精解·探規(guī)·尋根·遷移：數(shù)學(xué)教師研題的四重境界*

曾 榮

習(xí)題是課堂教學(xué)內(nèi)容的鞏固與深化，應(yīng)當(dāng)為學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)提供助力。優(yōu)質(zhì)的數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)，有利于幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)的基本思想，積累數(shù)學(xué)思維的經(jīng)驗，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。研究習(xí)題是高中數(shù)學(xué)教師的基本教學(xué)任務(wù)，也是他們的必備素養(yǎng)與能力。筆者認(rèn)為，教師研究習(xí)題，不能局限于會解、能講，而應(yīng)該依托優(yōu)秀的試題，追求更高境界——多思精解、探求規(guī)律、探尋題根、有效遷移。教師研題的基本模式如圖1所示。本文結(jié)合江蘇省南通市2020年高三第一次模擬考試第17 題談?wù)劷處熝蓄}的四重境界。

圖1 研題模式

一、第一重境界：多思精解，比較不同解法的效率差異

教師研題的基礎(chǔ)是解題，用合適的方法、廣闊的思維進行解題，要善于進行一題多解、多題一解、解法提煉。一道優(yōu)秀的試題往往講究解法的多樣性和不同解法效率的差異性，這種差異性體現(xiàn)出解題人思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的差

【比較反思】以上幾種方法是解析幾何中的常見解法，但不同解法的效率有明顯差異。在同一數(shù)學(xué)情境中，不同的運算思路、運算程序的設(shè)定，體現(xiàn)了一定的規(guī)劃設(shè)計能力。對于具體的數(shù)學(xué)運算，我們要善于結(jié)合運算情境，深刻理解運算對象的特征，挖掘其內(nèi)涵。只有以數(shù)學(xué)思維為基礎(chǔ)進行規(guī)劃設(shè)計，運算能力的提升才能得到有效的落實。

二、第二重境界：探求規(guī)律，理解試題內(nèi)在的本質(zhì)屬性

多思精解，深入比較不同解法的效益差異，可以幫助師生優(yōu)化解題路徑，提升學(xué)科素養(yǎng)。同時，我們應(yīng)該依托試題，探求其內(nèi)在規(guī)律，理解試題內(nèi)在的本質(zhì)屬性。在深入研究多種解法的基礎(chǔ)上，我們應(yīng)進一步思考，問題背后的知識本質(zhì)是怎樣的？解題方法蘊含著怎樣的通性通法、數(shù)學(xué)思想？是否存在更一般的規(guī)律？為什么會有這樣的規(guī)律？對題1，我們進行如下思考：

【思考1】題1依托矩形這一背景，研究了與橢圓有關(guān)的問題。第①問是給定了兩個特殊的分點，研究了對應(yīng)的直線的交點在橢圓上。如果不是中點，而是三等分點、四等分點，……，n等分點呢？有沒有更一般的結(jié)論呢？

三、第三重境界：探尋題根，挖掘試題背后的命題思路

對于一道試題，教師若能多思精解、由特殊到一般、把握本質(zhì)屬性、研透內(nèi)在規(guī)律，已屬不易。然而，優(yōu)秀的教師往往不止于此，他們會研究問題出處，探尋題根，并深刻挖掘基于題根的命題思路。這種基于“問題從哪里來？怎么演變過來的？命題者的命題思路和方法是怎樣的？”的思考，力求站在命題者的視角審視問題，求本歸真，更有利于提升師生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)。本題題根如下——

題2（蘇教版高中數(shù)學(xué)選修2-1 P38 第14題）：把矩形的各邊n 等分，如圖6 連結(jié)直線，判斷對應(yīng)直線的交點是否在一個橢圓上？

【題根分析】本題依托矩形這個載體，通過等分的方式產(chǎn)生了有限個點。等分的實質(zhì)是“成比例”，通過“成比例”可以將“有限”轉(zhuǎn)化為“無限”，由此進一步通過對應(yīng)直線相交的方式產(chǎn)生的無數(shù)個點。研究這些點的特征，實質(zhì)上是研究動點的軌跡問題。

【命題思路】在高考、?？贾腥绻苯涌疾檐壽E問題，那么對學(xué)生的學(xué)習(xí)要求高、難度大。為了讓問題能更加適合于考查學(xué)生，命題者通過“特殊化”和“逆向思考”的方式改變了問題的呈現(xiàn)方式，使試題源于教材，但不拘泥于教材。

（1）特殊化：在題1 第①問中，命題者將分點特殊化，取其中一個特殊的分點進行研究。因為只取了一個點，就不再是對軌跡問題的研究了。命題者結(jié)合具體數(shù)據(jù)，給出特殊的橢圓，將求橢圓軌跡問題轉(zhuǎn)化為求在特定橢圓上的特殊點。這樣，動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題，大幅度降低了難度，適合用于考查學(xué)生。

（2）逆向思考：滿足某一特征的點在曲線上，曲線上的點都滿足某一特征，這是解析幾何研究的兩個主要問題。題1 第①問研究的目標(biāo)是點在曲線上。命題者在命制第②問時，通過逆向思考，告知曲線上的一個動點，進而研究相關(guān)點的幾何特征。在這個“動”的情境中，可以通過不同的引參方案，考查學(xué)生的思維能力和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。

四、第四重境界：有效遷移，開發(fā)試題蘊含的教學(xué)價值

教師研題不僅僅是為了提升自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，更重要的是為了開發(fā)試題蘊含的教學(xué)價值，幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)解題能力，加深對數(shù)學(xué)的理解。教師將自己解題、探規(guī)、尋根的經(jīng)歷轉(zhuǎn)化為一種探究活動，可以幫助學(xué)生實現(xiàn)對問題的再發(fā)現(xiàn)、再解決。同時，在教學(xué)中，教師還要善于有效遷移，對試題進行改編、變式、拓展，舉一反三，讓學(xué)生在遷移、深化中體悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)和數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)性，感悟數(shù)學(xué)的統(tǒng)一之美、變化之美。

遷移1（蘇教版高中數(shù)學(xué)選修2-1 P48第16題）：如圖7，在矩形ABB'A'中，把邊AB分成n等份。在邊B'B 的延長線上，以BB'的n 分之一為單位連續(xù)取點。過邊AB 上各個分點和A'作直線，過B'B 延長線上的對應(yīng)分點和點A 作直線，這兩條直線的交點為P，P在什么曲線上運動？

（圖7）

遷移2（蘇教版高中數(shù)學(xué)選修2-1 P54 第13 題）：（閱讀題）在工程中，畫拱寬為2a，拱高為h的拋物線，常用下面的畫法：

（1）作矩形ABCD，使AB=2a，DA=h；

（2）分別取CD，AB的中點O，H，把線段DA，OD，HA各n等分；

（3）如圖8 連線得到各交點，將交點連成光滑曲線，就得到拋物線的一半；

（4）用同樣方法畫出另一半。

你能說明上述畫法的正確性嗎？

對于以上問題，我們要在外在形式、結(jié)構(gòu)的一致性的基礎(chǔ)上，深刻認(rèn)識本質(zhì)的一致性。

【思考1】你能研透上述題2、遷移1、遷移2的本質(zhì)一致性嗎？（橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線。圓錐曲線在定義的方式、知識的結(jié)構(gòu)、研究的方法等方面具有一致性。設(shè)計這樣的問題，意在引領(lǐng)學(xué)生舉一反三，由表及里，深刻認(rèn)識圓錐曲線的本質(zhì)。）

（圖8）

【思考2】你能參考題1的改編方式，將遷移1、遷移2 改編成形如題1 的考題嗎？（在深刻認(rèn)識問題本質(zhì)的同時，教師也要學(xué)會“再創(chuàng)造”，借鑒優(yōu)秀試題的命制方式，“再創(chuàng)造”出更多的優(yōu)秀試題，讓學(xué)生有機會再練、再悟、再提高。）

數(shù)學(xué)家波利亞曾指出：“解題是人類最富有特征的一種智力活動。”作為數(shù)學(xué)教育工作者，我們不能僅僅滿足于一般意義上的解題，我們要善于深度研題。通過“多思精解—探求規(guī)律—探尋題根—有效遷移”的路徑，使得研題活動助力教師的專業(yè)成長，助力智慧課堂的有效達成，也助力促進學(xué)生核心素養(yǎng)的不斷提升。