“追根溯源”顯本質(zhì) 化歸模型巧探究

摘?要：文章以排列組合教學(xué)中的模型化探究為例研究了如何用“特征分析”“多例歸納”“圖形輔助”等方式“追根溯源”，進(jìn)行模型化探究。

關(guān)鍵詞：模型化探究;特征分析;多例歸納;圖形輔助

弗賴登塔爾說過“數(shù)學(xué)教育是數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造”，數(shù)學(xué)課堂上學(xué)生的探究活動(dòng)對(duì)于他們的知識(shí)建構(gòu)和學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng)都有十分重要的意義，因此如何創(chuàng)設(shè)一系列引導(dǎo)式問題，形成一個(gè)層層遞進(jìn)的問題鏈，使學(xué)生順利完成數(shù)學(xué)問題的探究是一項(xiàng)非常值得研究的重要課題。模型化探究是數(shù)學(xué)探究的一種重要方式，在排列組合問題中模型化又是核心的解題思想，所以在排列組合教學(xué)中經(jīng)常涉及模型化探究。

一、 排列組合問題中的基本模型

排列組合問題中最基本的兩個(gè)模型是排隊(duì)問題和分類抽取問題，排隊(duì)問題是排列應(yīng)用題的基本模型，而分類抽取問題是組合應(yīng)用題的基本模型。

【例1】?3名男生，4名女生，按照不同的要求排隊(duì)，求不同的排隊(duì)方法的種數(shù)。

（1）全體站成一排，其中甲只能在中間或兩端;

（2）全體站成一排，其中甲、乙必須在兩端;

（3）全體站成兩排，前排3人，后排4人，其中女生甲和女生乙排在前排，另有2名男生丙和丁因個(gè)子高要排在后排;

（4）全體站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端;

（5）全體排成一行，其中男生必須排在一起;

（6）全體排成一行，男、女各不相鄰;

（7）全體排成一行，其中甲、乙、丙三人從左至右的順序不變。

解：（1）先排甲，有A13;再排其余六人，有A66。故共有A13A66=2160（種）。

（2）先排甲、乙，有A22;再排其余5人，有A55。故共有A22·A55=240（種）。

（3）先排女生甲、乙，有A23種方法;再排男生丙、丁，有A24種方法;最后排剩余的3名同學(xué)，有A33種方法。共有排法A23·A24·A33=432（種）。

（4）（特殊元素優(yōu)先法）按甲是否在最右端分兩類：

第一類，甲在最右端，有A66種排法;

第二類，甲不在最右端時(shí)，甲有A15種排法，而乙也有A15種排法，而其他人有A55種排法，有A15A15A55種排法。故共有排法A66+A15A15A55=3720（種）。

（5）捆綁法：將男生看成一個(gè)整體與其他4人進(jìn)行全排列有A55種排法，整體內(nèi)部進(jìn)行全排列有A33種排法。共有排法A33A55=720（種）。

一般地，元素相鄰問題用“捆綁”法：①把相鄰元素看做一個(gè)整體;②把這個(gè)整體看成一個(gè)元素與其他元素排列;③整體內(nèi)部進(jìn)行排列。

（6）插空法：先排男生，有A33種;再將女生排入男生之間（包括兩側(cè)）的四個(gè)空位，有A44種。共有排法A33A44=144（種）。

一般地，元素不相鄰問題用“插空”法：①先將不受限制的元素排列;②再將不相鄰元素排入前面元素之間的空位中。

（7）空位法：設(shè)想有7把椅子，讓甲乙丙除外的四人先就座，有A47種方法，其余的三個(gè)位置甲乙丙按順序就坐，有1種坐法，則共有A47=840種方法。

倍縮法：7個(gè)人全排列可分兩步

第一步，固定甲、乙、丙3人從左到右的順序，將7人排隊(duì)，設(shè)排法總數(shù)為N;

第二步，對(duì)甲、乙、丙3人進(jìn)行全排列，有A33種排法。

因此有A77=N×A33，∴N=A77A33=840種。

一般地，元素定序問題用“倍縮法”：①先把這幾個(gè)元素與其他元素一起排列;②用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素的全排列數(shù)。

解決排隊(duì)問題，要抓住“一個(gè)本質(zhì)，三種基本方法，五項(xiàng)特殊方法”。

一個(gè)本質(zhì)：元素有限制要求的排列問題。

三種基本方法：（1）用兩個(gè)原理計(jì)數(shù);（2）用排列計(jì)數(shù);（3）排除法。

五項(xiàng)特殊方法：（1）特殊位置優(yōu)先法;（2）特殊元素優(yōu)先法;（3）相鄰問題：捆綁法;（4）不相鄰問題：插空法;（5）定序問題：空位法和倍縮法。

【例2】?按下列條件，從10人中選出4人，有多少種不同選法？

（1）甲、乙、丙三人必須當(dāng)選;

（2）甲、乙、丙三人不能當(dāng)選;

（3）甲必須當(dāng)選，乙、丙不能當(dāng)選;

（4）甲、乙、丙三人只有一人當(dāng)選;

（5）甲、乙、丙三人至多1人當(dāng)選;

（6）甲、乙、丙三人至少1人當(dāng)選。

解：（1）有C33·C17=7種方法;

（2）有C03·C47=35種方法;

（3）有1·C37=35種方法;

（4）有C13·C37=105種方法;

（5）有C47+C13·C37=140種方法;

（6）有C410-C47=175種方法。

解分類抽取問題，應(yīng)抓住三點(diǎn)：

1. 弄清抽取的元素的要求;

2. 抽取多類元素要分步進(jìn)行;

3. 解決至多和至少的問題用分類法和排除法。

二、 “特征分析”現(xiàn)本質(zhì)，化歸模型巧探究

模型化思想就是要挖掘問題的本質(zhì)，讓形形色色的問題回到最基本模型，因此拿到一道排列組合問題，首先要對(duì)其進(jìn)行特征分析，判斷它是否屬于最基本的問題模型。

排隊(duì)問題的基本特征是：①若干元素按一定限制要求排列;②元素之間有順序。

分類抽取問題的基本特征是：①元素分為若干類;②從這些元素中按一定限制要求進(jìn)行抽取。

【例3】?夏季用電高峰期間，為保證居民正常用電，某一段馬路上原有的九盞路燈需關(guān)掉其中三盞，但相鄰的兩盞路燈不能同時(shí)關(guān)掉，兩頭的兩盞路燈也不能關(guān)掉，問一共有幾種熄燈方法？

對(duì)于這道問題，不少學(xué)生會(huì)感到困惑，在學(xué)生思索之后，可提出兩個(gè)問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究：

問題1?該例子中是否有若干元素按一定限制要求排列？

學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)一種熄燈方法就是六盞亮燈和三盞黑燈的一種排列，其中三盞黑燈是不相鄰的。

問題2?路燈與路燈之間有順序嗎？

學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)六盞亮燈之間沒有順序，三盞黑燈之間也沒有順序，但亮燈和黑燈之間有順序，沒有順序的六盞亮燈或三盞黑燈之間也可以排列，但排法只有一種。

問題3?一種熄燈方法的本質(zhì)是什么？

經(jīng)過這兩個(gè)問題的探究，學(xué)生就可以把該問題歸結(jié)為元素不相鄰的排隊(duì)問題，從而用插空法加以解決。解法如下：①先排六盞亮燈，只有一種排法;②再把另外三盞黑燈插入六盞亮燈之間的五個(gè)空位中，有C35種方法。因此共有C35=10熄燈種方法。

【例4】?平面內(nèi)有7個(gè)點(diǎn)，其中4個(gè)點(diǎn)在一條直線上，此外其余任意3個(gè)點(diǎn)都不共線，這7個(gè)點(diǎn)可確定多少條直線？

對(duì)于這道問題，學(xué)生也會(huì)一時(shí)無從下手，可提出以下問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究：

問題1?該例子中7個(gè)點(diǎn)可分幾類？

學(xué)生馬上發(fā)現(xiàn)7個(gè)點(diǎn)分為兩類，第一類是共線的4個(gè)點(diǎn)，第二類是其余3個(gè)點(diǎn)。

問題2?一條直線對(duì)應(yīng)幾個(gè)點(diǎn)？

學(xué)生立即想到直線由兩點(diǎn)確定。

問題3?如何從這7個(gè)點(diǎn)中抽取2個(gè)點(diǎn)？

學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)抽取方法分為三類：第一類是從共線的4個(gè)點(diǎn)中抽取兩個(gè)，但任選兩個(gè)點(diǎn)所得的是同一直線，第二類是從其余3個(gè)點(diǎn)中抽取兩個(gè)，第三類是從共線4個(gè)點(diǎn)中抽取1個(gè)點(diǎn)，從其余三個(gè)點(diǎn)中抽取1個(gè)點(diǎn)。

經(jīng)過以上問題的探究，學(xué)生就可以把該問題歸結(jié)為分類抽取問題，并用分類法加以解決：共有1+C23+C14·C13=16條直線。

三、 “多例歸納”找本質(zhì)，化歸模型巧探究

有的時(shí)候，通過特征分析很難找到問題的本質(zhì)，我們可考慮從具體的例子中歸納找到其本質(zhì)。

【例5】?如圖，小明從街道的A處出發(fā)，到B處（老年公寓）與小紅會(huì)合參加志愿者活動(dòng)，則小明到B處可以選擇的最短路徑有幾條？

該題中最短路徑的本質(zhì)是什么呢？顯然通過特征分析很難發(fā)現(xiàn)什么，我們要考慮從例子中歸納出問題的本質(zhì)：

問題1?試畫出兩條最短路徑;

問題2?試分析兩條路徑中向上、向右的步驟各有幾步，分別在哪幾步？

問題3?最短路徑的本質(zhì)是什么？

學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)最短路徑的本質(zhì)是從9步中選出向上的4步的一種方法。所以共有C49=126條最短路徑。

四、 “圖形輔助”獲本質(zhì)，化歸模型巧探究

對(duì)于一些抽象的計(jì)數(shù)對(duì)象，我們可以通過圖形輔助使之直觀化，從而獲取其本質(zhì)。元素重復(fù)的分組問題，就可以借助畫隔板的方法轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的組合問題。

【例6】?10個(gè)優(yōu)秀指標(biāo)分配給6個(gè)班級(jí)，每班至少一個(gè)，共有多少種不同的分配方法？

該題中的分配方法顯然難以一一列舉，但如果用排列組合計(jì)數(shù)又很難發(fā)現(xiàn)起本質(zhì)，即使舉例研究也無濟(jì)于事，怎么辦呢？在教學(xué)中可以用用圖形輔助引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)：

問題1?下圖代表一種典型的分配方法，大家能否說出這種分配方法？

學(xué)生稍加思索，就可以答出：這代表1班2個(gè)名額，2班一個(gè)名額，3班兩個(gè)名額，4班兩個(gè)名額，5班1個(gè)名額，6班2個(gè)名額。

問題2?如果讓1班得到3個(gè)名額，2班1個(gè)名額，3班1個(gè)名額，其他班名額不變，隔板的位置應(yīng)該如何調(diào)整？

學(xué)生很快得到答案。

問題3?一種分配方法的本質(zhì)是什么？

學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)用這樣的圖形輔助就很直觀地顯現(xiàn)了分配方法的本質(zhì)是5塊隔板插入10個(gè)小球（代表指標(biāo)）9個(gè)空隙中的一種方法，所以共有C59=126種分配方法。

在模型化探究中，最關(guān)鍵的問題是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“追根溯源”，從而發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，排列組合的教學(xué)實(shí)踐告訴我們，“追根溯源”有三招：一是“特征分析”，二是“多例歸納”，三是“圖形輔助”，應(yīng)用這三種方式引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行模型化探究時(shí)，都要注意設(shè)置好“問題串”，環(huán)環(huán)相扣，由此及彼，以設(shè)問啟發(fā)學(xué)生，引導(dǎo)他們積極主動(dòng)地完成這種生成性探究。

這三種探究方式有著內(nèi)在的聯(lián)系，“特征分析”是三者核心，“多例歸納”就是通過多個(gè)例子的比較分析讓“本質(zhì)特征”浮出水面，“圖形輔助”是通過圖形的直觀性幫助我們洞察“本質(zhì)特征”。

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作者簡(jiǎn)介：

黎平，浙江省麗水市，麗水學(xué)院附屬高級(jí)中學(xué)。