以建模思想改進(jìn)分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題教學(xué)

虞敏

[摘 要]分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題在小學(xué)六年級(jí)解決問(wèn)題教學(xué)乃至整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)解決問(wèn)題教學(xué)中都是重點(diǎn)和難點(diǎn)。分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題因其數(shù)量關(guān)系抽象，致使學(xué)生不易掌握，甚至無(wú)從下手。教師要抓住分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的起點(diǎn)，也就是意義教學(xué)，明確知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生用建模的思想去解分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，使得課堂教學(xué)更高效。

[關(guān)鍵詞]建模思想;分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題;教學(xué)現(xiàn)狀;教學(xué)建議

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2021）35-0023-03

分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的教學(xué)是小學(xué)解決問(wèn)題教學(xué)的難點(diǎn)，對(duì)此不少教師給出了解分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的簡(jiǎn)單方法：如果單位“1”已知，用乘法計(jì)算;如果單位“1”未知，則用除法計(jì)算。剛接觸時(shí)，因?yàn)橛辛嗣鞔_的指向，學(xué)生做題時(shí)不假思索，正確率也比較高。但教學(xué)完分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，進(jìn)行分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題綜合訓(xùn)練時(shí)，學(xué)生做題的正確率欠佳?；谶@些教學(xué)現(xiàn)狀，筆者運(yùn)用建模思想改進(jìn)分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的教學(xué)，首先選擇了兩個(gè)班進(jìn)行教學(xué)實(shí)驗(yàn)，一個(gè)班是傳統(tǒng)的分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)教學(xué)（普通班），另一個(gè)班是用建模思想進(jìn)行分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)教學(xué)（實(shí)驗(yàn)班）。現(xiàn)根據(jù)兩個(gè)班分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的一些教學(xué)實(shí)例和抽測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比情況，談?wù)劰P者對(duì)用建模思想進(jìn)行分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題教學(xué)的一些認(rèn)識(shí)和體會(huì)。

一、 分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題教學(xué)的教學(xué)現(xiàn)狀

（一）分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的知識(shí)來(lái)源

分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)解決問(wèn)題是由倍數(shù)問(wèn)題發(fā)展過(guò)來(lái)的，兩數(shù)a與b，當(dāng)a與b的比值大于1的時(shí)候，我們就說(shuō)a是b的幾倍;當(dāng)a與b的比值大于0而小于1的時(shí)候，就說(shuō)成a是b的幾分之幾?？梢?jiàn)，分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題是由整數(shù)倍數(shù)關(guān)系解決問(wèn)題擴(kuò)展而來(lái)的，它們的關(guān)系可以串成一條線： 用整數(shù)倍數(shù)關(guān)系解決問(wèn)題 →用分?jǐn)?shù)解決問(wèn)題? → 用百分?jǐn)?shù)解決問(wèn)題。整數(shù)倍關(guān)系解決問(wèn)題的教學(xué)目標(biāo)落實(shí)到位與否，將直接影響學(xué)生分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的學(xué)習(xí)。

（二）分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題教學(xué)的現(xiàn)狀分析

在舊教材中，分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題教學(xué)為33課時(shí)，均獨(dú)立設(shè)置一個(gè)單元去學(xué)習(xí)，安排了11道例題，并且每個(gè)例題后面安排了專門對(duì)應(yīng)的練習(xí)課。而新教材僅安排了17課時(shí)，而且在分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)計(jì)算教學(xué)后面只安排7道例題，并且沒(méi)有對(duì)應(yīng)的練習(xí)，其練習(xí)穿插在后面的復(fù)習(xí)中，因此分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)教學(xué)任務(wù)就更難、更重。伴隨著這些變化，教師在教分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的過(guò)程中出現(xiàn)了兩個(gè)不可小覷的問(wèn)題。

1.注重結(jié)果，輕視理解

對(duì)于分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的教學(xué)，教師往往會(huì)給學(xué)生歸納“如果單位‘1’已知，用乘法計(jì)算;如果單位‘1’未知，則用除法計(jì)算”，疏于學(xué)生理解意義的過(guò)程。

在教學(xué)“用分?jǐn)?shù)乘法解決問(wèn)題”這一課時(shí)，傳統(tǒng)的教學(xué)方法就是簡(jiǎn)單地圍繞“單位‘1’已知，用乘法去計(jì)算”來(lái)展開(kāi)教學(xué)，效果似乎很好。但在教學(xué)了用分?jǐn)?shù)乘法解決問(wèn)題第二課時(shí)后，筆者對(duì)兩個(gè)班的學(xué)生進(jìn)行了測(cè)試，普通班的正確率是85.1%，實(shí)驗(yàn)班的正確率是88.3%。筆者詢問(wèn)普通班的學(xué)生為什么這樣列式，很多學(xué)生都尷尬一笑，看來(lái)是遺忘了分?jǐn)?shù)乘法是從整數(shù)乘法而來(lái)：“已知一個(gè)數(shù)，求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少？”就是“求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”。例如，題目“一杯約250毫升的鮮牛奶大約含有3/10克鈣，喝了1/2杯牛奶，攝入多少克鈣？”中有一個(gè)量是多余的，學(xué)生由于對(duì)數(shù)量之間的關(guān)系沒(méi)有理解到位，也沒(méi)能形成解決問(wèn)題的有效策略，很多學(xué)生解答為“250×3/10=75（克），75×1/2=37.5（克）”，導(dǎo)致錯(cuò)誤。這個(gè)時(shí)候兩個(gè)班的正確率就出現(xiàn)了差距，普通班的正確率是42.1%，實(shí)驗(yàn)班的正確率是75.3%。面對(duì)新的問(wèn)題，傳統(tǒng)教學(xué)所教出來(lái)的學(xué)生往往是茫然而束手無(wú)策。

2.注重類型，輕視體系

在解決問(wèn)題的教學(xué)中，許多教師由于對(duì)整體目標(biāo)的不明確，在某些課時(shí)中過(guò)于注重專題類的教學(xué)，陷入“教師教應(yīng)用題，學(xué)生練應(yīng)用題”的模式，而忽視了每一節(jié)課在整個(gè)教學(xué)體系中的作用：教分?jǐn)?shù)乘法解決問(wèn)題時(shí)沒(méi)有聯(lián)系整數(shù)乘法應(yīng)用題的含義，教分?jǐn)?shù)除法解決問(wèn)題時(shí)就讓學(xué)生用算術(shù)解，百分?jǐn)?shù)解決問(wèn)題教學(xué)沒(méi)有與分?jǐn)?shù)聯(lián)系……學(xué)生感覺(jué)到解決問(wèn)題的類型讓人眼花繚亂。

對(duì)于這些有前后聯(lián)系的內(nèi)容，教師教學(xué)前一定要好好鉆研教材，清楚該課在整冊(cè)教材，乃至小學(xué)六年的教材中所處的位置，了解新知的來(lái)龍去脈，明確其中包含的數(shù)學(xué)思想方法。例如 “用分?jǐn)?shù)除法解決問(wèn)題”這節(jié)課是學(xué)生在知道了用分?jǐn)?shù)乘法解決問(wèn)題和分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，能為后面用百分?jǐn)?shù)解決問(wèn)題打下重要的基礎(chǔ)，但有些教師教學(xué)時(shí)只關(guān)注了用分?jǐn)?shù)除法算術(shù)解，沒(méi)有關(guān)注分?jǐn)?shù)乘除法的聯(lián)系。對(duì)此，在學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)束后，筆者給出了一道檢測(cè)題“六年級(jí)男生有80人，男生人數(shù)比女生的4/5多4人，請(qǐng)問(wèn)六年級(jí)女生有幾人？”。這道題如果用分?jǐn)?shù)除法去解決，學(xué)生要進(jìn)行兩次逆向思考，難度可想而知，而兩個(gè)班的數(shù)據(jù)正好能說(shuō)明一切，普通班的正確率是32.6%，實(shí)驗(yàn)班的正確率是75.8%。其實(shí)用分?jǐn)?shù)除法解決問(wèn)題可以歸納到用分?jǐn)?shù)乘法解決問(wèn)題，當(dāng)單位“1”未知時(shí)，設(shè)其為未知數(shù)，順著數(shù)量關(guān)系就可以解決了，讓學(xué)生用同一個(gè)數(shù)學(xué)模型去解決不同的問(wèn)題，能達(dá)到事半功倍的效果，何樂(lè)而不為呢？

二、分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題教學(xué)改進(jìn)的建議

抓意義教學(xué)，建立分?jǐn)?shù)模型，以建模思想統(tǒng)一分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)問(wèn)題的解題思路，提高解決分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的教學(xué)質(zhì)量。對(duì)于分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，教師可以緊緊圍繞“單位‘1’的量×分率=分率所對(duì)應(yīng)的量”這個(gè)數(shù)量關(guān)系去教學(xué)：如果單位“1”已知，可以根據(jù)這個(gè)數(shù)量關(guān)系解題;如果單位“1”未知，可以把單位“1”設(shè)為未知數(shù)，再根據(jù)這個(gè)數(shù)量關(guān)系解題。學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中就能逐步形成自己的解題思路，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型思想，提高解題能力。例如，對(duì)于“用分?jǐn)?shù)除法解決問(wèn)題”，可利用知識(shí)的遷移，將用分?jǐn)?shù)乘法解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型遷移到用分?jǐn)?shù)除法解決問(wèn)題，這樣不但能對(duì)前一段的知識(shí)進(jìn)行有效的延伸，還能在學(xué)生的心中建立一個(gè)清晰的脈絡(luò)，同時(shí)為以后用百分?jǐn)?shù)解決問(wèn)題打下基礎(chǔ)，效果顯著。

（一）緊抓意義教學(xué)，建立分?jǐn)?shù)模型

分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)解決問(wèn)題教學(xué)的基礎(chǔ)是用分?jǐn)?shù)乘法解決問(wèn)題，如果在教學(xué)中沒(méi)有突破這個(gè)點(diǎn)，就會(huì)導(dǎo)致分?jǐn)?shù)解決問(wèn)題教學(xué)越來(lái)越難。抓意義教學(xué)，就是為后面的建立分?jǐn)?shù)模型做準(zhǔn)備，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)后續(xù)有關(guān)內(nèi)容時(shí)有所依靠，使學(xué)生更加明白分?jǐn)?shù)解決問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系。

【意義教學(xué)片段1】

出示題目：根據(jù)線段圖說(shuō)出分?jǐn)?shù)關(guān)系句。

[女生人數(shù)：

男生人數(shù)：][ ][ ]

師：在這幅圖中，能看出男生和女生之間有怎樣的關(guān)系嗎？把關(guān)系句寫下來(lái)。

生1：男生人數(shù)是女生的4/5。

師：把誰(shuí)當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)量也就是單位“1”？誰(shuí)跟誰(shuí)比？

生2：女生人數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)量，是男生人數(shù)與女生人數(shù)比。

師：數(shù)量關(guān)系式怎么列？

生3：女生人數(shù)×4/5=男生人數(shù)。

師：還可以怎么表述這幅線段圖？

生4：女生人數(shù)是男生的5/4。

生5：女生人數(shù)比男生多1/4。

生6：男生人數(shù)比女生少1/5。

師：這幾句話區(qū)別是什么？

……

【思考】

讀懂題目的意思是解題的第一步，也是比較關(guān)鍵的一步。教師要引導(dǎo)學(xué)生讀懂題目，審清題意，領(lǐng)會(huì)題目所給的信息，使學(xué)生初步從整體上把握數(shù)量關(guān)系。為了幫助學(xué)生深刻理解信息中的數(shù)量關(guān)系，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目中的信息進(jìn)行延伸，即使有不同的表達(dá)方式，但都表示同一個(gè)意思。

【意義教學(xué)片段2】

出示題目：根據(jù)關(guān)系句畫(huà)線段圖。

（1）倉(cāng)庫(kù)里梨的質(zhì)量是蘋果的4/5;

（2）修一條路，已經(jīng)完成了全長(zhǎng)的1/3;

（3）貨車的速度比客車慢1/4;

（4）蘋果的價(jià)格比西瓜貴1/2。

師：說(shuō)說(shuō)第（3）題是怎么畫(huà)的？

生1：關(guān)系句是說(shuō)貨車的速度和客車的速度比，那就以客車的速度為單位“1”，先畫(huà)一條線段來(lái)表示，把客車的速度平均分成四份;也畫(huà)一條線段表示貨車的速度，因?yàn)樨涇嚨乃俣缺瓤蛙嚨穆?/4，也就是說(shuō)少一份，貨車只有這樣的三份。

師：生1的這幅線段圖還可以怎么表述？

生2：貨車的速度是客車的3/4。

生3：客車的速度比貨車快1/3。

生4：客車的速度是貨車的4/3。

生5：貨車與客車的速度比是3∶4。

……

【思考】

教師讓學(xué)生用線段圖清楚表示分?jǐn)?shù)關(guān)系句中數(shù)量之間的關(guān)系，如果出現(xiàn)錯(cuò)誤，再讓學(xué)生根據(jù)關(guān)系句之間的關(guān)系進(jìn)行調(diào)整。借助線段圖分析分?jǐn)?shù)關(guān)系句，這是解答分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的解題策略，特別在復(fù)雜的分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中，數(shù)量關(guān)系比較多，用線段圖能使分?jǐn)?shù)關(guān)系句中的數(shù)量關(guān)系清晰可見(jiàn)，有了形的支撐，數(shù)就變得不抽象了。

（二）利用數(shù)學(xué)模型，突破分?jǐn)?shù)難點(diǎn)

數(shù)學(xué)建模思想的重點(diǎn)是教學(xué)生用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和符號(hào)來(lái)表達(dá)實(shí)際問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的思想和方法解決實(shí)際問(wèn)題。數(shù)學(xué)建模教學(xué)使學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法與周圍的現(xiàn)實(shí)世界聯(lián)系起來(lái)，針對(duì)一個(gè)個(gè)陌生的實(shí)際問(wèn)題所建立起的數(shù)學(xué)模型，能讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中經(jīng)歷認(rèn)識(shí)和總結(jié)的過(guò)程。分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題都是同一個(gè)數(shù)量關(guān)系，教師可以緊緊圍繞“單位‘1’的量×分率=分率所對(duì)應(yīng)的量”這個(gè)數(shù)學(xué)模型去教學(xué)，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)有所依靠。

【建模教學(xué)片段1】

出示題組練習(xí)：（連線）

A.20÷4/5

（1）六（1）班男生有20人，女生人數(shù)是男生的5/4，女生有幾人？ B.20÷（1-1/5）

（2）六（1）班男生有20人，男生人數(shù)是女生的4/5，女生有幾人？ C.20×5/4

（3）六（1）班男生有20人，女生人數(shù)比男生多1/4，女生有幾人？? ? ?D.（1+1/4）×20

（4）六（1）班男生有20人，男生人數(shù)比女生少1/5，女生有幾人？? ? ?E.（1-1/5）x=20

F.4/5 x=20

師：第（2）題對(duì)應(yīng)哪個(gè)答案？

生1：根據(jù)“男生人數(shù)是女生的4/5”這個(gè)信息，我將女生人數(shù)設(shè)為單位“1”，而女生人數(shù)不知道，可以設(shè)女生人數(shù)為未知數(shù)，根據(jù)數(shù)量關(guān)系式“女生人數(shù)×4/5=男生人數(shù)”列出方程，所以對(duì)應(yīng)的是“F.4/5 x=20”。

生2：據(jù)“男生人數(shù)是女生的4/5“這個(gè)信息，以女生人數(shù)為單位“1”，而女生人數(shù)不知道，也可以用算式20÷4/5來(lái)解答。

師：其實(shí)用除法算術(shù)解就是解方程的逆運(yùn)算。

……

師：請(qǐng)把這幾道題分分類。

生3：按單位“1”已知和未知進(jìn)行分類，第（1）題和第（3）題是已知的，而第（2）題和第（4）題是未知的。

生4：根據(jù)它們的算法進(jìn)行分類，第（1）題和第（3）題是用乘法解題，而第（2）題和第（4）題是用除法解題。

生5：其實(shí)這四道題是一類，都可以用乘法解決，即用“單位‘1’的量×分率=分率所對(duì)應(yīng)的量”這個(gè)數(shù)量關(guān)系，如果單位“1”已知，就可以根據(jù)這個(gè)數(shù)量關(guān)系直接解題;如果單位“1”未知，可以把單位“1”設(shè)為未知數(shù)，再根據(jù)這個(gè)數(shù)量關(guān)系解題。

師：對(duì)啊，它們都可以用“單位‘1’的量×分率=分率所對(duì)應(yīng)的量”這個(gè)數(shù)量關(guān)系來(lái)解。

（板書(shū)：“單位‘1’的量×分率=分率所對(duì)應(yīng)的量”）

【思考】

在教學(xué)分?jǐn)?shù)乘除法解決問(wèn)題后，可以安排這樣一組練習(xí)，讓學(xué)生通過(guò)比較和分類，厘清解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的脈絡(luò)。其實(shí)分?jǐn)?shù)乘法解決問(wèn)題和分?jǐn)?shù)除法解決問(wèn)題是一脈相通的。在關(guān)于分?jǐn)?shù)除法解決問(wèn)題中，教材只呈現(xiàn)了用方程解題的思路，很好地演繹了分?jǐn)?shù)乘除法解決問(wèn)題。如果教師在教學(xué)中說(shuō)“如果單位‘1’未知，則用除法計(jì)算”，這是沒(méi)有深刻體會(huì)教材編排意圖，只會(huì)增加學(xué)生的學(xué)習(xí)難度。因此，教師要根據(jù)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，給學(xué)生搭建新舊知識(shí)聯(lián)系的平臺(tái)，使學(xué)生所學(xué)的知識(shí)形成一條線，加深學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)乘法解決問(wèn)題意義的理解，同時(shí)降低分?jǐn)?shù)除法解決問(wèn)題的難度，而讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的建立并進(jìn)行解釋和應(yīng)用的過(guò)程，還能增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

（三）通過(guò)變式練習(xí)，鞏固數(shù)學(xué)模型

在一個(gè)問(wèn)題情景中，雖然有多種形式，但是解決問(wèn)題的模型只有一個(gè)，數(shù)量關(guān)系之間結(jié)構(gòu)關(guān)系是不變的。在學(xué)生解決這類問(wèn)題時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)之間的聯(lián)系、對(duì)比、分析，使學(xué)生的思維不斷內(nèi)化。

【建模教學(xué)片段2】

出示題目：根據(jù)算式補(bǔ)充條件。

果園里有桃樹(shù)120棵，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，梨樹(shù)有多少棵？

（1）1/4 x=120或120÷1/4

條件：

（2）120×（1+1/4）? ? ? ? ? ? ?

條件：

（3）（1-1/4）x=120或120÷（1-1/4）

條件：

師：第（1）題補(bǔ)充什么？

生：對(duì)于1/4 x=120這個(gè)算式，因?yàn)槲粗獢?shù)是單位“1”的量，就是表示梨樹(shù)的棵數(shù)，120是比較量，表示桃樹(shù)的棵數(shù)，所以我寫的是“桃樹(shù)的棵數(shù)是梨樹(shù)的1/4”?！?20÷1/4”除法算式解釋了方程解法。

……

【思考】

在分?jǐn)?shù)解決問(wèn)題的模型建立以后，教師設(shè)計(jì)了根據(jù)算式補(bǔ)充條件的練習(xí)，同時(shí)還有辨析練習(xí)，目的是加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型本質(zhì)的理解。利用模型解題，不僅能讓學(xué)生理解算式的意思，還能通過(guò)對(duì)算式的解釋補(bǔ)充模型所需的信息。有些題目還有兩種解題思路，能促進(jìn)學(xué)生通過(guò)比較分析了解用方程解和用除法算術(shù)解的區(qū)別和聯(lián)系，鞏固了數(shù)學(xué)模型的意義。

對(duì)于分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題這樣的經(jīng)典課，仁者見(jiàn)仁，智者見(jiàn)智。筆者從數(shù)學(xué)建模思想入手改進(jìn)教學(xué)，整體把握教材的知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，使學(xué)生的解題思路清晰可見(jiàn)，從而達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果。

（責(zé)編 金 鈴）