高中數(shù)學(xué)解題中隱含條件的挖掘

尹秀香

【摘要】數(shù)學(xué)在高中階段是非常重要的科目之一，對高中生的學(xué)業(yè)及生活都起到十分關(guān)鍵的作用.從高中生的角度來看，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)任務(wù)相對繁重，需對掌握許多知識點，所學(xué)習(xí)的內(nèi)容也較為龐多和雜亂.因此，高中數(shù)學(xué)能夠?qū)Υ蟛糠值母咧猩a(chǎn)生阻礙.對高中生而言，要想把數(shù)學(xué)學(xué)好，就須將高中數(shù)學(xué)的知識點融會貫通，對高中數(shù)學(xué)題中具有的隱含條件進(jìn)行挖掘，從而發(fā)現(xiàn)解題的思路，使數(shù)學(xué)問題能夠得到順利解決.本文旨在探討如何通過對高中數(shù)學(xué)解題中隱含條件的挖掘，發(fā)現(xiàn)解題方法.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);解題;隱含條件;挖掘

數(shù)學(xué)問題的完整性通常包括條件與目標(biāo)兩個方面.問題條件主要具有顯性條件與隱含條件以及干擾項.顯性條件在解答方面能夠提供非常直接的幫助;隱含條件普遍都受忽視，因此需要學(xué)生獨立挖掘;干擾項使題目難度增加，對學(xué)生的思考設(shè)置產(chǎn)生影響.在解題的過程中，學(xué)生只要對顯性條件進(jìn)行確認(rèn)，對隱含條件進(jìn)行挖掘，對干擾項進(jìn)行排除，才可以使解題的效率得到提升.

一、意義

有些數(shù)學(xué)問題即使表面上看比較有難度，但是若是能夠把數(shù)學(xué)題內(nèi)存在的隱含條件挖掘出來，就可以使解題步驟得到快速簡化，將題中具有的數(shù)量關(guān)系理清，使解決數(shù)學(xué)問題的效率提高[1].

二、方法

（一）已知條件方面

解決高中數(shù)學(xué)問題的過程，本質(zhì)就是對學(xué)生邏輯思維的考查過程.分析題中存在的隱含條件就是通過邏輯思維進(jìn)行的.在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)知識的過程中，雖然教師的講解十分重要，但是學(xué)生進(jìn)行練習(xí)也是十分關(guān)鍵的.學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)的日常練習(xí)時，基本上都會把教師在課堂上傳授的知識進(jìn)行變形或者拓展，屬于將知識進(jìn)行延伸.所以，學(xué)生在練習(xí)時，題目難度就會變大.學(xué)生在進(jìn)行具體題目的解決時，若是想得到其中存在的隱含條件，就需要全面分析與研究已知條件，對已知定理或者設(shè)定進(jìn)行透徹理解與分析，準(zhǔn)確找到題目條件所包含的定義與公式，再利用公式變形將題中存在的隱含條件找出.

例如：已知函數(shù)f（x）=loga（x+1）（a>0，且a≠1），g（x）=loga（4-2x）.求使函數(shù)f（x）-g（x）的值為正數(shù)的x的取值范圍.

題目自身較為復(fù)雜，學(xué)生在表象認(rèn)識方面存在困難.學(xué)生第一眼看到此題目時，會認(rèn)為此題所給的條件不夠，無法解答.有些學(xué)生還會被禁錮于題目呈現(xiàn)的簡單條件之中，這時若是想在其中發(fā)現(xiàn)隱含的條件就非常困難了.因此，學(xué)生在做題時，必須將題面上所給的全部已知內(nèi)容都找到，且在其中找到需要解決的問題與高中數(shù)學(xué)內(nèi)一些定理的相似之處[2].

解析：令f（x）-g（x）>0，得f（x）>g（x），即loga（x+1）>loga（4-2x）.當(dāng)a>1時，可得x+1>4-2x，解得x>1.因為-1<x<2，所以1<x<2;當(dāng)0<a<1時，可得x+1<4-2x，解得x<1，因為-1<x<2，所以-1<x<1.綜上所述，當(dāng)a>1時，x的取值范圍是（1，2）;當(dāng)0<a<1時，x的取值范圍是（-1，1）.

由解析所表達(dá)的內(nèi)容可以清晰地看到，本題的解題關(guān)鍵在于通過已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而找到該題目的解題核心即“令f（x）-g（x）>0，得f（x）>g（x）”.在找到解題關(guān)鍵后，該題由已知條件不完整，變成了一道簡單的不等式問題，這在極大程度上降低了解題難度.同時，在上述的題目解析中可以發(fā)現(xiàn)，高中數(shù)學(xué)問題的條件通常不會直接呈現(xiàn)給解題者，而是需要解題者在利用平時課堂上所學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，合理運用邏輯思維在題干中找到解題關(guān)鍵.因此我們可以說，高中階段的數(shù)學(xué)題目正是為了有效考察學(xué)生的邏輯思維，并以此鍛煉學(xué)生的思維能力.

（二）推理方面

學(xué)生在進(jìn)行高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)時，只需對方法有一定的掌握就能夠使題目難度得到明顯降低.題目內(nèi)具有的隱含條件是將數(shù)學(xué)問題徹底解決的重要內(nèi)容.學(xué)生只有不斷推理和探究題目，才能發(fā)現(xiàn)解決問題的方法，發(fā)現(xiàn)解題時需要的實質(zhì)內(nèi)容.但是一部分題目非常復(fù)雜，很難挖掘其中存在的隱含條件，只有利用具有嚴(yán)密性的邏輯推理與求證，才能夠?qū)㈦[含條件推導(dǎo)出來，最終將問題解決[3].

例如：已知A+B+C=π，求證：tan2A2+tan2B2+tan2C2≥1.

學(xué)生在看到此題時，第一反應(yīng)就是題目中條件不夠，沒有辦法解題.但是若是經(jīng)過較為嚴(yán)密的推理就可以將此題中存在的隱含條件找到.

解析：利用基本不等式a2+b2≥2ab，同向不等式相加，可以得到tan2A2+tan2B2+tan2C2≥tanA2tanB2+tanC2tanB2+tanA2tanC2;然后只需證明tanA2tanB2+tanC2tanB2+tanA2tanC2=1即可.由兩角和的正切公式的變形可得tan α+tan β=tan（α+β）（1-tan αtan β），結(jié)合三角形內(nèi)角的關(guān)系可得tanC2=cot（A+B）2，至此即可求出結(jié)果.

證明：因為tan2A2+tan2B2≥2tanA2tanB2，

tan2C2+tan2B2≥2tanC2tanB2，

tan2A2+tan2C2≥2tanA2tanC2，

所以將三個不等式相加可得：

tan2A2+tan2B2+tan2C2≥tanA2tanB2+tanC2tanB2+tanA2tanC2=tanA2tanB2+tanC2tanA2+tanB2=tanA2·tanB2+cotA+B2tanA+B21-tanA2tanB2=1，

即tan2A2+tan2B2+tan2C2≥1.

由上述題目解析可知，僅憑題干的已知條件進(jìn)行證明是無法直接解開此題的，需要學(xué)生進(jìn)一步利用自身的知識積累來找到題中的隱含條件.類似于上述形式的數(shù)學(xué)題目，在高中階段的“出鏡率”較高，并且具有一定的難度.但是通過上述解題過程不難發(fā)現(xiàn)，該類題目的出題意圖在于考察學(xué)生的知識儲備，學(xué)生只有掌握固定的不等式關(guān)系，才能滿足上述題目的解題要求.同時，學(xué)生在解題過程中，依舊需要將自身積累的數(shù)學(xué)知識運用于解題過程中，從而為題目“湊齊”解題條件.而這種思維在學(xué)生未來進(jìn)行科學(xué)或?qū)W術(shù)研究時，能夠為其起到一定的支撐作用.在學(xué)術(shù)研究過程中必須通過已知的知識來求證未知知識，在條件不滿足的情況下，科研人員一定要具有上述的“拼湊”思維，巧妙且合理地將所有知識及條件匯聚在一起，才能解開未知的謎題.因此，學(xué)習(xí)與練習(xí)數(shù)學(xué)題目能夠在一定程度上培養(yǎng)學(xué)生的思考能力，為其日后的工作及學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ).

（三）定義方面

定義和性質(zhì)是數(shù)學(xué)解題過程中的著手處，屬于淺顯的隱含條件，但若是不夠重視就會成為非常隱蔽的隱含條件.例如，一元二次方程中的二次項系數(shù)不能是0，指數(shù)函數(shù)中底數(shù)必須是不是1的正數(shù)，等等.

例如：已知數(shù)列{an}中，a1=3，前n項和Sn=12（n+1）·（an+1）-1.求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列.

解析：由Sn=12（n+1）（an+1）-1，得Sn+1=12（n+2）·（an+1+1）-1，兩式相減后整理可得nan+1=（n+1）an-1，則（n+1）an+2=（n+2）an+1-1，兩式相減整理后利用等差中項公式可判斷.

證明：因為Sn=12（n+1）（an+1）-1，

所以Sn+1=12（n+2）（an+1+1）-1，

所以an+1=Sn+1-Sn=12[（n+2）（an+1+1）-（n+1）（an+1）]，

整理可得，nan+1=（n+1）an-1，①

所以（n+1）an+2=（n+2）an+1-1，②

②-①可得，（n+1）an+2-nan+1=（n+2）an+1-（n+1）an，

所以2（n+1）an+1=（n+1）（an+2+an），

所以2an+1=an+2+an，

所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列.

通過上述題目解析可知，在進(jìn)行數(shù)學(xué)題目解答時，學(xué)生需要準(zhǔn)確掌握使數(shù)學(xué)概念成立的充分與必要條件.在高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，很多定理的存在與成立都需要一定的固有基礎(chǔ)，同時根據(jù)定理又能得到相應(yīng)的固有結(jié)論.因此，在一般的數(shù)學(xué)題目中，既定的充要條件通常不會直接呈現(xiàn)，學(xué)生需要通過自身對于定理的熟練掌握在解題過程中自行進(jìn)行補充，從而滿足題目的解題需求.因此，教師在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，需要對學(xué)生在該方面進(jìn)行強調(diào)，并在講解新定理的過程中要求學(xué)生對定理的結(jié)論及條件進(jìn)行記憶.但需要注意的是，教師在課程中對學(xué)生提出定理記憶要求時，需要直接配合上述類型的題目要求學(xué)生進(jìn)行練習(xí)，從而使學(xué)生直觀感受到記憶定理的作用.

（四）聯(lián)系方面

在單獨地、孤立無援地對已知條件進(jìn)行審視時，能夠在已知條件的聯(lián)系中發(fā)現(xiàn)新的隱含條件.

例如：銳角α，β滿足條件sin4αcos2β+cos4αsin2β=1，求證：α+β=π2.

證明：由已知可設(shè)sin2αcos β=cos θ，cos2αsinβ=sin θ，

則sin2α=cos θcos β，① cos2α=sin θsin β，②

①+②得：cos（θ-β）=1θ-β=2kπ，

所以θ=2kπ+β（k∈Z），

所以sin2α=cos θcos β=cos2β，cos2α=sin θsin β=sin2β，

因為α，β為銳角，所以sin α=cos β=sinπ2-β，

所以α=π2-β，即有α+β=π2.

由上述類型的題目及對應(yīng)解析可知，學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)習(xí)題解答的過程中，需要充分認(rèn)識到題干中所存在的固有關(guān)系，而該類固有關(guān)系正是題目的隱含條件，學(xué)生只有及時發(fā)現(xiàn)該類隱含關(guān)系才能有效解開該類題目.此類題目在發(fā)現(xiàn)隱含條件后的整體運算并難，故需要教師在日常練習(xí)過程中幫助學(xué)生進(jìn)行解答，并指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行相應(yīng)的積累.其中在要求學(xué)生進(jìn)行積累時，教師要有所側(cè)重的為學(xué)生指出解題重點，意在培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)隱含條件的思維能力，切忌放任學(xué)生死記硬背.

（五）認(rèn)知動因方面

在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，不但具備將認(rèn)知動因進(jìn)行激活的策略，也具備將認(rèn)知內(nèi)容和方法進(jìn)行激活的策略，前面的內(nèi)容依據(jù)聯(lián)想，后面的內(nèi)容依據(jù)類比[4].解題的過程不僅是聯(lián)想的過程也是類比的過程.

例如：在等比數(shù)列中，若S30=13S10，S10+S30=140，則S20等于多少？

分析：這是一道關(guān)于等比數(shù)列的題目，要回憶等比數(shù)列的前n項和的公式.首先，由已知條件可得q≠1，S10=10，S30=130，接下來就可以利用等比數(shù)列的前n項和公式將其進(jìn)行變形，進(jìn)而得到關(guān)于q的方程，即可求出q10的值，然后利用等比數(shù)列的前n項和公式進(jìn)行解答就可以了.

解：因為S30=13S10，且數(shù)列為等比數(shù)列，所以q≠1.

因為S30=13S10，S10+S30=140，

所以S10=10，S30=130，

所以a1（1-q10）1-q=10，且a1（1-q30）1-q=130，

所以q20+q10-12=0，

所以q10=3，

所以S20=a11-q201-q=S10（1+q10）=10×（1+3）=40.

從該類題目的解題過程中可以看出，此類題目能夠很好地檢驗學(xué)生對題干的拆解能力，教師在為學(xué)生講解過題目后，一定要重點對其隱含條件“q≠1”及等比數(shù)到的特征進(jìn)行總結(jié)，其目的在于吸引學(xué)生對題干的注意力，從而在后續(xù)解題過程中能夠發(fā)現(xiàn)題干中的隱藏條件.

（六）圖形方面

一位法國數(shù)學(xué)家曾經(jīng)說過，代數(shù)和幾何一旦分道揚鑣，那么它們的發(fā)展范圍就會變得十分緩慢，它們在應(yīng)用方面就十分狹窄，但是把它們相互結(jié)合、相互聯(lián)系，它們就能相輔相成、互相影響，就能夠加快發(fā)展的步伐，變得更加完善.

例如：已知點A（1，2），B（3，-5），P為x軸上一動點，求P到A，B的距離之差的絕對值最大時P點的坐標(biāo).

分析：從題中能夠看出，若不通過數(shù)形結(jié)合，則很難算出P到A，B的距離之差的絕對值最大時P點的坐標(biāo)，因此，可以利用數(shù)形結(jié)合的方式進(jìn)行解題，如下圖所示.易得當(dāng)B′，A，P三點共線時，|PA-PB|最大，設(shè)直線AB′的解析式為y=kx+b，利用待定系數(shù)法即可求得直線AB′的解析式，點P即是此函數(shù)與x軸的交點坐標(biāo).

解：設(shè)B關(guān)于x軸的對稱點為B′，連接PB′，AB′，

則B′（3，5），PB′=PB，

所以|PA-PB|=|PA-PB′|≤AB′，

則B′，A，P三點共線時，|PA-PB|最大.

設(shè)直線AB′的解析式為y=kx+b，

則有2=k+b，

5=3k+b，可得k=32，

b=12，

所以直線AB′的解析式為y=32x+12.

令y=0，可得x=-13，

所以符合題意的點P的坐標(biāo)為-13，0.

數(shù)形結(jié)合不僅是數(shù)學(xué)發(fā)展歷史中的重要發(fā)現(xiàn)，也是當(dāng)下高中數(shù)學(xué)題目中隱藏條件的最好手段.因此，教師需要充分培養(yǎng)學(xué)生將圖形與函數(shù)進(jìn)行聯(lián)系的能力，往往題干中的隱藏條件就存在于圖形與函數(shù)之間.此外，高中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容中包含了多種函數(shù)形式，并進(jìn)一步提升了學(xué)生對于函數(shù)的理解要求.故教師要重視在日常教學(xué)中加強學(xué)生于函數(shù)的理解，并在適當(dāng)時間要求學(xué)生自行進(jìn)行函數(shù)圖像的描繪，或通過建立函數(shù)圖像來要求學(xué)生寫出對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.

三、結(jié)語

學(xué)生在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)知識時，需要把所學(xué)的知識不斷運用，這樣才可以實現(xiàn)學(xué)習(xí)的目的.學(xué)生在解題時挖掘題中蘊含的隱含條件，并采取與之相關(guān)的定義將問題解決，對解題效率的提高有很大的幫助.

【參考文獻(xiàn)】

[1]任運生.分析高中數(shù)學(xué)解題中隱含條件的挖掘[J].中學(xué)生數(shù)理化，2020（04）：13.

[2]劉九華.高中數(shù)學(xué)解題中隱含條件的挖掘分析[J].中學(xué)生數(shù)理化，2019（12）：17.

[3]畢小巖.高中數(shù)學(xué)解題中如何挖掘隱含條件：以三角函數(shù)為例[J].高中數(shù)理化，2019（08）：1-2.

[4]錢瑋.挖掘數(shù)學(xué)隱含條件，找到解題突破關(guān)鍵[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2019（01）：127.