幾何直觀能力發(fā)展“四步”

方芳

[摘 要]幾何直觀就是運用圖形的直觀性來作為解決抽象問題的有力武器。幾何直觀能力包括空間想象力、數(shù)形轉(zhuǎn)化能力、讀圖能力和畫圖能力，對這些能力的培養(yǎng)需要經(jīng)過“孕育→過渡→發(fā)育→爆發(fā)”這四步。

[關(guān)鍵詞]幾何直觀能力;孕育;過渡;發(fā)育;爆發(fā)

[中圖分類號] G623.5 [文獻標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2021）35-0067-02

“幾何”既可以作為研究對象，也可以作為一種研究工具，幾何直觀就是運用圖形的直觀性來作為解決抽象問題的有力武器，它本質(zhì)上和實物直觀相同，但是又要比實物直觀抽象一些，它會將數(shù)學(xué)信息符號化。需要注意的是，運用幾何直觀并不是只能研究幾何問題，許多復(fù)雜難解的代數(shù)問題也可以通過幾何直觀反映得清清楚楚，清晰明了。基于以上認識，筆者將“幾何直觀”能力進行科學(xué)分層，具體如圖1所示。

幾何直觀就是將幾何圖形作為研究問題的思想工具，既然是工具，學(xué)生就要對它的構(gòu)造、功能、用法、操作程序非常熟悉。作為一種靠線條組裝起來的特殊工具，“用戶”的空間想象能力就成了必備技能。此外，數(shù)形轉(zhuǎn)換能力是幾何直觀能力的基本功，即需將代數(shù)問題轉(zhuǎn)換成圖形語言，不僅如此，在具體操作時，代數(shù)語言和圖形語言是要交互循環(huán)印證的，所以，需要學(xué)生具備雙向互譯的能力。

讀圖能力和畫圖能力是幾何直觀能力的兩大支柱。前者指的是借助圖形語言來理解原問題，后者則是將自己對原問題的分析思路與解答過程用幾何圖形記錄下來。幾何直觀能力含義豐富、結(jié)構(gòu)宏大，因此，學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)與形成必須循序漸進、步步為營。筆者簡略將其分為四步：孕育→過渡→發(fā)育→爆發(fā)，每一步都各有偏重。本文嘗試結(jié)合教學(xué)實踐來一一解說這四步的“基本步法”。

一、孕育階段——直觀學(xué)具的初步抽象化處理

小學(xué)生的幾何直觀能力主要在一、二年級孕育發(fā)展。這個年齡段的學(xué)生以動作思維、形象思維為主，因此，數(shù)學(xué)教學(xué)大量采用直觀法。但此時的直觀教學(xué)主要還停留在學(xué)具、圖片、符號等稚拙載體的使用階段，離簡明精巧的幾何直觀還有一段距離。因而適度進行抽象，由實物、符號直觀慢慢向圖形直觀靠攏轉(zhuǎn)型，非常有必要。

例如，教學(xué)人教版教材第二冊中的“100以內(nèi)數(shù)的認識”時，教材運用曲別針、小棒、小木塊等實物來演示數(shù)的組成，揭示計數(shù)單位。這是通過實物來達到直觀認識數(shù)的目的，因而可以歸為實物直觀。從幾何直觀的視域來看，這三種學(xué)具中哪一種更具向幾何直觀轉(zhuǎn)型的可塑性？先看曲別針，“10個曲別針一小堆”“100個曲別針一大堆”分別代表著計數(shù)單位“十”和“百”;再看小棒，則是“10根一小捆”“100根一大捆”;最后看小木塊，1個小木塊代表計數(shù)單位“一”，10個小木塊一字排開，代表計數(shù)單位“十”，再將這樣的10排縱向擺開，代表計數(shù)單位“百”。如果僅局限于這一課時的教學(xué)目標(biāo)，三者相差無幾，但是如果從后續(xù)培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀的戰(zhàn)略部署來考量，顯然小木塊更符合要求。因為小木塊的組接方式生動形象地展現(xiàn)了“點—線—面”的幾何圖形特征，可以說，在某種程度上小木塊具備了幾何直觀的抽象性，并為進一步認識計數(shù)單位“千”（體）埋下伏筆（如圖2）。這樣具有關(guān)聯(lián)性和延續(xù)性的組接方式，為計數(shù)單位與幾何模型搭建了溝通的橋梁，從而促進學(xué)生幾何直觀能力的發(fā)展。

二、過渡階段——注重幾何操作經(jīng)驗的積累

“幾何直觀”需要不斷地進行直觀操作或直觀認讀，積累直觀表象反復(fù)刺激帶來的固定思維。數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗分為操作經(jīng)驗和思維經(jīng)驗，兩者必須通過長期重復(fù)的數(shù)學(xué)活動才能獲得。

小學(xué)階段的圖形學(xué)習(xí)，要么采用直觀幾何的方式，要么采用實驗幾何的方式，前者通過觀察、測量了解圖形的特征，后者通過觸摸、翻轉(zhuǎn)、拆卸、拼裝等途徑來了解立體圖形的特征。其中，平面圖形（如線段、直線、射線、角、多邊形等）的認識主要集中在三、四年級，這正是幾何直觀能力發(fā)展的過渡階段。教學(xué)中，一方面要堅持“觀察、拼搭、折疊、勾畫”等手工操作，幫助學(xué)生積累實踐經(jīng)驗;另一方面，要強調(diào)描畫聯(lián)想和描述解說，一步步將學(xué)生的實踐經(jīng)驗轉(zhuǎn)為思維經(jīng)驗。

下面，以“三角形的內(nèi)角和”的教學(xué)為例：

通常來講，探究三角形內(nèi)角和有三大方法：（1）先用刻度尺直接測量三個內(nèi)角的大小，再求和;（2）切割同一個三角形的三個內(nèi)角，重組成一個平角;（3）通過翻折，將同一個三角形的三個內(nèi)角拼湊成一個平角。

顯然，這三種研究方法都屬于實踐操作類型，其說服力不如幾何論證，因為操作本身存在誤差，而且還會受到材質(zhì)的影響。但筆者還是支持動手實踐，因為結(jié)果是否有誤差不重要，結(jié)論是否順利得出也不重要，重在過程，重在學(xué)生從實踐活動中積累的活動經(jīng)驗以及感性認知。沿著這個教學(xué)方針，可以綜合三種方法的優(yōu)勢，采用幾何作圖的方法（如圖3），設(shè)法將三個內(nèi)角拼裝起來，體現(xiàn)“求和”的思想。這樣，實踐經(jīng)驗就成功轉(zhuǎn)變?yōu)樗季S經(jīng)驗，為初中的幾何證明打下基礎(chǔ)。

三、發(fā)育階段——關(guān)注幾何直觀意識的培養(yǎng)

通常，進入小學(xué)四年級，學(xué)生的幾何直觀能力開始發(fā)育。這是因為一方面學(xué)生的幾何知識日趨豐富，另一方面，數(shù)學(xué)知識的抽象性與日俱增，理解起來愈加依賴直觀形象的佐證。為了順應(yīng)學(xué)生思維能力的發(fā)展趨勢，此時直觀材料由實物變?yōu)閳D形，在這個階段，教師要有意識地滲透幾何直觀的運用意識，也就是要誘導(dǎo)和督促學(xué)生用幾何直觀分析問題，讓學(xué)生看到幾何直觀的巨大價值和運用前景。

如學(xué)習(xí)“異分母分數(shù)加、減法”時，對于算式[12]+[25]，學(xué)生一般會出現(xiàn)以下幾種算法：（1）[12]+[25]=[37];（2）[12]+[25]= [510]+[410]=[910];（3）[12]+[25]=0.5+0.4=0.9。在這里，理解通分的必要性是難點，它與整數(shù)加減法中的“相同計數(shù)單位累加”一脈相承，如果要用幾何直觀解釋的話，“分數(shù)墻”（如圖4）是再好不過的。從圖4中能直觀看出，由于每一個“分數(shù)條”的長短和面積不同，無法直接縱向合并成一個新的分數(shù)條，每個分數(shù)條代表一個計數(shù)單位，所以不同分數(shù)單位不能直接相加減。

進一步指示學(xué)生在“墻壁”上搜尋與[12]和[25]等值的分數(shù)，發(fā)現(xiàn)1個[12]等同于5個[110]，2個[15]等同于4 個[110]，由于兌換成的新分數(shù)條的大小相同，所以可以直接累計分數(shù)條的個數(shù)，而轉(zhuǎn)化為小數(shù)再計算，與通分是一個道理。

四、爆發(fā)階段——關(guān)注數(shù)形之間的轉(zhuǎn)換訓(xùn)練

五、六年級學(xué)生的幾何直觀能力進入爆發(fā)期。此時學(xué)生需要具備強大的數(shù)形轉(zhuǎn)換能力。數(shù)形轉(zhuǎn)換，也就是數(shù)與形互通互譯。教學(xué)中，一方面適當(dāng)?shù)丶哟髨D形化的力度，如頻繁進行“看圖寫數(shù)（式）”“看數(shù)（式）畫圖”的操作等;另一方面，通過操作活動實現(xiàn)數(shù)形互換互轉(zhuǎn)。如“正方形數(shù)”的認識，先呈現(xiàn)圖5，指引學(xué)生觀察并思索：以下點陣圖各自代表什么數(shù)字？點陣圖的排列有何規(guī)律？通過討論交流，明確這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”。再通過進一步的圖形推演（分點或連點）自主創(chuàng)建“正方形數(shù)”的不同形式的數(shù)學(xué)模型，如構(gòu)建完全平方數(shù) n2;表示為從1開始的連續(xù)奇數(shù)之和：1+3+5+…+ n;構(gòu)建“回”字形結(jié)構(gòu)：4+3+3+2+2+1+1;設(shè)計為兩個“三角形數(shù)”之和：1+2+3+…+ n +…+3+2+1。（如圖6）

像“三角形數(shù)”“正方形數(shù)”等都是帶有明顯幾何特性的數(shù)，巧用這樣的素材來勾連數(shù)形之間的關(guān)系，反復(fù)在數(shù)與形之間來回切換，對發(fā)展學(xué)生的幾何想象力、揭示數(shù)形之間的親密關(guān)系意義重大。

值得警惕的是，就整體而言，小學(xué)生的幾何直觀能力是強弱不均的;就個體而言，其發(fā)展也是曲折回旋的。因此，本文提到的“四步”只是一個大概的劃分，沒有具體的分隔線，但是其發(fā)展變化的規(guī)律還是明確的，不同階段培養(yǎng)的策略各有偏重。事實上，受到學(xué)生年齡和學(xué)科內(nèi)容的限制，小學(xué)生的幾何直觀能力尚處初級階段，但基本幾何知識的掌握、活動經(jīng)驗的汲取、幾何直觀意識的形成必定能為學(xué)生未來的發(fā)展打好根基。

（責(zé)編 羅 艷）