設計模型認知活動 培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)

閩南師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院 (363000) 吳莉莉 林新建

“模型認知”是通過對條件與結(jié)論的充分剖析，聯(lián)想出一種適當?shù)妮o助模型，如某種數(shù)量關系，某個直觀圖形，或者某一反例，以此促成命題轉(zhuǎn)換，產(chǎn)生新的解題方法的數(shù)學解題策略.設計“模型認知”活動的關鍵在于構(gòu)建出問題的輔助模型，這個“構(gòu)建”過程包括：這是什么模型的問題嗎？這類模型問題求解的關鍵是什么？如何構(gòu)建出利于問題求解的輔助模型？如何基于輔助模型將問題簡單求解？

通過上述問題，“從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)”，進而“分析問題、構(gòu)建模型，求解結(jié)論”，在這個過程中，數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學建模等核心素養(yǎng)得到了很好地培養(yǎng)和發(fā)展.

本文以全國卷高考試題為例，就“模型認知”活動的設計在培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)上的意義與作用作一闡釋，以饗讀者.

1.設計“模型識別”認知活動，發(fā)展數(shù)學抽象、數(shù)學運算素養(yǎng)

設計“模型識別”認知活動，對題設給出的模型進行識別，進而借助模型特征將問題輕松予以解決.

例1 (2013全國Ⅰ文16)若當x=θ時，函數(shù)f(x)=sinx-2cosx取得最大值，則cosθ=.

分析：本題依常規(guī)方法求解較為繁瑣，若能基于問題的特征引領學生對給定函數(shù)模型作識別，不難將問題輕松予以求解.為此，教學可通過如下問題設計“模型識別”認知活動：

問題1：這是什么模型的問題？

問題2：這類模型問題的特征是什么？

問題3：能否借助這個特征將問題簡化求解？

評析：在上述活動中，學生經(jīng)歷了“從數(shù)量與數(shù)量關系中抽象出基本關系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)”，以及“探究運算方向，選擇運算方法，求得運算結(jié)果”的完整過程，無疑，數(shù)學抽象、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)得到了很好地培養(yǎng)和發(fā)展.

2.設計“模型還原”認知活動，發(fā)展直觀想象、數(shù)學建模素養(yǎng)

設計“模型還原”認知活動，對題設給出的模型進行還原，進而借助原始模型將問題輕松予以解決.

例2 (2015新課標Ⅰ理16)在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是.

分析：本題直接求解難度很大，但若能將四邊形的原始模型還原出來，則問題可輕松獲得解決.為此，教學可通過如下問題設計“模型還原”認知活動：

問題1：這個圖形的變化特點是什么？

問題2：能否利用這個特點構(gòu)造出求解問題的原始模型？

問題3：如何基于原始模型將問題簡單求解？

通過問題1，引領學生“認識事物的位置關系、形態(tài)變化與運動規(guī)律”，明了這一動態(tài)四邊形的特點；通過問題2，引領學生“分析問題、構(gòu)建問題的直觀模型”，明了可將圖形還原成三角形；通過問題3，引領學生“建立形與數(shù)的聯(lián)系，探索解決問題的思路”，明了找出原始三角形模型，則問題容易獲得解決.

圖1

評析：在上述活動中，學生經(jīng)歷了“認識事物的位置關系、形態(tài)變化與運動規(guī)律”，以及“分析問題、構(gòu)建問題的直觀模型”和“建立形與數(shù)的聯(lián)系，探索解決問題的思路”的完整過程，無疑，直觀想象、數(shù)學建模等核心素養(yǎng)得到了培養(yǎng)和發(fā)展.

3.設計“模型構(gòu)建”認知活動，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學建模素養(yǎng)

設計“模型構(gòu)建”認知活動，構(gòu)建出待解問題的數(shù)學模型，進而借助構(gòu)建的數(shù)學模型將問題輕松予以解決.

分析：本題是三角形求解問題，因為題設僅告知一邊一角，無法直接運用正、余弦定理予以求解，怎么辦？其實，若能注意到這是最值求解問題，則不難想到引入變量，構(gòu)建出待求最值關于這個變量的函數(shù)模型，進而運用通法“知三求三”將問題輕松予以解決.為此，教學可通過如下問題設計“模型構(gòu)建”認知活動：

問題1：由題設條件，你能解這三角形嗎？

問題2：你是否注意到問題的模型特征？這模型特征給你的啟示是什么？

問題3：如何基于特征構(gòu)建求解模型？如何基于輔助模型將問題簡單求解？

通過問題1，引領學生“從數(shù)量與數(shù)量關系中抽象出數(shù)學概念及概念之間的關系”，即這是解三角形問題，但題設僅告知一邊及其對角，是無法運用通法“知三求三”以求解的；通過問題2，引領學生“從數(shù)學的視角分析問題、構(gòu)建模型”，即明了這是最值求解問題，必須構(gòu)建函數(shù)模型予以求解，這是問題獲解的關鍵；通過問題3，引領學生“驗證結(jié)果并改進模型，最終解決實際問題”，即構(gòu)建出待求最值x=θ的函數(shù)模型，且引進一個角比引進一條邊作為變量更能簡化問題求解.

評析：在這個“從數(shù)量與數(shù)量關系中抽象出抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)”的過程中，學生“從數(shù)學的視角分析問題、構(gòu)建模型”，進而“求解結(jié)論，驗證結(jié)果并改進模型，最終解決實際問題”，在這個過程中，邏輯推理、數(shù)學建模等核心素養(yǎng)得到了培養(yǎng)和發(fā)展.

數(shù)學素養(yǎng)是一種內(nèi)在的思維品質(zhì)和能力，它很難直接地被觀察，教師在教學設計時，要將數(shù)學素養(yǎng)同具體的情境與問題相連，通過創(chuàng)設不同的認知活動，讓學生在日積月累的數(shù)學學習中，不斷地進行“數(shù)學認知”，積累數(shù)學活動的經(jīng)驗，才能切實有效地培養(yǎng)起數(shù)學的核心素養(yǎng).