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    以形轉(zhuǎn)思,用數(shù)學(xué)的眼光剖析數(shù)學(xué)問題

    2021-01-18 23:35:27陳芳
    關(guān)鍵詞:倍的認識

    陳芳

    【摘? ?要】能剝離出真實問題情境中的數(shù)學(xué)元素,找到這些元素中存在的數(shù)量關(guān)系或空間表現(xiàn)形式,是具備“數(shù)學(xué)眼光”的具體體現(xiàn)。以人教版教材“倍的認識”單元教學(xué)為議題,教師可以從梳理教材、表征關(guān)系、建構(gòu)模型三方面入手,借助“形”的可視性、簡明性、結(jié)構(gòu)性,引導(dǎo)學(xué)生以形轉(zhuǎn)思,用數(shù)學(xué)的眼光剖析問題,讓培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)眼光的目標在課堂教學(xué)中落地。

    【關(guān)鍵詞】以形轉(zhuǎn)思;數(shù)學(xué)的眼光;倍的認識

    “數(shù)學(xué)的眼光”可以看作是一個過程,一個先在真實的問題情境中“剝離”或“去掉”無關(guān)元素,再在剩下的有意義的數(shù)學(xué)元素間建立“聯(lián)系”形成某種數(shù)量關(guān)系或空間形式的過程。要提升“數(shù)學(xué)的眼光”,學(xué)生需要有豐富的、聚焦于“數(shù)量關(guān)系和空間形式”的、在現(xiàn)實與數(shù)學(xué)之間進行思維切換的經(jīng)歷。

    “形”具有形象、直觀的特點,借助“形”理解“數(shù)”,理解“數(shù)量關(guān)系”,是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要方法,這種方法在問題解決的過程中起著舉足輕重的作用。引導(dǎo)學(xué)生依靠“形”的可視性、簡明性、結(jié)構(gòu)性,把現(xiàn)實世界中事物的數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形和圖形關(guān)系抽象為數(shù)學(xué)元素,就是在培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光剖析數(shù)學(xué)問題。

    借助“形”開展教學(xué)符合小學(xué)生形象思維占主導(dǎo)地位的特點。讓學(xué)生經(jīng)歷視覺表征抽象化的過程,符合小學(xué)生由具體形象思維到抽象邏輯思維的思維發(fā)展規(guī)律。同時,“形”更能幫助學(xué)生“看到”知識的結(jié)構(gòu),符合小學(xué)生高階思維和創(chuàng)新思維發(fā)展的需求。

    下面以人教版教材三年級上冊“倍的認識”單元教學(xué)為例,探索借“形”輔“思”,培育學(xué)生“數(shù)學(xué)眼光”的有效路徑。

    一、教學(xué)實踐與思考

    (一)梳理教材,逐級抽象

    研讀教材不難發(fā)現(xiàn),在“倍的認識”單元中,“形”的呈現(xiàn)樣式豐富。教材先后呈現(xiàn)了實物圖、形象圖、線段圖,呈現(xiàn)方式逐級進階,讓學(xué)生借助“形”的變化,經(jīng)歷從現(xiàn)實逐步抽象為數(shù)學(xué)的完整過程。

    該單元共編排了3個例題。例1認識倍,例2解決“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍”的問題,例3解決“求一個數(shù)的幾倍是多少”的問題。所用的圖形素材如圖1。

    例1用生動形象的蘿卜圖引入教學(xué)。通過對蘿卜的分類計數(shù)、圈圖比較,把抽象的新知識“倍”與學(xué)生已經(jīng)掌握的“幾個幾”建立聯(lián)系,引導(dǎo)學(xué)生初步建立“倍”的概念。

    例2呈現(xiàn)的是離散型的小人圖。教材用趨于線段化排列的小人及下面的一條弧線,幫助學(xué)生逐步剝離真實情境,為學(xué)生發(fā)現(xiàn)“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍”的數(shù)量關(guān)系搭建腳手架。

    例3直接采用了線段圖呈現(xiàn)方式。這是教材中第一次出現(xiàn)線段圖,意在借助線段圖讓學(xué)生直觀地發(fā)現(xiàn)“求一個數(shù)的幾倍是多少”中隱含的數(shù)量關(guān)系。

    教學(xué)中,教師要引導(dǎo)學(xué)生借助這些看得見的圖,逐步從真實情境中抽象出相關(guān)的數(shù)學(xué)元素,讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象的進階,培育學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光。

    (二)自主表征,分析關(guān)系

    每個學(xué)生的認知水平和領(lǐng)悟能力不同,因此他們有著不同的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)和思考習(xí)慣。在面對同樣一個問題時,不同的學(xué)生常常會有不同的表征方式。

    在教學(xué)“求一個數(shù)的幾倍是多少”時,可以讓學(xué)生嘗試用圖來表達自己對題目的理解。教師通過組織學(xué)生對各種圖示進行討論、分析、比較和優(yōu)化,引領(lǐng)學(xué)生一步一步去掉問題情境中所有的“真實”,留下有意義的數(shù)學(xué)元素,通過建立這些元素之間的聯(lián)系來分析數(shù)量關(guān)系。

    【教學(xué)片段1】求一個數(shù)的幾倍是多少

    1.教師出示教材情境圖,提出問題:從圖中你得到了哪些數(shù)學(xué)信息?要解決什么問題?

    學(xué)生讀圖后獲取題意:軍棋的價錢是8元,象棋的價錢是軍棋的4倍。象棋的價錢是多少元?

    2.教師請學(xué)生用自己喜歡的方法表征題意。學(xué)生嘗試表征。之后教師呈現(xiàn)學(xué)生作品(如圖2)。

    3.互動交流。

    (1)交流各自畫的圖是否正確表征了題意。

    (2)比較實物圖、符號圖和線段圖,溝通各種表征方法之間的不同點和相同點。

    (3)引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系:把軍棋的價錢8元看作一份,象棋的價錢就是這樣的4份,也就是4個8元,可以用乘法計算。

    從點子圖到符號圖再到線段圖,學(xué)生思維的數(shù)學(xué)化程度越來越高。他們在比較中逐步感受到線段圖比實物圖和符號圖的抽象程度更高,概括度更大。如一條線段可以表示任何的實物,可以表示8元錢、8只乒乓球、8個人……一條線段也可以表示任意的數(shù)量,可以表示8元、800元、8000元……但無論用一條線段表示什么,表示多少,只要用它表示“1份”,用另一條線段表示“幾份”,那么這兩條線段之間的數(shù)量關(guān)系就是1和幾之間的倍數(shù)關(guān)系。知道1份求幾份就是求一個數(shù)的幾倍是多少,也就是幾個幾是多少,用乘法計算。

    經(jīng)歷多元的自主表征過程,有助于學(xué)生深入理解線段圖的作用,在今后解決問題時能主動想到用線段圖幫助理解題意,分析數(shù)量關(guān)系。借助“形”輔助“思”,學(xué)生的感知從模糊慢慢走向清晰,這一過程也就是培育數(shù)學(xué)眼光的過程。

    (三)變式關(guān)聯(lián),建構(gòu)模型

    模型是一種表達形式,數(shù)學(xué)模型是對數(shù)學(xué)內(nèi)容的高度抽象和概括,是對事物本質(zhì)簡練的表達。要建立倍的數(shù)學(xué)模型,需要學(xué)生不斷地借助“形”的變式刻畫數(shù)量關(guān)系,打通數(shù)學(xué)思維的通道。

    【教學(xué)片段2】求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍

    1.教師出示無數(shù)據(jù)有實物的線段圖(如圖3)。先引導(dǎo)學(xué)生獨立思考后交流:“你是怎么想的?”然后結(jié)合圖概括出:將“黃花”看作標準量,2朵為一份,求紅花朵數(shù)是黃花的幾倍,就是求“6朵里面有幾個2朵”,用除法計算。

    2.教師呈現(xiàn)題目:將圖3中的的紅花圖隱去變?yōu)閿?shù)據(jù)“12朵”,問題不變(如圖4)。依舊引導(dǎo)學(xué)生獨立思考后交流:你是怎么想的?請學(xué)生概括出:將“黃花”看作標準量,2朵為1份,現(xiàn)在求的是“12里面有幾個2”,還是用除法計算。

    3.教師將實物全部隱去,變?yōu)閳D5。引導(dǎo)學(xué)生體會,現(xiàn)在圖示表示的依舊是“求一個數(shù)里面有幾個幾”,仍然用除法計算。

    4.教師引導(dǎo)學(xué)生思考并交流“你發(fā)現(xiàn)了什么”,進而得出:不管標準量和比較量怎么變,求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍,就是“求一個數(shù)里面有幾個幾”,用除法計算。

    在以上教學(xué)過程中,學(xué)生通過“變式”判斷標準量,加深了對倍的認識,從除法角度建構(gòu)了倍的概念。在動態(tài)演示改變“標準量”或“比較量”的過程中,學(xué)生可以看到圖形某些部分發(fā)生的變化,從而更好地理解“一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍”中,這個表示“率”的“幾”發(fā)生變化,“倍”也隨之改變。

    【教學(xué)片段3】求一個數(shù)的幾倍是多少

    1.教師出示圖6,請學(xué)生編一個數(shù)學(xué)問題。

    教師追問:“你怎么知道草莓的個數(shù)是蘋果的3倍?”引導(dǎo)學(xué)生清晰地表達:以表示蘋果的這條線段為1份,這樣有3段就是3份。讓學(xué)生了解這是一個隱藏信息。

    2.學(xué)生列式:3×8=24(個)。教師引導(dǎo)交流:“你是怎么想的?”讓學(xué)生認識到求草莓的個數(shù),就是求3個8是多少。

    3.教師繼續(xù)呈現(xiàn)題目:如果上面這條線段表示10個或者100個蘋果,你還會求草莓的個數(shù)嗎(如圖7)?通過交流讓學(xué)生進一步體會求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍,就是求幾個幾是多少。線段圖表示的關(guān)系,符合乘法的意義。

    在教學(xué)“一個數(shù)的幾倍是多少”時,教師通過詢問“為什么求草莓的個數(shù)都是用乘法解決”,幫助學(xué)生從“形”中提取數(shù)學(xué)信息“3份”,進而明確題目表達的就是求一個數(shù)的3倍是多少。通過溝通乘法的意義,深入理解“求一個數(shù)的幾倍”就是“求幾個幾是多少”。借助“形”的變式和題組對比練習(xí),可以幫助學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系,構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。

    在建模的過程中,學(xué)生不斷打破固有思維,發(fā)展創(chuàng)新思維,數(shù)學(xué)的眼光得到了培育。

    二、教學(xué)感悟與剖析

    “數(shù)學(xué)眼光”是一種素養(yǎng),是數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)追求的育人方向。

    (一)借助“形”的可視性,引導(dǎo)學(xué)生用直觀化的數(shù)學(xué)眼光感知世界

    在“倍的認識”教學(xué)中,教師充分發(fā)揮了圖示的作用。從實物圖到形象圖再到線段圖,學(xué)生在圖示的幫助下,經(jīng)歷了從形象到抽象的思維轉(zhuǎn)換過程。取得了較好的教學(xué)效果。

    其實,教材在正式呈現(xiàn)線段圖前,已經(jīng)呈現(xiàn)過豐富的線段圖的“雛形”。如二年級上冊“求比一個數(shù)多幾的數(shù)是多少”中的長方條圖,二年級下冊“混合運算解決問題”中的色條圖,等等。教材展示的是一個從實物到圖形,逐步抽象、螺旋上升的過程,學(xué)生的思維也隨之從形象到抽象不斷進階。教材在呈現(xiàn)線段圖以后,依舊沒有大量使用,而是交替使用實物圖(碗圖)、線段圖、離散型的符號圖等多種圖形進行表征,給學(xué)生呈現(xiàn)一個抽象延時化的過程。經(jīng)歷這個過程,學(xué)生能更直觀地感知數(shù)學(xué)問題,從而真正感悟到其中蘊含的數(shù)學(xué)知識本質(zhì)。不同圖示交替出現(xiàn)一段時間后,教材才逐步過渡到在解決問題中用線段圖來分析數(shù)量關(guān)系。

    這提示我們,借助“形”的可視性,能幫助學(xué)生去掉無關(guān)信息,化繁為簡,用直觀化的數(shù)學(xué)眼光去感知世界。但教學(xué)不能急于求成,學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光是在一次一次經(jīng)歷中逐步發(fā)展的。

    (二)借助“形”的簡明性,啟發(fā)學(xué)生用抽象化的數(shù)學(xué)眼光理解世界

    在問題解決的過程中,不同思維層次學(xué)生的表征是不一樣的。波利亞在“怎樣解題表”中提出很多類似“畫張圖”“引入適當(dāng)?shù)姆枴薄澳隳懿荒苤匦聰⑹鲞@個問題”“你能不能用不同的方法重新敘述它”這樣的要求。將一個真實、復(fù)雜、模糊的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)譯成各種圖形,可以幫助學(xué)生直觀感知問題,透析關(guān)系實質(zhì),對比疑難問題,并在這一過程中積累一定的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗。

    借助“形”的簡明性,能幫助學(xué)生認識事物的屬性及聯(lián)系,探尋事物的本質(zhì)及規(guī)律,學(xué)習(xí)用抽象化的數(shù)學(xué)眼光理解世界。

    (三)借助“形”的結(jié)構(gòu)性,培育學(xué)生用模型化的數(shù)學(xué)眼光洞察世界

    線段圖以其“形”的結(jié)構(gòu)性輔助學(xué)生進行直觀理解、直觀想象、直觀推理和直觀分析。在建模的過程中,學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到了進階式的提升與鍛煉。借助“形”的結(jié)構(gòu)性,可以幫助學(xué)生用“模型化”的數(shù)學(xué)眼光洞察世界。

    實踐表明,以形轉(zhuǎn)思、以形促思,是讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光剖析數(shù)學(xué)問題,促進其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提升的有效手段。

    (浙江省慈溪市南門小學(xué)? ?315300)

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