逢山開路 遇水搭橋
——妙用三角參數(shù)解題

江蘇省豐縣民族中學(xué) (221700) 高成功

“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題”，對于數(shù)學(xué)題有時(shí)解法和思路會很豐富.解題時(shí)要做到“逢山開路，遇水搭橋”,完善解題過程,讓解題變成一種追求和境界.引入?yún)?shù)通過換元完成解題的方法很多，因三角函數(shù)公式多、變換活、思路廣以及正、余弦函數(shù)的有界性，為問題的解決帶來極大便利. 三角換元法也稱為三角代換、參數(shù)換元法.本文談?wù)勄擅钜肴菂?shù)進(jìn)行換元在求解問題中的應(yīng)用,以期對提高學(xué)生的解題能力有所裨益.

分析：(1)過點(diǎn)P的直線有無數(shù)條，討論直線斜率是否存在從而引入?yún)⒘窟M(jìn)行解題是一種常規(guī)思路；(2)結(jié)合解題經(jīng)驗(yàn)利用點(diǎn)C的軌跡是一個(gè)圓，從幾何的角度也可以解決該題;(3)由于圓、直線等具有一種三角參數(shù)方程式，有時(shí)選用便于突破重圍，起到出奇制勝的良好效果.

評注：通過引入?yún)?shù)換元實(shí)現(xiàn)了代數(shù)和三角的轉(zhuǎn)化，使思維處于“山窮水盡”之時(shí)，能神奇地開拓“柳暗花明”的局面.

分析：這是一個(gè)三元未知量求最值問題,消元法此時(shí)也不易于問題的解決.根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)考慮引入?yún)?shù)使用三角換元法.

評注：三元最值問題，觀察結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，聯(lián)想知識內(nèi)在聯(lián)系.引入變量代替某個(gè)可以看成一個(gè)整體的復(fù)雜式子,進(jìn)而使問題簡化.引入三角參數(shù)是中學(xué)解題中常見的換元技巧,它主要利用已知代數(shù)式與三角知識的聯(lián)系進(jìn)行換元.通過聯(lián)想類比,將代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為三角形式,再利用三角函數(shù)的性質(zhì),巧妙地實(shí)現(xiàn)解題.

圖1

分析：本題常規(guī)解法是為了求直線斜率通過設(shè)出直線斜率的方法解題.通性思路為設(shè)出直線AB的斜截式、聯(lián)立方程組，運(yùn)用韋達(dá)定理；結(jié)合平行四邊形下的共圓條件得出直角進(jìn)而利用垂直條件、以及點(diǎn)M在橢圓上，從而實(shí)現(xiàn)兩個(gè)未知量組建兩個(gè)等量關(guān)系式的目標(biāo),問題由此得解.

下面通過設(shè)點(diǎn)法(引入三角參數(shù)法)來解題.

解：設(shè)A(2cosα,sinα),B(2cosβ,sinβ),其中α,β∈[0,2π).顯然直線AB的斜率存在，即2cosα≠2cosβ.由于四邊形AMBO是平行四邊形且A,B,M,O四點(diǎn)共圓，可知四邊形AMBO為矩形，由OA⊥OB可得4cosαcosβ+sinαsinβ=0.易知M(2cosα+2cosβ,sinα+sinβ),將點(diǎn)M代入橢圓方程整理得

評注：三角參數(shù)介入解題，變形技巧是關(guān)鍵；引入變量m設(shè)而不求、機(jī)動靈活.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不僅要學(xué)習(xí)已有的技巧，更要培養(yǎng)良好的觀察能力，從整體看，從局部看，從不同角度去看，發(fā)現(xiàn)問題的特點(diǎn)，挖掘其中的聯(lián)系，自己創(chuàng)造技巧，而這種觀察能力，正是素養(yǎng)的一部分，應(yīng)當(dāng)逐步養(yǎng)成.

總之,引入?yún)?shù)結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)解題是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想方法,一些看似無從下手的題目,巧妙引入?yún)?shù)進(jìn)行換元,往往會達(dá)到事半功倍的效果.