīng)用.對(duì)此，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該圍繞課本知識(shí)與教學(xué)目標(biāo)巧妙引用一系列生活化資源，大力滲透數(shù)形結(jié)合思想，輔助學(xué)生更好的學(xué)習(xí)新課，讓他們透徹理解數(shù)學(xué)知識(shí).

例如，在《任意角》教學(xué)中，教師先帶領(lǐng)學(xué)生回顧初中階段學(xué)習(xí)過(guò)的一些角，如：銳角、直角、鈍角、平角和周角等.然后列舉一些生活中的實(shí)例，如：跳水、體操、行駛中的自行車車輪等，使其說(shuō)出這些角能否用之前的角來(lái)表示，他們發(fā)現(xiàn)這些角要比360°大，與原有認(rèn)知發(fā)生沖突.接著，教師要求學(xué)生回憶初中時(shí)期是如何定義角的，引出任意角的概念.然后拿出一個(gè)鐘表，用手隨意旋轉(zhuǎn)鐘表指針，通過(guò)指針轉(zhuǎn)動(dòng)形成不同的角，提醒他們注意指針的轉(zhuǎn)動(dòng)方向，指出正角、負(fù)角是由旋轉(zhuǎn)方向所決定的.按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做正角；按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角；如果一條射線沒(méi)有做任何旋轉(zhuǎn)，稱之為零角.說(shuō)明由于用“旋轉(zhuǎn)”定義角以后，角的范圍進(jìn)而擴(kuò)大.

針對(duì)上述案例，教師巧妙引入帶領(lǐng)的生活化素材，這些素材本身就是數(shù)形結(jié)合方式，幫助學(xué)生用“旋轉(zhuǎn)”來(lái)定義角的概念，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形之間的有機(jī)結(jié)合，讓他們真正掌握任意角.

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，教師需適當(dāng)加強(qiáng)應(yīng)用，并推廣至多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的講授當(dāng)中，為學(xué)生打造一個(gè)更為輕松、自由、愉悅與優(yōu)質(zhì)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境，使其更好的吸收與內(nèi)化數(shù)學(xué)知識(shí)，強(qiáng)化他們的數(shù)形結(jié)合思想.