從《算學(xué)學(xué)習(xí)法》中領(lǐng)悟余介石的數(shù)學(xué)教育思想

王燦

一、《算學(xué)學(xué)習(xí)法》的歷史背景

民國(guó)時(shí)期國(guó)家的落后，社會(huì)的動(dòng)蕩，促使國(guó)人更加重視文化教育，數(shù)學(xué)教育的作用也更為突顯，所以民國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)教育在學(xué)校教育中占有重要位置，它是學(xué)生學(xué)習(xí)發(fā)展的基礎(chǔ)性學(xué)科，是學(xué)校教育的核心課程，數(shù)學(xué)教育不僅可以讓學(xué)生獲得生存生活所必須的數(shù)學(xué)知識(shí)，也可以讓他們具有一定的數(shù)學(xué)抽象思維能力。同時(shí)近代中國(guó)政治、經(jīng)濟(jì)極其落后，急需一些愛(ài)國(guó)志士投身到國(guó)家的建設(shè)中去，而民國(guó)時(shí)期的學(xué)校教育的發(fā)展，特別是數(shù)學(xué)教育的發(fā)展，可以向國(guó)家建設(shè)提供大量的人才，這促使民國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)發(fā)生了根本性的改革，期間在內(nèi)部需要和外部刺激的相互作用下最終與世界數(shù)學(xué)教育接軌。

1922年全國(guó)教育聯(lián)合會(huì)新學(xué)制課程標(biāo)準(zhǔn)起草委員之制定公布了《新學(xué)制課程綱要》，這是中國(guó)課程發(fā)展歷史上的一次重大變革，綱要中規(guī)定初中實(shí)施混合數(shù)學(xué)教學(xué)，混合數(shù)學(xué)在課堂教學(xué)實(shí)施中對(duì)于教師的要求比較高，對(duì)數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng)以及數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)、內(nèi)容和各分支之間的聯(lián)系等要求較高。民國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)教師隊(duì)伍中具有這樣水平的數(shù)學(xué)教師很少，存在師資缺乏的問(wèn)題，而且由于初中剛?cè)雽W(xué)的小學(xué)畢業(yè)生的接受能力不夠，教師在教學(xué)中有關(guān)教學(xué)方法的問(wèn)題上存在困難。因此，民國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家多參與中國(guó)數(shù)學(xué)教育尤其中等數(shù)學(xué)教育中，編寫(xiě)數(shù)學(xué)教材和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。

二、作者介紹

余介石（1901-1968），字竹平，號(hào)慰慈，中國(guó)珠算家、數(shù)學(xué)教育家、科普作家。1901年2月7日出生于安徽省黟縣的一個(gè)徽商家庭，幼時(shí)思維敏捷，聰明過(guò)人，先就讀于上海市中華工業(yè)專門(mén)學(xué)校附中，中學(xué)畢業(yè)后，1919年考入東南大學(xué)，在這四年學(xué)習(xí)期間，余介石勤奮好學(xué)，深得老師和同學(xué)們的贊許。1923年余介石先生大學(xué)畢業(yè)后留校任教，1924-1945年，先后執(zhí)教于重慶大學(xué)、四川大學(xué)、成都金陵女子文理學(xué)院、四川大學(xué)師范學(xué)院，任教授，數(shù)學(xué)系主任。1945年秋至1949年秋兼任四川省會(huì)計(jì)?？茖W(xué)校教授。1954年被調(diào)入北京農(nóng)業(yè)工程大學(xué)（現(xiàn)為中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)）任數(shù)學(xué)系教授，1968年去世。

合著者孫克定（1909-2007），江蘇無(wú)錫人。1930年參加革命，曾任新四軍第三師軍工部研究室主任，第三野戰(zhàn)軍特種縱隊(duì)炮兵學(xué)校教授、山東大學(xué)數(shù)理系主任，上海軍管會(huì)文教處副主任。建國(guó)后歷任中科院紫金山天文臺(tái)研究員、副臺(tái)長(zhǎng)，數(shù)學(xué)研究所、系統(tǒng)科學(xué)研究所研究員。編著有：《軍工干部速成數(shù)學(xué)》、《炮兵數(shù)學(xué)講義》、《高精度三角函數(shù)算圖》、《高精度四位算尺》、《算學(xué)學(xué)習(xí)法》等。

三、內(nèi)容簡(jiǎn)介

《算學(xué)學(xué)習(xí)法》是一門(mén)專門(mén)教授數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法的一本書(shū)。本書(shū)對(duì)于算術(shù)、代數(shù)、幾何和三角學(xué)的學(xué)習(xí)原理和學(xué)習(xí)方法，論述透徹，見(jiàn)解卓越。內(nèi)容分為四章，第一章緒論，開(kāi)篇便是“數(shù)學(xué)的重要性和有用性”，同時(shí)寫(xiě)到數(shù)學(xué)的特點(diǎn)—數(shù)學(xué)沒(méi)有假的，基于數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科本身的特點(diǎn)，我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以給與我們精神上的訓(xùn)練。第二章闡述了算術(shù)和代數(shù)的學(xué)習(xí)方法，有十一種方法，包括注意題目的引申變化，學(xué)會(huì)歸納總結(jié)和重視圖解法等。第三章講解了幾何和三角的學(xué)習(xí)法，包括幾何定理的歸類，三角公式的記憶技巧和數(shù)學(xué)的應(yīng)用等。第四章是結(jié)論部分，清楚分析了數(shù)學(xué)各部門(mén)之間的相互聯(lián)系，算術(shù)與代數(shù)的密切關(guān)系，隨時(shí)隨地想出數(shù)學(xué)問(wèn)題和學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的方法，養(yǎng)成推理習(xí)慣的問(wèn)題。指出學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的，一方面是為了實(shí)際應(yīng)用，一方面是為了思維訓(xùn)練。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最有效的方法就是把課內(nèi)的數(shù)學(xué)與課外的生活練習(xí)起來(lái)。

四、《算學(xué)學(xué)習(xí)法》中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)教育思想

1.重視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)。

《算學(xué)學(xué)習(xí)法》開(kāi)篇便是“數(shù)學(xué)的重要性和有用性”，其中寫(xiě)到，算學(xué)是研究數(shù)量和空間的科學(xué)，世界上一切東西都有數(shù)量可稽，都占據(jù)一定的空間，可見(jiàn)算學(xué)無(wú)所不在，無(wú)所不包，進(jìn)而舉例說(shuō)明，從而激起讀者對(duì)數(shù)學(xué)的崇拜和濃厚的興趣。那么數(shù)學(xué)既然這樣有用而又這樣重要，所以每個(gè)人都得學(xué)習(xí)它，應(yīng)用它，并企圖進(jìn)一步發(fā)展它，這就要求我們必須在中學(xué)時(shí)代打好基礎(chǔ)，激發(fā)學(xué)生對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

書(shū)中第二節(jié)寫(xiě)到數(shù)學(xué)的特點(diǎn)—數(shù)學(xué)沒(méi)有假的。算學(xué)像一座大建筑物，壁壘森嚴(yán)，每一部分都是必要的。算學(xué)又像是有組織的軍隊(duì)，異己分子是參雜不進(jìn)去的。所以我們學(xué)習(xí)算學(xué)，這給予我們一種精神上的訓(xùn)練，訓(xùn)練我們的思維及行動(dòng)必須系統(tǒng)，精密嚴(yán)正而完整，做事有根據(jù)合邏輯。而這種習(xí)慣在生活和學(xué)習(xí)中都很重要，可見(jiàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要。那么它究竟是什么樣的科學(xué)？這么獨(dú)特又這么重要？從而激發(fā)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，想進(jìn)一步了解它，研究它。

書(shū)中還多次提出興趣的重要性。比如有些人認(rèn)為自己天生不愿意學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，其原因可能是一開(kāi)始對(duì)數(shù)學(xué)有了壞的印象，從而失去興趣，不努力去學(xué)導(dǎo)致的。再比如有些人見(jiàn)了數(shù)字就害怕也是因?yàn)樗麑?duì)數(shù)字沒(méi)有興趣?？梢?jiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)至關(guān)重要。

本書(shū)講到數(shù)學(xué)游戲?qū)τ跀?shù)學(xué)的正規(guī)學(xué)習(xí)是很有幫助的，它可以增進(jìn)學(xué)生的興趣，啟發(fā)對(duì)于數(shù)學(xué)的好奇心，使人不知不覺(jué)地跨入數(shù)學(xué)的領(lǐng)域。不論是有沒(méi)有受過(guò)教育的人，對(duì)于數(shù)學(xué)上奇妙有趣的問(wèn)題總是樂(lè)于加以思索，能夠得著正確的解答就感到莫大的快樂(lè)，這是基于人類共同的求知欲和創(chuàng)造欲，我們?nèi)绻馨堰@因勢(shì)利導(dǎo)，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)大有益處。我們注重的不在于猜謎似的去猜出數(shù)學(xué)游戲的答案，而在于用正確的數(shù)學(xué)理論導(dǎo)出解答來(lái)，譬如流行的一首歌謠“一百饅頭一百僧，大僧一人得三個(gè)，小僧三人一個(gè)分，問(wèn)有幾多饅頭幾多僧？”這是個(gè)很有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題。我們可以設(shè)大僧x人，則小僧就有（100-x）人，則有3x+ 1/3 （100-x）=100解得x=25，所以大僧25人，小僧75人。數(shù)學(xué)游戲不僅可以提高數(shù)學(xué)的趣味性，而且還能表示出數(shù)學(xué)的推理方法及應(yīng)用。雖然是游戲題，但我們還得把它看成同正式題一樣做，數(shù)學(xué)可以用在游戲上，但游戲卻不能用在數(shù)學(xué)上。

2.關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理。

現(xiàn)代教育心理學(xué)認(rèn)為，學(xué)生的學(xué)習(xí)心理決定學(xué)習(xí)的效果，學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)是智力因素和非智力因素共同參與的過(guò)程，學(xué)習(xí)效果是兩種因素相互作用的產(chǎn)物。學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理表現(xiàn)成為影響數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的一個(gè)重要因素，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)注重向?qū)W生傳授數(shù)學(xué)知識(shí)，忽視對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)心理的研究。余介石在《算學(xué)學(xué)習(xí)法》中已經(jīng)意識(shí)到關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理，克服數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理障礙對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起到的積極作用。文中對(duì)于學(xué)生認(rèn)為的“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是苦事和難事”，“天生不進(jìn)數(shù)學(xué)”，“見(jiàn)了數(shù)字就害怕”等問(wèn)題予以了詳細(xì)的講解。

2.1數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并非苦事也并非難事

我們常常聽(tīng)到有人說(shuō)我見(jiàn)到數(shù)學(xué)就頭痛，或者說(shuō)數(shù)學(xué)是最難學(xué)的一門(mén)功課。果真數(shù)學(xué)是這樣難學(xué)可怕嗎？實(shí)際上并不是這樣。如果說(shuō)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)很苦很難，那么學(xué)習(xí)別的課程何嘗不苦何嘗不難？學(xué)英語(yǔ)要記單詞和語(yǔ)法，語(yǔ)文要學(xué)作文，史地要記人名、地名、年代等等，甚至音樂(lè)畫(huà)畫(huà)都得記五線譜，學(xué)寫(xiě)生。嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，任何一門(mén)學(xué)問(wèn)或藝術(shù)，在學(xué)習(xí)過(guò)程中都得經(jīng)過(guò)一番刻骨的訓(xùn)練，而各種課程的學(xué)習(xí)，也各有其特殊困難之點(diǎn)。不過(guò)這些困難都不是不可超越的絕對(duì)困難，這些只是相對(duì)的困難，是在發(fā)展過(guò)程中難以避免的困難。大家想必都有這種經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過(guò)了艱難的困苦，到后來(lái)自然會(huì)感到無(wú)上的樂(lè)趣，足以把學(xué)習(xí)時(shí)的努力與辛苦抵償而有余。譬如把一個(gè)難題找到解答，或者把一條較為深刻的定理了解清楚，那時(shí)就感到有說(shuō)不出的愉快。又如我們打破從算術(shù)到代數(shù)的難關(guān)，回過(guò)頭來(lái)弄算術(shù)，就感到較以前容易得多。所以苦樂(lè)是相生的，難易是相成的，而苦后之樂(lè)，難中之易，卻要超過(guò)原來(lái)的苦與難，這無(wú)論是在讀書(shū)、做事都是如此，不獨(dú)在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)才這樣。

總結(jié)起來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是一件絕對(duì)困難的事，當(dāng)然也不是絕對(duì)容易的事。數(shù)學(xué)正和我們所學(xué)的別的科目相仿，也并不比別的科目特別困難，只是各科有各科的特殊困難點(diǎn)就是了。學(xué)習(xí)就像爬山一樣，我們向山上爬去，自然是很費(fèi)力的，但越爬得高越能看到前所未有的美景，我們自會(huì)覺(jué)得心曠神怡。但如果我們只是站著不動(dòng)而空想向上飛騰，這當(dāng)然絕對(duì)不可能的。勞而后獲這條規(guī)律，無(wú)論在哪里都適用。

2.2所謂“天生不近數(shù)學(xué)”

有人說(shuō)，“我很知道數(shù)學(xué)并不是絕對(duì)地難學(xué)，因?yàn)閯e的人能夠?qū)W的很好，可這在我這卻又是另一回事，我天生學(xué)不會(huì)數(shù)學(xué)啊?！惫倘桓魅硕加刑亻L(zhǎng)和所短，智力的發(fā)展在一切方面并不一致，這我們是承認(rèn)的，可是某個(gè)人的天性對(duì)于某件事到底近不近卻不是一下子就可以決定的。一般說(shuō)起來(lái)，對(duì)于數(shù)學(xué)有很好的天資的人固然很少，但反過(guò)來(lái)說(shuō)，對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力極低的人也占很少數(shù)。多以主要是后天的問(wèn)題，先天的問(wèn)題只對(duì)于極少數(shù)一部分人才值得注意。許多自以為對(duì)數(shù)學(xué)天性不近的人，實(shí)際上十有七八是被自己欺騙了，他們有的是因?yàn)樵陂_(kāi)始就得到壞的印象，從而失去興趣，不努力去學(xué);有的是因?yàn)閷W(xué)習(xí)方法不當(dāng)，如學(xué)幾何只是拼命背定理，學(xué)代數(shù)只是帶公式或硬記書(shū)上的方法，雖努力而難有效果;有的是因?yàn)樵趯W(xué)習(xí)的過(guò)渡階段沒(méi)有轉(zhuǎn)換好，或跳過(guò)必要的階段，如從算數(shù)到代數(shù)，從代數(shù)到幾何的轉(zhuǎn)換過(guò)程中沒(méi)有弄清楚各部分的特征或特殊方法，或者學(xué)習(xí)三角而跳過(guò)幾何，這樣就難于繼續(xù)學(xué)習(xí)去。因?yàn)檫@些原因以及其他的原因就感到失望和灰心，但又不明了原因所在，或者知道了原因而不能克服，于是只得一半自慰一半自嘲地說(shuō)，“我天生不近數(shù)學(xué)”，其實(shí)這種態(tài)度也就是自暴自棄的態(tài)度。即便是真的天生不近數(shù)學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力很低的人，對(duì)于數(shù)學(xué)也絕對(duì)不應(yīng)該完全放棄。讓我們舉個(gè)例子，是否有人天性不近于說(shuō)話？是否有人天生不近于寫(xiě)文章？有的，有些口才拙，文思差人就是，可是沒(méi)有口才的人雖然雖不能成為演說(shuō)家，欠缺文思的人雖不能成為文人，他們無(wú)論如何總得會(huì)日常用語(yǔ)，以及書(shū)信，寫(xiě)便條。他們雖然不近天性，但必須努力學(xué)習(xí)起來(lái)，達(dá)到社會(huì)所需最低限度的水準(zhǔn)以上。同樣對(duì)于天生學(xué)不會(huì)數(shù)學(xué)的人也一樣，我們并不是要求大家都成為數(shù)學(xué)家，正如并不是要求大家都成為演說(shuō)家或文人一樣，這讓一部分人去做好了，但我們每個(gè)人必須具備最低限度的數(shù)學(xué)知識(shí)及技能。隨便說(shuō)幾樣，我們必須會(huì)計(jì)算加減乘除，會(huì)比例及簡(jiǎn)單的方程式，會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)易的面積、體積，會(huì)了解并運(yùn)用簡(jiǎn)易的表格及圖解等等。這是社會(huì)所要求每個(gè)人特別是受教育的人中知識(shí)條件的一部分。

2.3不要見(jiàn)了數(shù)字就害怕

為什么有些人會(huì)害怕數(shù)字呢？主要是因?yàn)樗麄儗?duì)數(shù)字不習(xí)慣，并對(duì)這沒(méi)有興趣。他們對(duì)于數(shù)字抱有錯(cuò)誤的概念，認(rèn)為數(shù)字是干枯的、死板的、抽象的東西。他們不知道數(shù)字和文字一樣，可以是死的，呆的，但也可以是活的，有意義的。一篇文章里如果只有“人生于世”、“今天”、“明天”之類的語(yǔ)言，自然誰(shuí)見(jiàn)了都會(huì)頭痛;做算術(shù)習(xí)題如果只做“3+5=8”，也使人久久生厭。可是我們?nèi)绻岬健?018年調(diào)研研究顯示，我國(guó)中小學(xué)兒童青少年總體近視患病率已高達(dá)53.6﹪”，這個(gè)53.6﹪就不是空洞的數(shù)字，而是極有意義的，足以使人警惕。我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的，不是玩弄抽象的數(shù)量，在數(shù)字里面翻筋斗，而是使我們學(xué)習(xí)數(shù)量的關(guān)系及運(yùn)算，并能夠把這些應(yīng)用于實(shí)際方面。雖然我們?cè)跀?shù)學(xué)里常常遇到抽象的數(shù)字，但這些只是供演習(xí)用，等我們演習(xí)的相當(dāng)熟練，就應(yīng)該把數(shù)字和實(shí)際的事物聯(lián)系起來(lái)，同時(shí)也就是把數(shù)學(xué)與生活打成一片。這樣我們不但不害怕數(shù)字，反而更喜歡數(shù)字，數(shù)字也就變得有意義。

3體現(xiàn)數(shù)學(xué)各分科的相互聯(lián)系

數(shù)學(xué)是最有系統(tǒng)最為嚴(yán)密的學(xué)問(wèn)，雖然中等數(shù)學(xué)分為算術(shù)、代數(shù)、幾何、三角等，可是這些分科并不是支離割裂各不相關(guān)的，而是相互關(guān)聯(lián)，互相連帶，成為統(tǒng)一整體的。

我們知道，代數(shù)是普遍化的算術(shù)，而三角是幾何的一個(gè)特殊部門(mén)，所以代數(shù)與算術(shù)，幾何與三角，在相互間有著密切關(guān)系，所以的算術(shù)問(wèn)題都可以用代數(shù)的方法來(lái)做，而有些代數(shù)題也可用于算術(shù)的方法，全部三角在其根本上必須用幾何來(lái)作為證明，而有些幾何題用三角函數(shù)來(lái)解卻更為簡(jiǎn)便。至于代數(shù)與幾何，雖然是一個(gè)研究數(shù)量，一個(gè)研究圖形，表面上看來(lái)似乎是各不相關(guān)的，但數(shù)量與圖形在數(shù)學(xué)中卻是兩種相對(duì)應(yīng)的元素，可以互相表示。這在解析幾何及其他的高等數(shù)學(xué)有詳細(xì)的探討，比如我們學(xué)習(xí)的解析幾何，就是用解析的方法來(lái)研究幾何的圖形。

在初等數(shù)學(xué)里，我們也有好多地方講到圖形與數(shù)量的關(guān)系。比如〖（a+b）〗^2=a^2+2ab+b^2這公式，就可以用一大一小兩個(gè)正方和相等兩個(gè)長(zhǎng)方形合在一起組成一個(gè)更大的正方形來(lái)表示，如圖：

大正方形的面積等于兩個(gè)小正方形的面積加上兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積，平方和公式也就一目了然。

我們既然了解數(shù)學(xué)各分科的聯(lián)系性，就應(yīng)該活學(xué)活用，在研究某一分科的時(shí)候，最好能用別的作為參照，在使用某種方法解答問(wèn)題以后，最好能用別的方法再做一次，這不僅有趣，而且對(duì)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是非常有益的。

結(jié)束語(yǔ)

由于數(shù)學(xué)本身的嚴(yán)謹(jǐn)性，抽像性和廣泛性等特點(diǎn)，學(xué)起來(lái)確實(shí)不那么容易，這就需要一代代數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育者潛心研究和掌握正確的教育思想方法，幫助學(xué)生習(xí)得有效的學(xué)習(xí)方法，并對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際，通過(guò)抽象學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)訓(xùn)練思維，增進(jìn)我們的思維推理能力。通過(guò)對(duì)《算學(xué)學(xué)習(xí)法》的解讀，我們提煉出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法和數(shù)學(xué)教育思想，為我們今后的課堂實(shí)踐有積極的參考和借鑒價(jià)值。

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