模糊值函數(shù)的R-S積分和廣義Hukuhara微分

亢琳 郭元偉

【摘要】借助于區(qū)間值函數(shù)（RS）積分，給出模糊值函數(shù)Riemann-Stieltjes積分的概念，討論其性質(zhì)。定義模糊值函數(shù)關(guān)于實值增函數(shù)g（x）的廣義Hukuhara微分，研究模糊Riemann-Stieltjes積分的原函數(shù)性質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】模糊值函數(shù);模糊Riemann-Stielties積分;廣義Hukuhara微分

〔中圖分類號〕O159 〔文獻(xiàn)標(biāo)識碼〕A 〔文章編號〕1674-3229（2021）04- 0015-04

0 引言

模糊分析學(xué)理論已取得較豐富研究成果[1]，其中關(guān)于模糊值函數(shù)的微積分已有很多研究[2-8]。文獻(xiàn)[2-3]分別給出了模糊Henstock積分和模糊Henstock-Stieltjes積分，并討論了相應(yīng)積分的線性性質(zhì)、區(qū)間可加性、單調(diào)性及積分原函數(shù)存在的必要條件。WuHsein-chung[5]給出了模糊值Rie-mann-Stieltjes積分的定義，由于文獻(xiàn)[5]中的定義過于復(fù)雜，吳從忻等[6]于2006年重新定義了模糊Riemann-Stieltjes積分，闡述了積分性質(zhì)和模糊值函數(shù)可積的充分必要條件，并進(jìn)一步擴(kuò)展和豐富了積分性質(zhì)和積分序列的收斂問題L7，8]。為進(jìn)一步完善模糊微積分理論，文獻(xiàn)[9]、[10]分別研究了集值函數(shù)Riemann-Stieltjes積分和基于結(jié)構(gòu)元的模糊值函數(shù)Riemann-Stieltjes積分。眾所周知，模糊數(shù)水平截集的長度單調(diào)遞增是模糊數(shù)H差存在的必要條件。B.Bede等[11]于2005年提出的模糊值函數(shù)的強(qiáng)廣義微分較好地擴(kuò)展了模糊數(shù)H差的存在性，與此同時，L.Stefanini[12]給出了更加簡潔的廣義H差，借助于廣義H差文獻(xiàn)[13，14]研究了模糊值函數(shù)的廣義微分和一階線性微分方程的解?；谏鲜隹紤]，本文借助于區(qū)間值函數(shù)（RS）積分的性質(zhì)，首先給出了模糊值函數(shù)Riemann-Stieltjes積分的概念，討論了其性質(zhì);其次，定義了模糊值函數(shù)關(guān)于實值增函數(shù)g（x）的廣義Hukuhara微分，研究了模糊Rie-mann-Stieltjes積分的原函數(shù)性質(zhì)。

1 定義及說明

記RF為實數(shù)集R上的全體模糊數(shù)。對于u∈RF，如果u是正規(guī)的、凸的、上半連續(xù)的，且支撐集[u]o = {x∈R|u（x）>]緊，則稱u為模糊數(shù)[1，2]。設(shè)u，V∈RF，u與v之間的距離定義為[1-3]：

4 結(jié)論

本文借助于區(qū)間值函數(shù)Riemann-Stieltjes積分的性質(zhì)，首先定義了模糊值Riemann-Stieltjes積分，研究了相關(guān)性質(zhì)。其次給出了關(guān)于實值增函數(shù)g（x）的廣義Hukuhara微分。值得一提的是當(dāng)g（x）退化為x時上述微分就是B.Bede所定義的Hukuhara微分。盡管如此，關(guān)于廣義Hukuhara微分的結(jié)果仍需進(jìn)一步討論，后期將對線性微分方程和非線性微分方程的解做進(jìn)一步研究。

[參考文獻(xiàn)]

[1]吳從炘，馬明.模糊分析學(xué)基礎(chǔ)[M].北京：國防工業(yè)出版社，1991：56-92.

[2]Wu Cong-xin，Gong Zeng-tai.On Henstock Integral offuzzy-number-valued functions（1）[J].Fuzzy Sets and Sys-tems，2001，120（3）：523-532.

[3]鞏增泰，王亮亮.模糊數(shù)值函數(shù)的Henstock-Stieltjes積分[J].蘭州大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2010，46（4）：89-96.

[4]Gong Zeng-tai，Wang Liang-liang.The Henstock-Stieltjesintegral for fuzzy-number-valued functions[J].InformationSciences，2012（188）：176-297.

[5]Wu Hesien-chung.The fuzzy Riemann-Stieltjes integral[J].International Journal of Uncertainty，F(xiàn)uzziness and Knowl-edge-Based Systems，1988，6（1）：51-67.

[6]Ren Xue-kun，Wu Cong-xin，Zhu Zhi-gang.A new kind offuzzy Riemann-Stieltjes integral[C].Proceedings of 2006International Conference on Machine Learning and Cyber-netics.Los Alamitos：IEEE Computer Society Press，2006：1885-1888.

[7]Ren Xue-kun，Wu Cong-xin，Zhu Zhi-gang.On the fuzzyRiemann-Stieltjes integral[J].Dynamics of Continuous，Discrete and Impulsive Systems，A Supplement，Advance inNeural Networks，2007（14）：728-732.

[8]任雪昆.非可加測度與模糊Riemann-Stieltjes積分[D].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2008.

[9]薛紅，王拉省.集值函數(shù)關(guān)于實值單調(diào)非減函數(shù)的集值Riemann-Stieltjes積分[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報2006 （23）：305-313.

[10]郭元偉，呂振偉，閆喜紅.基于結(jié)構(gòu)元的模糊值函數(shù)R-S積分[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2021，51（8）：219-226.

[11]B.Bede，S.G.Gal.Generalizations of the differentiabilityof fuzzy-number-valued functions with applications tofuzzy differential equations[J].Fuzzy Sets and Systems，2005（151）：581-599.

[12]L.Stefanini.A generalization of Hukuhara difference anddivision for interval and fuzzy arithmetic[J].Fuzzy Setsand Systems，2010（161）：1564-1584.

[13]Y.Chalco-Cano，H.Romdn-Flores.On new solutions offuzzy differential equations[J].Chaos，Solitons and Frac-tals，2008（38）：112-119.

[14]A.Khastan，J.J.Nicto，Rosana Rodriguez-Lopez.Variationof constant formula for first order fuzzy differential equations[J].Fuzzy Sets and Systems，2011（177）：20-33.

[收稿日期]2021-07-10

[作者簡介]

[作者簡介]亢琳（1984-），女，江蘇師范大學(xué)科文學(xué)院講師，研究方向：模糊分析學(xué)及其應(yīng)用。

[通訊作者]郭元偉（1983-），男，碩士，太原學(xué)院數(shù)學(xué)系講師，研究方向：模糊分析學(xué)及其應(yīng)用。