設(shè)計(jì)圖形認(rèn)知活動(dòng)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

福建省漳州第一中學(xué) (363000) 黎碧娟福建省福清市教師進(jìn)修學(xué)校 (350300) 林新建

把數(shù)量關(guān)系的研究轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的研究，或者把圖形性質(zhì)的研究轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的研究，這種解決問題過程中“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)化的研究策略，就是數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想.數(shù)形結(jié)合思想讓“數(shù)”的抽象與“形”的直觀結(jié)合，使問題的解決既直觀又“入微”. 當(dāng)然，更多的時(shí)候需要以“形”的生動(dòng)和直觀認(rèn)識(shí)“數(shù)”，幫助數(shù)量關(guān)系的建立，將問題簡單予以解決.所以教學(xué)中教師要認(rèn)真設(shè)計(jì)圖形認(rèn)知活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷圖形的認(rèn)知過程，這個(gè)認(rèn)知過程至少應(yīng)該包括：這個(gè)問題涉及了什么圖形？這個(gè)圖形的特征是什么？能否基于這個(gè)特征將問題簡化求解？通過上述過程，學(xué)生充分經(jīng)歷對(duì)圖形的感知、表征、結(jié)構(gòu)分析、尋找策略、形成計(jì)劃、實(shí)施計(jì)劃等認(rèn)知活動(dòng)和反思總結(jié)等元認(rèn)知活動(dòng)，不僅輕松將問題予以解決，而且有效地培養(yǎng)和發(fā)展起數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng).本文以全國卷高考試題為例，就設(shè)計(jì)圖形認(rèn)知活動(dòng)在培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)上的意義與作用作一闡釋，以饗讀者.

1 設(shè)計(jì)“位置關(guān)系”認(rèn)知活動(dòng)，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)

設(shè)計(jì)“位置關(guān)系”認(rèn)知活動(dòng)，對(duì)題設(shè)給出的圖形中的點(diǎn)線位置關(guān)系進(jìn)行識(shí)別，進(jìn)而借助位置關(guān)系將問題輕松予以解決.

例1 (2009年高考新課標(biāo)Ⅰ卷理科第9題)已知直線y=x+1與曲線y=ln(x+a)相切，則a的值為( ).

A．1 B．2 C.-1 D．-2

解析：本題不是很難，但按常規(guī)方法求解需要一定的時(shí)間，若能基于圖形中的位置關(guān)系予以求解，問題瞬間獲解，根本不必運(yùn)算.為此，教學(xué)中應(yīng)設(shè)計(jì)“位置關(guān)系”認(rèn)知活動(dòng)，這些活動(dòng)過程包括：

問題1：題中涉及的是什么圖形？

問題2：這個(gè)圖形中的直線與曲線的位置關(guān)系怎樣？

問題3：能否基于這個(gè)位置關(guān)系將問題簡化求解？

通過問題1和2，引領(lǐng)學(xué)生“從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)”，明了曲線y=lnx在直線y=x的下方，所以曲線y=ln(x+1)在直線y=x+1的下方，而曲線y=ln(x+a)是變動(dòng)的.通過問題3，引領(lǐng)學(xué)生“借助空間認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律，利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題”，明了欲使曲線與直線y=x+1相切，曲線y=ln(x+1)須向左平移，結(jié)合選項(xiàng)知正確答案為B.

評(píng)析：在上述活動(dòng)中，學(xué)生經(jīng)歷了“從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)”，以及“借助空間認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律，利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題”的完整過程，無疑，數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等核心素養(yǎng)得到了培養(yǎng)和發(fā)展.

2.設(shè)計(jì)“運(yùn)動(dòng)軌跡”認(rèn)知活動(dòng)，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

設(shè)計(jì)“運(yùn)動(dòng)軌跡”認(rèn)知活動(dòng)，對(duì)題設(shè)給出圖形中的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行辨別，進(jìn)而借助運(yùn)動(dòng)軌跡將問題輕松予以解決.

A．a(chǎn)2+b2≤1 B．a(chǎn)2+b2≥1

解析：本題按常規(guī)方法求解似乎無從下手，若能辨別出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡，問題可轉(zhuǎn)化而輕松獲解.為此，教學(xué)中應(yīng)設(shè)計(jì)“運(yùn)動(dòng)軌跡”認(rèn)知活動(dòng)，這些活動(dòng)過程包括：

問題1：題中涉及的是什么圖形？

問題2：這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么？

問題3：能否基于這個(gè)運(yùn)動(dòng)軌跡將問題簡化求解？

評(píng)析：在上述活動(dòng)中，學(xué)生經(jīng)歷了“借助空間認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律”，進(jìn)而“利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題，建立形與數(shù)的聯(lián)系，探索解決問題的思路”的完整過程，無疑，邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)得到了培養(yǎng)和發(fā)展.

3.設(shè)計(jì)“結(jié)構(gòu)特征”認(rèn)知活動(dòng)，發(fā)展直觀想象、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

設(shè)計(jì)“結(jié)構(gòu)特征”認(rèn)知活動(dòng)，對(duì)題設(shè)給出圖形中的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行推斷，進(jìn)而借助結(jié)構(gòu)特征將問題輕松予以解決.

例3 (2017年福建高三畢業(yè)質(zhì)檢理第10題)空間四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，且EF⊥AB，EF⊥CD，若AB=8，CD=EF=4，則該球的半徑等于( ).

解析：本題需要對(duì)四邊形ABCD的結(jié)構(gòu)特征作推斷才能判斷出球心O的位置，進(jìn)而將問題有效予以求解.為此，教學(xué)中應(yīng)設(shè)計(jì)“結(jié)構(gòu)特征”認(rèn)知活動(dòng)，這些活動(dòng)過程包括：

問題1：題中涉及的是什么圖形？

問題2：這個(gè)圖形的結(jié)構(gòu)特征怎樣？

問題3：能否基于結(jié)構(gòu)特征將問題求解？

通過問題1和2，引領(lǐng)學(xué)生“從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)”，明了直線EF是線段AB的中垂線，也是線段CD的中垂線，由此感知線段EF上的任意一點(diǎn)到A、B兩點(diǎn)的距離相等，到C、D兩點(diǎn)的距離也相等.

評(píng)析：在上述活動(dòng)中，學(xué)生經(jīng)歷了“從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)”，以及“借助空間認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律”和“利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題，建立形與數(shù)的聯(lián)系”的完整過程，無疑，數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等核心素養(yǎng)得到了培養(yǎng)和發(fā)展.

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是一種內(nèi)在的思維品質(zhì)和能力，它很難直接地被觀察，只有將這種內(nèi)在的思維品質(zhì)和能力轉(zhuǎn)化為外在的行為時(shí)，教師才能觀察到學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)形成和發(fā)展的情況.教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，要將數(shù)學(xué)素養(yǎng)同具體的情境與問題相連，通過創(chuàng)設(shè)不同的解題認(rèn)知活動(dòng)，讓學(xué)生在日積月累的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，不斷地進(jìn)行“數(shù)學(xué)認(rèn)知”，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，才能切實(shí)有效地培養(yǎng)起他們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).