初中數(shù)學(xué)“教思考”的教學(xué)細(xì)化
——以“分式”為例

孫朝仁

“教思考”源于數(shù)學(xué)教學(xué)專家呂傳漢等人的研究。他們認(rèn)為，“教思考”就是在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教會(huì)學(xué)生具備以高層次思維認(rèn)知客觀世界［1］；讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維分析世界，學(xué)會(huì)“想數(shù)學(xué)”，促進(jìn)學(xué)生思辨能力的培育［2］。這些研究都給了筆者以啟發(fā)，筆者根據(jù)初中數(shù)學(xué)教學(xué)的特點(diǎn)，將“教思考”分解為教學(xué)生同化性思考、順應(yīng)性思考和遷移性思考，下面以“分式”教學(xué)為例詳細(xì)談一談。

一、同化性思考，落細(xì)“教思考”學(xué)習(xí)目標(biāo)

在生物學(xué)研究范疇，“同化”是指生物機(jī)體在新陳代謝過(guò)程中不發(fā)生質(zhì)變。在數(shù)學(xué)教育心理學(xué)的研究中，同化性思考則是指不改變?cè)械恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)，直接將原有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用到本質(zhì)特征相同的一類事物中去，原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不發(fā)生實(shí)質(zhì)性的改變，只是得到某種充實(shí)和豐富。數(shù)學(xué)教育中的舉一反三、聞一知十以及顯性變式都是同化性思考的例子。一般來(lái)說(shuō)，概念的獲得感主要來(lái)自同化性思考，比如“你還能舉出具有類似特征的例子嗎？”就是同化性思考的一個(gè)例子。換句話說(shuō)，同化性思考是形成問(wèn)題的思維通道，為概念的發(fā)生搭建新舊經(jīng)驗(yàn)銜接的思維橋梁，進(jìn)而能讓學(xué)生獲得、感知和判斷概念的意義、性質(zhì)，使得“教思考”的學(xué)習(xí)目標(biāo)落地。

基于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》（以下簡(jiǎn)稱“2011 年版課標(biāo)”），教會(huì)學(xué)生的“數(shù)學(xué)思考”主要聚焦在三個(gè)方面：一方面是在同化性思考中發(fā)展學(xué)生的形象思維和抽象思維；另一方面是學(xué)生在參與觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明、綜合實(shí)踐以及研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)中，發(fā)展合情推理和非完全演繹推理（運(yùn)算推理）能力，并清晰地表達(dá)自己的想法；再一方面是教學(xué)生學(xué)會(huì)獨(dú)立思考、體會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想和基本思維方式。

在“分式”概念教學(xué)環(huán)節(jié)，基于“教思考”的教學(xué)需要，根據(jù)后續(xù)設(shè)計(jì)的指向與思想題旨可知，確立的學(xué)習(xí)目標(biāo)應(yīng)該是：在具體活動(dòng)中感受分式概念的意義，知道分式有意義的條件；在探索分式基本性質(zhì)的過(guò)程中，發(fā)展逆向思維和模型意識(shí)。為此，就“概念發(fā)生”目標(biāo)來(lái)說(shuō)，我們可以創(chuàng)設(shè)類似下面的問(wèn)題組塊：

（1）如果一個(gè)矩形的長(zhǎng)為10 個(gè)單位，且面積是60個(gè)平方單位，則寬是多少？

（2）如果一個(gè)矩形的長(zhǎng)為b 個(gè)單位，且面積是60個(gè)平方單位，則寬是多少？

（3）如果一個(gè)矩形的長(zhǎng)為b 個(gè)單位，且面積是S個(gè)平方單位，則寬是多少？

（4）變式1：在（3）的基礎(chǔ)上，如果矩形的長(zhǎng)增加1個(gè)單位長(zhǎng)度，面積不變，則寬是多少？

變式2：在上一變式的基礎(chǔ)上，如果矩形的長(zhǎng)不變，面積減少1個(gè)平方單位，則寬是多少？

二、順應(yīng)性思考，落地“教思考”學(xué)習(xí)行為

“順應(yīng)”一般指順從、適應(yīng)。在數(shù)學(xué)思考目標(biāo)研究范疇，順應(yīng)性思考是指將原有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用于新情境時(shí)，需調(diào)整原有的經(jīng)驗(yàn)或?qū)π屡f經(jīng)驗(yàn)加以概括，形成一種能包容新舊經(jīng)驗(yàn)的更高一級(jí)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，適應(yīng)外界變化的思維狀態(tài)。例如，我們?yōu)榱苏J(rèn)識(shí)整式的意義，必須先學(xué)習(xí)單項(xiàng)式和多項(xiàng)式；為了研究分式必須在整式的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)代數(shù)式。同時(shí)，順應(yīng)性思考是數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)形成的必經(jīng)思維橋梁，是概念經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生式形成的思維結(jié)果。換句話說(shuō)，順應(yīng)性結(jié)構(gòu)經(jīng)驗(yàn)就是學(xué)習(xí)主體在數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中，通過(guò)感知覺(jué)、做與用的操作及反思，獲得的具有個(gè)性特征的表象性概念、策略性概念以及未經(jīng)社會(huì)性協(xié)商的個(gè)人概念。日常數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的“會(huì)一題、通一類和連一片”就是順應(yīng)性思考的一個(gè)例子。

2011 年版課標(biāo)明確指出，通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必須的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。在“教思考”的目標(biāo)背景下，基礎(chǔ)知識(shí)主要指向概念與概念關(guān)系的建立，例如分式及其基本性質(zhì)；基本技能則集中指向心智技能的順應(yīng)性發(fā)展，例如分式的有意義、無(wú)意義以及值為零的運(yùn)算與推理；基本思想聚焦抽象思想、推理思想和模型思想，例如分式基本性質(zhì)的形成需要用數(shù)學(xué)的眼光去抽象、數(shù)學(xué)基本運(yùn)算去推理、數(shù)學(xué)的語(yǔ)言去表征等。

在“分式基本性質(zhì)”概念產(chǎn)生環(huán)節(jié)，我們可以設(shè)置類似下面的問(wèn)題組塊：

（1）如圖1，用2 張同樣規(guī)格的長(zhǎng)方形紙片拼成新的長(zhǎng)方形。如果一張長(zhǎng)方形紙片的面積是S 個(gè)平方單位，長(zhǎng)為b 個(gè)單位，則新長(zhǎng)方形的寬是多少？用同樣規(guī)格的n 張長(zhǎng)方形紙片拼成新的長(zhǎng)方形紙片，寬是多少？由此，你發(fā)現(xiàn)了什么？

（圖1）

（2）如圖2，如果將同樣規(guī)格的1 張長(zhǎng)方形紙片沿長(zhǎng)邊分割成2 等分，則寬是多少？如果將長(zhǎng)方形紙片沿長(zhǎng)邊分割成3 等分、n 等分呢？則寬是多少？由此寫出你的發(fā)現(xiàn)。

（圖2）

（3）經(jīng)歷上述活動(dòng)，你得到了怎樣的數(shù)學(xué)結(jié)論？

三、遷移性思考，落實(shí)“教思考”學(xué)習(xí)表現(xiàn)

馬斯洛的“需要層次論”涵蓋認(rèn)知需要、審美需要和自我實(shí)現(xiàn)需要，其中“自我實(shí)現(xiàn)”是人的最高學(xué)習(xí)需要。在課堂教學(xué)研究范疇，遷移性思考的頂層設(shè)計(jì)思想就是“自我實(shí)現(xiàn)判斷”的價(jià)值提升，包括系統(tǒng)思維和變量思維的遷移，數(shù)學(xué)基本思想方法的把握以及概念的關(guān)系性理解等。這樣的學(xué)習(xí)層級(jí)與發(fā)展是知識(shí)、能力及其章節(jié)概念關(guān)系得以綜合遷移的內(nèi)驅(qū)行為表現(xiàn)，有助于學(xué)生思維導(dǎo)圖的聯(lián)結(jié)與架構(gòu)。平常數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的層次性“小結(jié)行為”（先行組織小結(jié)、課中概括性小結(jié)、課末整合性小結(jié)等）都是遷移概念結(jié)構(gòu)的樣例，它們有助于學(xué)生遷移性思考的發(fā)生。當(dāng)然，遷移并非僅是先前的學(xué)習(xí)或經(jīng)驗(yàn)對(duì)以后的影響，也包括后面對(duì)前面的影響。遷移是指一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)的影響，或習(xí)得的經(jīng)驗(yàn)對(duì)完成其他活動(dòng)的影響。

同時(shí)，遷移不僅存在于某種經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)部，而且也存在于不同的經(jīng)驗(yàn)之間，遷移表明各種經(jīng)驗(yàn)內(nèi)部及其不同經(jīng)驗(yàn)之間的相互影響，通過(guò)遷移，各種經(jīng)驗(yàn)得以溝通，經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)得以整合。這里的“內(nèi)部經(jīng)驗(yàn)”可以看作是章節(jié)內(nèi)部概念關(guān)系的銜接，比如分式的概念、分式的基本性質(zhì)以及分式方程之間的章節(jié)思維聯(lián)結(jié)關(guān)系；而“不同經(jīng)驗(yàn)之間的關(guān)系”可以理解為分?jǐn)?shù)與分式的關(guān)聯(lián)關(guān)系、整式與分式的關(guān)聯(lián)關(guān)系以及分式方程與一元一次方程、一元二次方程的關(guān)聯(lián)關(guān)系等系統(tǒng)思維關(guān)系。從2011 年版課標(biāo)來(lái)看，遷移性思考直接指向情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)，也就是“知→情→意→行”思想的高度統(tǒng)一與自我實(shí)現(xiàn)價(jià)值判斷的提升。具體涉及以下遷移：第一是積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)有好奇心和求知欲，也就是問(wèn)題設(shè)置要關(guān)注不同學(xué)生的參與度與好奇心；第二是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，體驗(yàn)獲得成功的樂(lè)趣、體會(huì)數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，了解數(shù)學(xué)的價(jià)值，建立數(shù)學(xué)自信，也就是讓學(xué)生在具體活動(dòng)中體驗(yàn)到知識(shí)、技能的遷移以及自我實(shí)現(xiàn)的滿足感；第三是養(yǎng)成獨(dú)立思考、合作交往、反思質(zhì)疑的遷移能力以及堅(jiān)持真理、修正錯(cuò)誤的科學(xué)態(tài)度，也就是讓學(xué)生在實(shí)踐中反思總結(jié)，在反思中進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)改造以及系統(tǒng)知識(shí)的有序聯(lián)結(jié)。

例如，在“分式”教學(xué)的結(jié)課環(huán)節(jié)，我們可以設(shè)計(jì)如下教學(xué)游戲活動(dòng)：

每人制作幾張卡片，在卡片上寫一個(gè)簡(jiǎn)單的整式或運(yùn)算符號(hào)：有如“+”“x”“1-x”“x2-1”“-3”“——”“=”等。

毋庸置疑，大數(shù)據(jù)、區(qū)塊鏈、慕課、電子白板、智能教室、翻轉(zhuǎn)課堂、泛在學(xué)習(xí)等進(jìn)入課堂，使得數(shù)學(xué)課堂快速發(fā)展。這些現(xiàn)代化學(xué)習(xí)工具為“教思考”提供了便捷的認(rèn)知橋梁和變量方法，有助于不同學(xué)力的學(xué)生達(dá)到數(shù)學(xué)教育教學(xué)目標(biāo)，形成“關(guān)鍵能力”和“必備品格”。