關(guān)于一道函數(shù)零點(diǎn)例題的引申

福建省龍巖第一中學(xué) 劉曉生

在教材《函數(shù)的應(yīng)用》章節(jié)中有這樣一道例題：已知函數(shù)f（x）=lnx＋2x－6，求該函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。接下來(lái)，筆者就談一談如何站在學(xué)生的角度解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題。

一、求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

由教材中的例題可知，函數(shù)零點(diǎn)的基本考查類(lèi)型就是求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，也就是求函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn)的問(wèn)題。首先，我們應(yīng)該掌握最基本也非常重要的解題思路，即函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)與方程f（x）=0的根是等價(jià)的。鑒于學(xué)生從小學(xué)階段就開(kāi)始接觸方程問(wèn)題，所以我們?cè)谘芯亢瘮?shù)的零點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，都可以引導(dǎo)學(xué)生將其轉(zhuǎn)化為熟悉的方程問(wèn)題來(lái)解決。

針對(duì)如何求解函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題，主要有三種方法：

1.直接法

直接令f（x）=0，求解這個(gè)方程，解出幾個(gè)根，那么函數(shù)就有幾個(gè)零點(diǎn)。

例1：已知函數(shù)f（x）=x4+x3-6x2，求該函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。

解：令x4+x3-6x2=0，則x2（x2+x-6）=0，

則x2（x-2）（x+3）=0，解得x=0 或x=2 或x=-3。

于是函數(shù)f（x）有三個(gè)零點(diǎn)。

2.定理法

也就是根據(jù)零點(diǎn)存在性定理來(lái)判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]內(nèi)連續(xù)，且f（a）×f（b）<0，則函數(shù)在（a，b）內(nèi)存在零點(diǎn)。

3.數(shù)形結(jié)合法

將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)，分別畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖像，由交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，有幾個(gè)交點(diǎn)，就有幾個(gè)零點(diǎn)。

仍以課本例題為例，將函數(shù)f（x）=lnx+2x-6 盡可能地轉(zhuǎn)化為兩個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)，如y=lnx和y=-2x+6，分別畫(huà)出二者的圖像，可知只有一個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)。

二、由函數(shù)零點(diǎn)特征求解參數(shù)取值范圍

函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的另一大考題類(lèi)型就是根據(jù)零點(diǎn)特征確定參數(shù)的取值范圍，這類(lèi)問(wèn)題相對(duì)復(fù)雜，通常需要借助多個(gè)知識(shí)來(lái)綜合解決，如函數(shù)零點(diǎn)存在性定理、不等式知識(shí)、二次方程知識(shí)等，需要學(xué)生的思路十分明確和清晰，能夠迅速調(diào)動(dòng)大腦內(nèi)的多種知識(shí)，將其聯(lián)系鏈接，進(jìn)而找到問(wèn)題的突破口。

例3：已知函數(shù)f（x）=x2+（t-1）x+1 在區(qū)間[0，2]上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍。

分析：原題可以轉(zhuǎn)化為方程x2+（t-1）x+1=0 在區(qū)間[0，2]上有根，這是一個(gè)二次方程，因此它可能有一個(gè)根，也可能有兩個(gè)不同的根，需要進(jìn)行分類(lèi)討論。

三、二次方程根的分布

因?yàn)楹瘮?shù)的零點(diǎn)等于方程的根，所以二次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題就與二次方程根的分布產(chǎn)生了千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，尤其是變相考查二次方程根的分布問(wèn)題，受到了高考命題人的偏愛(ài)。根的分布問(wèn)題主要涉及對(duì)稱(chēng)軸的位置、兩根之和、兩根之積等的判斷，學(xué)生在解題時(shí)應(yīng)該充分利用二次方程的圖像，幫助自己找到解題思路，同時(shí)應(yīng)該熟練掌握有關(guān)結(jié)論，以求提高解題速度和解題正確率。

總之，函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在學(xué)生的高考中扮演著非同小可的角色。作為高中數(shù)學(xué)教師，我們?cè)谄匠５慕虒W(xué)中，應(yīng)該結(jié)合課本例題或者試卷中遇到的問(wèn)題進(jìn)行恰當(dāng)?shù)囊旰屯卣?，幫助學(xué)生系統(tǒng)科學(xué)地掌握相關(guān)知識(shí)，力求觸類(lèi)旁通，舉一反三，進(jìn)而為學(xué)生開(kāi)啟高考的綠色通道。