相干態(tài)表象下的兩類不對稱積分投影算符

侯麗麗，王 帥

(江蘇理工學院 數(shù)理學院，江蘇 常州 213001)

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又會得到什么物理結(jié)果哪？顯然，式(2)所表示的不對稱積分投影算符的構(gòu)造方式與式(1)大不相同。那么，這樣的投影算符是幺正算符還是厄米算符呢?如果是厄米算符，它是否有著經(jīng)典對應呢?在本文的工作中，將利用IWOP積分技術(shù)研究以上兩個問題。

1 雙模轉(zhuǎn)動算符的相干態(tài)表象表示

在量子力學中，IWOP積分技術(shù)在量子算符的運算以及幺正變換過程中是非常有用的一種積分工具。下面，本文首先利用IWOP積分技術(shù)導出式(1)所示的不對稱積分投影算符的顯式。為了便于對不對稱積分投影算符的理解，本文將給出詳細地推導過程。

(3)

(4)

該式中符號::的左邊都是產(chǎn)生算符，右邊都是湮滅算符，積分算符本身就是算符的正規(guī)排序形式。因此，式(4)中符號::兩側(cè)的算符可以放置到::內(nèi)，即

(5)

這樣就可以利用IWOP積分技術(shù)對式(5)進行積分，給出積分算符的顯式。注意到以下積分公式

(6)

其積分收斂條件Re(ζ)<0，對式(5)直接積分可得

(7)

為了把算符的正規(guī)乘積排序符號::去掉，借助算符恒等式

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最終，不對稱積分投影算符式(1)有如下的簡單形式，即

(9)

該不對稱積分投影算符恰好就是量子相空間中的雙模轉(zhuǎn)動算符，它是一個幺正算符[12]。

2 宇稱測量算符的相干態(tài)表象表示

接下來，利用IWOP積分技術(shù)計算式(2)不對稱積分投影算符的顯式，并討論它的物理意義，這是本文的主要工作。與推導式(9)相類似，首先把式(2)積分投影算符改寫成正規(guī)乘積形式下的積分，即

(10)

這樣就可以利用IWOP積分技術(shù)直接對式(10)進行積分了。再次利用積分公式(6)，可得式(10)的積分顯式為

(11)

與式(9)不同，容易證明下式中左右兩端積分投影算符相等，即

(12)

所以，式(2)(或式(11))不對稱積分投影算符是一個厄米算符。既然它是一個厄米算符，在量子力學中也許有其經(jīng)典物理對應，即對應某個物理量或某種物理測量。特別地，當φ=0時，式(11)就簡化為文獻[13]中的結(jié)果，即

(13)

同時，文獻[13]證明了式(13)對應的是在馬赫-曾德爾(MZI)干涉儀中的宇稱測量，具體來講就是參數(shù)化后的雙模量子態(tài)光場經(jīng)過最后一個分束器后的宇稱測量(光子數(shù)的奇偶測量)。下面按照同樣的思路，我們推廣文獻[13]的研究結(jié)果，解析地證明式(2)(或式(11))代表的是雙模量子態(tài)光場經(jīng)過更為一般分束器后的宇稱測量方案。

圖1 基于馬赫-曾德爾干涉儀的量子精密測量方案示意圖，虛線框為宇稱測量部分

如圖1所示，MZI干涉儀是一個具有兩個輸入端口和兩個輸出端口的光學儀器，在量子精密測量中有著重要且廣泛的應用[14-17]。虛線框前的部分為光場量子態(tài)經(jīng)過第一塊分束器BS1后，再經(jīng)過相位產(chǎn)生器(phase shifter)，這一過程通常稱為參數(shù)化過程。參數(shù)化后的量子態(tài)用|Ψ〉ab表示。這里相位產(chǎn)生器描述光經(jīng)過干涉儀的兩條光路所產(chǎn)生的相位差φ。在真實的實驗中，它可以用于模擬諸如引力波或者存在某種介質(zhì)等因素所引起的兩條光路的相位改變，這正是需要測量的相位。在MZI干涉儀輸出端光場的量子態(tài)下，計算宇稱算符的期望值稱為宇稱測量。方便起見，本文考慮的宇稱測量方案包括MZI干涉儀最后一塊分束器BS2在內(nèi)，如圖1中虛線框所示。此時，宇稱測量可以表示為

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并存在如下幺正變換關(guān)系

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(17)

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該式右邊算符的正規(guī)排序好了。因此，利用IWOP技術(shù)對該式右邊積分可得，

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當θ=π/2時，即考慮平衡分束器時，上式簡化為

(20)

比較式(11)和式(20)，最終可得

(21)

可見，如式(2)所示的厄米算符確實有其經(jīng)典物理對應，即雙模量子態(tài)經(jīng)過更為一般分束器后的宇稱測量，式(21)就是本文最重要的一個研究結(jié)果。

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3 結(jié)論