高速齒輪箱多平行軸系-軸承-箱體混合動(dòng)力學(xué)建模方法研究*

趙芳慧 王維民,2 張登鵬 王珈樂

（1.北京化工大學(xué)高端機(jī)械裝備健康監(jiān)控與自愈化北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室；2.壓縮機(jī)技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室）

0 引言

透平壓縮機(jī)/膨脹機(jī)在現(xiàn)代能源、石油化工及環(huán)保領(lǐng)域，在高速高壓高功率密度工況下，機(jī)組極易引發(fā)多種故障。整體齒輪增速式壓縮機(jī)/膨脹機(jī)以高效而著稱，應(yīng)用日益廣泛。然而其結(jié)構(gòu)復(fù)雜，影響因素眾多，常因?yàn)閲Ш狭Φ淖兓瘜?dǎo)致機(jī)組振動(dòng)故障[1]。因此，復(fù)雜高速齒輪箱多平行軸系-軸承-箱體整體動(dòng)力學(xué)的研究，對(duì)機(jī)組振動(dòng)準(zhǔn)確預(yù)測(cè)、保障轉(zhuǎn)子穩(wěn)定運(yùn)行至關(guān)重要。

Stringer[2]運(yùn)用影響系數(shù)法，開發(fā)了一個(gè)12×12的齒輪剛度嚙合矩陣，能夠準(zhǔn)確的分析齒輪軸系彎-扭-軸向的振動(dòng)耦合作用。崔津[3]建立齒輪-軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)理論，概述了耦合系統(tǒng)葉輪振動(dòng)特性，并進(jìn)行了相關(guān)的實(shí)驗(yàn)測(cè)試。丁端[4]提到由于齒輪嚙合作用，齒輪-轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)耦合出新的頻率和振動(dòng)峰值。Luo Z[5]提出整體齒輪增速式壓縮機(jī)的系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法，研究轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的振動(dòng)特性，為提高轉(zhuǎn)子的動(dòng)力性能，提出了一種轉(zhuǎn)子動(dòng)力設(shè)計(jì)修正方法。然而，以上的方法僅僅考慮了齒輪嚙合和軸承支承的影響，未有效的考慮齒輪箱箱體的振動(dòng)特性。

Pettinato B[6]提出，對(duì)多自由度系統(tǒng)，利用有理分式多項(xiàng)式方法對(duì)每個(gè)支座的各測(cè)量方向進(jìn)行曲線擬合，計(jì)算傳遞函數(shù)矩陣，可得到支座的動(dòng)剛度即傳遞函數(shù)矩陣的逆。Cavalca K L[7]提出了一種求解具有顯著基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)柔度影響的轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)數(shù)學(xué)表達(dá)式的方法。Meli E[8]提出利用傳遞函數(shù)矩陣，建立旋轉(zhuǎn)機(jī)械與彈性支撐結(jié)構(gòu)相互作用模型，并進(jìn)行了初步驗(yàn)證。Ehehalt U[9]在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的耦合節(jié)點(diǎn)上，用子結(jié)構(gòu)/傳遞函數(shù)法說明基礎(chǔ)的動(dòng)力特性可能對(duì)旋轉(zhuǎn)機(jī)械的動(dòng)力特性有很大影響。

本文建立轉(zhuǎn)子-軸承-箱體動(dòng)力學(xué)模型，考慮齒輪嚙合剛度，并利用諧響應(yīng)分析獲取頻響函數(shù)矩陣，擬合得到柔性傳遞矩陣，考慮箱體機(jī)匣的動(dòng)剛度，建立混合動(dòng)力學(xué)模型。并以某高速齒輪箱三平行軸系為例，進(jìn)行模型仿真和現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際測(cè)量，研究結(jié)果表明，通過考慮嚙合和柔性支撐的影響，計(jì)算結(jié)果更加準(zhǔn)確。

1 高速齒輪箱動(dòng)力學(xué)模型

根據(jù)有限元原理，轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)微分方程可以寫作：

M，C，K分別表示單元的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣，F(xiàn)表示激勵(lì)矩陣，q表示單元的位移，因?yàn)槊總€(gè)節(jié)點(diǎn)包含彎-扭-軸六個(gè)自由度，所以q表示為：

下標(biāo)1，2分別表示一個(gè)單元的左右兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，x1，y1，θx1，θy1代表節(jié)點(diǎn)1的彎曲自由度，θz1代表扭轉(zhuǎn)自由度，z1代表軸向自由度。每節(jié)點(diǎn)6自由度，建立彎-扭-軸耦合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)。

1.1 軸-齒輪-軸承耦合動(dòng)力學(xué)模型

整體齒輪增速式壓縮機(jī)中的齒輪嚙合單元用Stringer開發(fā)的12×12嚙合剛度矩陣，如式(2)，建立軸-齒輪動(dòng)力學(xué)模型。

其中，Kg表示平均嚙合剛度，N/mm，四個(gè)剛度子矩陣Kii，Kij，Kji，Kjj表示從齒輪沿作用線位移分解為軸中心整體坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換。借助螺旋角β，壓力角αn、大小齒輪節(jié)圓半徑ri和rj、小齒輪相對(duì)大齒輪的方位角φ等幾何輸入，即可得到四個(gè)6×6的子剛度矩陣，完成齒輪嚙合剛度的組裝，得到軸-齒輪耦合系統(tǒng)。

軸系軸承可以選用穩(wěn)定性較高的5瓦可傾瓦軸承[10-11]，且瓦間均勻受載?；诹εc力矩平衡，由軸承靜載計(jì)算齒輪-軸承支反力，結(jié)合軸承預(yù)負(fù)荷、寬徑比、軸承間隙和受載方式等結(jié)構(gòu)參數(shù)，計(jì)算軸承8個(gè)動(dòng)態(tài)特性系數(shù)：

其中，kxx，kyy表示主剛度，kxy，kyx表示交叉剛度，cxx，cyy表示主阻尼，cxy，cyx表示交叉阻尼。主剛度對(duì)系統(tǒng)固有特性起到很大作用，交叉剛度和主阻尼影響系統(tǒng)穩(wěn)定性。類似齒輪嚙合剛度的組裝，將軸承動(dòng)態(tài)系數(shù)組裝到整體剛度阻尼矩陣中軸承節(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的自由度中，進(jìn)一步得到軸-齒輪-軸承耦合系統(tǒng)。

1.2 軸-齒輪-軸承-箱體耦合動(dòng)力學(xué)模型

若提供支撐的箱體結(jié)構(gòu)柔度較大時(shí)，也會(huì)對(duì)整個(gè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)產(chǎn)生一定影響。為了提高透平壓縮機(jī)轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)的準(zhǔn)確性和效率，減小整機(jī)動(dòng)力學(xué)運(yùn)算量，提出了傳遞函數(shù)法。通過傳遞函數(shù)法，整個(gè)系統(tǒng)可以被分割成不同子結(jié)構(gòu)，利用動(dòng)剛度將其整合建模。

如圖1，在該齒輪箱軸系中，原軸承阻抗表示為：

圖1 振動(dòng)部件的相互作用Fig.1 Interaction of vibrating parts

不考慮機(jī)匣振動(dòng)傳遞，軸承力fb’(s)與軸承位移qb(s)的關(guān)系：

當(dāng)考慮到機(jī)匣振動(dòng)傳遞至軸承的影響時(shí)，

圖2中，fb(s)表示軸承力，qcase(s)表示箱體傳遞給軸承的位移，Gbase(s)表示箱體振動(dòng)傳遞函數(shù)，表示等效支撐剛度，即考慮箱體振動(dòng)之后的動(dòng)剛度。

圖2 箱體振動(dòng)反饋圖Fig.2 Box vibration feedback diagram

圖1突出了轉(zhuǎn)子、軸承、支撐之間的相互作用。因?yàn)檗D(zhuǎn)子和箱體之間有多個(gè)軸承支撐，對(duì)箱體進(jìn)行諧響應(yīng)分析，在相應(yīng)的支撐節(jié)點(diǎn)的徑向施加單位正弦力，不同頻率之間進(jìn)行多次掃頻，根據(jù)耦合節(jié)點(diǎn)的響應(yīng)，推導(dǎo)出基于激勵(lì)頻率的軸承支承點(diǎn)間的頻響函數(shù)矩陣，即動(dòng)柔度矩陣，通過頻響函數(shù)多項(xiàng)式擬合法獲取柔性傳遞函數(shù)。由式(6)和(7)得到考慮箱體振動(dòng)之后的等效支撐剛度，建立軸-齒輪-軸承-箱體耦合軸系。

2 軸系模態(tài)特征

求解式（1）的二階線性齊次微分方程，設(shè)其解為

將式（8）代入齊次微分方程可得

求解頻率方程，可得模態(tài)頻率w和模態(tài)振型Φ，比較嚙合前后、帶柔性支撐前后的模態(tài)特征可知，多平行耦合軸系的模態(tài)振型表現(xiàn)出多樣性：

1）單軸模態(tài)：嚙合軸系中這類模態(tài)的原形可以從未嚙合時(shí)單轉(zhuǎn)子模態(tài)陣型中找到，一般只有一個(gè)轉(zhuǎn)子主振，其他轉(zhuǎn)子沒有明顯的振動(dòng)，頻率會(huì)發(fā)生微小變化；

2）多軸耦合模態(tài)：表現(xiàn)為多轉(zhuǎn)子的彎曲振動(dòng)，或者是彎-扭-軸耦合振動(dòng)；

3）單軸耦合模態(tài)：特征是軸系僅有某一轉(zhuǎn)子主振，振型多表現(xiàn)為單轉(zhuǎn)子彎-扭-軸耦合振動(dòng)；

4）新增模態(tài)：它是未嚙合軸系中所沒有的，一般表現(xiàn)為單轉(zhuǎn)子的彎曲振動(dòng)；

5）消失模態(tài)：未嚙合軸系中有，但嚙合軸系模態(tài)分析中沒有的模態(tài)；

6）帶柔性支撐模態(tài)：振型發(fā)生微小變化，模態(tài)頻率也有所減小。

本文以一個(gè)三平行齒輪軸系為例，建立三平行齒輪軸系的Timoshenko梁?jiǎn)卧Ｐ腿鐖D3所示。

圖3 三維轉(zhuǎn)子有限元模型Fig.3 3D Finite element model of rotor

圖3中，平行軸和齒輪材料都選用45號(hào)鋼，該模型低速軸工作轉(zhuǎn)速1 500r/min，由17個(gè)單元，18個(gè)節(jié)點(diǎn)組成；中速軸工作轉(zhuǎn)速20 000r/min，由20個(gè)單元，21個(gè)節(jié)點(diǎn)組成；高速軸工作轉(zhuǎn)速40 000r/min，由25個(gè)單元，26個(gè)節(jié)點(diǎn)組成。將該軸系的部分模態(tài)頻率列至表1。

表1 耦合模態(tài)頻率Tab.1 Coupling modal frequencies

3 耦合不平衡響應(yīng)分析

3.1 單軸不平衡響應(yīng)分析

根據(jù)美國石油協(xié)會(huì)(API)標(biāo)準(zhǔn)[12-13]計(jì)算不平衡量，中速軸工作轉(zhuǎn)速20 000r/min、高速軸40 000r/min，結(jié)合表1中耦合模態(tài)頻率在工作轉(zhuǎn)速附近對(duì)應(yīng)的振型，將圖3所示的不平衡量大小匯總?cè)绫?所示。

表2 不平衡量大小Tab.2 Magnitude of unbalance

則單軸徑向不平衡響應(yīng)分別見圖4～圖5。

中速軸共振發(fā)生在20 600r/min，圖4(a)中，右葉輪處振動(dòng)最大為9μm，該軸操作轉(zhuǎn)速范圍15 000～21 000r/min；高速軸共振點(diǎn)在28 380r/min，葉輪處振動(dòng)響應(yīng)很大，圖5(a)中甚至達(dá)到了64μm，高速軸操作轉(zhuǎn)速范圍30 000～42 000r/min。由API標(biāo)準(zhǔn)，操作轉(zhuǎn)速界限內(nèi)的振幅都在振動(dòng)極限Lv范圍內(nèi)。

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中，中速軸在到達(dá)臨界轉(zhuǎn)速前，圖6(a)振動(dòng)已達(dá)50μm，為防止膨脹機(jī)破壞，振動(dòng)只測(cè)到18 800r/min；圖6(b)高速軸共振轉(zhuǎn)速是27 000r/min，因?yàn)檎麄€(gè)機(jī)組存在葉輪過盈量不足等故障，實(shí)際不平衡量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于API標(biāo)準(zhǔn)，所以圖6振動(dòng)響應(yīng)整體偏大。相比圖5(b)中高速軸臨界點(diǎn)28 380r/min，與實(shí)驗(yàn)偏差超過5%，只能通過進(jìn)一步完善模型來減小誤差。

圖4 單軸不平衡時(shí)中速軸徑向振動(dòng)Fig.4 Radial vibration of medium speed shaft under single shaft unbalance

圖5 單軸不平衡時(shí)高速軸徑向振動(dòng)Fig.5 Radial vibration of high speed shaft under single shaft unbalance

圖6 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Fig.6 Experimental data

3.2 嚙合軸系不平衡響應(yīng)分析

中、高速軸單軸共振點(diǎn)，分別對(duì)應(yīng)表1中第7，11階未嚙合頻率；而嚙合之后，兩階模態(tài)頻率有所減小，特別是第11階，并體現(xiàn)在嚙合軸系不平衡響應(yīng)中，見圖7～圖8。

圖7 軸系不平衡時(shí)中速軸徑向振動(dòng)Fig.7 Radial vibration of medium speed shaft under shafting unbalance

圖8 軸系不平衡時(shí)高速軸徑向振動(dòng)Fig.8 Radial vibration of high speed shaft under shafting unbalance

由圖7，中速軸的徑向共振點(diǎn)在20 666r/min、20 143r/min處，振動(dòng)情況與未嚙合的單軸振動(dòng)，很相近，又因?yàn)橛胰~輪葉輪質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比左葉輪更大，所以其振動(dòng)略大于左葉輪，軸承處作為振型的節(jié)點(diǎn)，振動(dòng)響應(yīng)很小，圖6(a)中的不平衡響應(yīng)大小對(duì)其參考意義不大；高速軸在27 740r/min處產(chǎn)生共振，對(duì)應(yīng)表1中第11階嚙合模態(tài)頻率，與實(shí)驗(yàn)偏差維持在2.7%。

考慮嚙合之后，中速軸振動(dòng)情況差異不大，高速軸葉輪處的振動(dòng)從最高64μm降到圖8(a)中的34.7μm，各節(jié)點(diǎn)臨界轉(zhuǎn)速從28 380r/min降為27 747r/min，且與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)接近?？紤]嚙合的軸系不平衡響應(yīng)與單軸不平衡，振動(dòng)情況差別很大，進(jìn)一步說明了考慮嚙合軸系的必要性。

圖9(a)中，中速軸彎曲不平衡時(shí)，通過嚙合振動(dòng)傳遞，低速軸和高速軸分別在1 960r/min和51 225r/min發(fā)生共振，振動(dòng)傳遞的響應(yīng)很小；圖9(b)高速軸不平衡時(shí)，低速軸、中速軸的嚙合傳遞共振點(diǎn)分別是1 060r/min、13 864r/min，兩軸響應(yīng)更小。說明通過齒輪嚙合傳遞的振動(dòng)響應(yīng)很小，且與軸的轉(zhuǎn)速呈正相關(guān)關(guān)系。

圖9 齒輪嚙合傳遞振動(dòng)Fig.9 Transmission vibration in gear meshing

3.3 帶柔性支撐軸系不平衡響應(yīng)分析

當(dāng)剛度比Kbox/Kbrg≤3.5時(shí)，支撐柔性開始對(duì)系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速和響應(yīng)特性產(chǎn)生顯著影響，此時(shí)箱體的柔性就必須考慮進(jìn)來[14]。本文用ANSYS對(duì)柔性箱體進(jìn)行諧響應(yīng)分析，通過掃頻得到箱體及中速軸、箱體及高速軸耦合點(diǎn)的動(dòng)柔度曲線，如圖10～圖11所示。

結(jié)合3.2節(jié)，在中速軸臨界轉(zhuǎn)速處，中速軸x方向Kbox/Kbrg=2.52e10/4.02e8=62.7，y方向1.44e8/8.52e8=0.169＜3.5；高速軸臨界轉(zhuǎn)速附近，x方向8.98e11/4.78e8=1878，y方向剛度比6.01e10/3.14e8=191。臨界轉(zhuǎn)速處，只有中速軸y向箱體剛度較軸承剛度小，推斷中速軸x向和高速軸徑向箱體剛度對(duì)系統(tǒng)臨界振動(dòng)起不到作用。

對(duì)比圖7，圖12中，確實(shí)只有中速軸y向振動(dòng)對(duì)柔性支撐敏感，y向臨界轉(zhuǎn)速從20 143r/min減小到19 162,19 950r/min。而圖12(a)中速軸x方向臨界處振動(dòng)幾乎沒變，高速軸徑向振動(dòng)情況仍如圖8，對(duì)應(yīng)圖10～圖11的推斷結(jié)論。

圖10 箱體及中速軸耦合點(diǎn)動(dòng)柔度曲線Fig.10 Box and medium speed shaft coupling point dynamic compliance curve

圖11 箱體及高速軸耦合點(diǎn)動(dòng)柔度曲線Fig.11 Box and high speed shaft coupling point dynamic compliance curve

圖12中出現(xiàn)的局部共振，也可以由箱體及中速軸耦合點(diǎn)動(dòng)柔度曲線解釋。臨界轉(zhuǎn)速附近，圖10(b)y方向動(dòng)柔度在315～340Hz處很大，導(dǎo)致該方向動(dòng)剛度小，所以是箱體特性的作用，引起臨界轉(zhuǎn)速處局部振動(dòng)，激起的19 750r/min，20 470r/min分別對(duì)應(yīng)箱體第14,15階固有頻率。中速軸徑向振動(dòng)在33 000r/min之后，出現(xiàn)的34 010r/min(566Hz)，35 580r/min(593Hz)，37 780r/min(628Hz)小幅共振，這些局部振動(dòng)現(xiàn)象也是由圖10中該點(diǎn)動(dòng)柔度較大所致，分別對(duì)應(yīng)箱體第26,28,30階固有頻率。而且齒輪嚙合傳遞振動(dòng)會(huì)因?yàn)槿嵝灾蔚囊耄瑥膱D9(a)中高速軸激起的0.5μm，增大高到近1μm的振動(dòng)，而且局部共振響應(yīng)很多。

圖12 帶柔性支撐時(shí)中速軸徑向振動(dòng)Fig.12 Radial vibration of medium speed shaft under flexible support

3.4 不平衡相位分布對(duì)振動(dòng)的影響

由仿真和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，該齒輪軸系確實(shí)在20 000r/min與27 000r/min處產(chǎn)生共振。為了將臨界轉(zhuǎn)速與工作轉(zhuǎn)速之間的隔離裕度拉大，可以通過改變不平衡相位分布這一方法來實(shí)現(xiàn)，以中速軸徑向振動(dòng)為例，每隔10°相位差觀察中速軸不平衡響應(yīng)，發(fā)現(xiàn)在50°相位差時(shí)中速軸x向振動(dòng)的臨界轉(zhuǎn)速最大，如圖13所示。

中速軸不平衡量相位差180°布置時(shí)，在20 000r/min附近共振；高速軸0°相位差布置，在27 747r/min處共振。圖13中，每隔10°改變不平衡量相位角分布，中速軸在50×相位差時(shí)，臨界轉(zhuǎn)速最大為25 898r/min，距工作轉(zhuǎn)速之間的隔離裕度達(dá)到29.5%，相比圖12(a)，20 000r/min處葉輪振動(dòng)最大5.7μm，工作轉(zhuǎn)速附近振動(dòng)幅值明顯減小，振動(dòng)曲線更加平緩，系統(tǒng)更穩(wěn)定；同樣地，高速軸相位差150°時(shí)，最大臨界轉(zhuǎn)速比原來的共振點(diǎn)大1 601r/min。在葉輪節(jié)點(diǎn)施加虛擬不平衡量，不平衡量相位的布置，在保證振動(dòng)幅值變化不大的情況下，將臨界轉(zhuǎn)速與工作轉(zhuǎn)速的隔離裕度拉大，可以減小振動(dòng)甚至避免共振。所以利用無試重現(xiàn)場(chǎng)動(dòng)平衡原理進(jìn)行配重時(shí)[15]，在減小振動(dòng)的基礎(chǔ)上，可以按3.4節(jié)規(guī)律改變平衡面相對(duì)相位差，將臨界與工作轉(zhuǎn)速間的隔離裕度調(diào)大，進(jìn)一步精確配重，提高平衡精度，不過還需要實(shí)驗(yàn)來進(jìn)一步驗(yàn)證該機(jī)組平衡效果。

圖13 50°相位差時(shí)中速軸x向振動(dòng)響應(yīng)Fig.13 Vibration response inxdirection of medium speed shaft under 50°phase distribution

4 結(jié)論

1）本文用Stringer的12×12嚙合剛度矩陣表征嚙合特性；結(jié)合齒輪-軸承支反力計(jì)算軸承動(dòng)力特性系數(shù)；通過傳遞函數(shù)建立箱體-軸承、軸承-轉(zhuǎn)子之間力及位移的作用關(guān)系，建立膨脹機(jī)軸-齒輪-軸承-箱體混合動(dòng)力學(xué)模型。

2）嚙合模態(tài)會(huì)耦合出新的模態(tài)頻率，振型也表現(xiàn)出多樣性，嚙合、帶柔性支撐都會(huì)使模態(tài)頻率減小。齒輪嚙合傳遞的振動(dòng)響應(yīng)很小，且與軸轉(zhuǎn)速呈正相關(guān)關(guān)系，但考慮柔性支撐后，嚙合傳遞振動(dòng)有所增大。

3）帶柔性支撐時(shí)，動(dòng)柔度越大，動(dòng)剛度越小，對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)影響越大，臨界轉(zhuǎn)速有所減小。

4）傳遞函數(shù)法減少了仿真時(shí)間，在離散化誤差范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)了精度要求，膨脹機(jī)軸-齒輪-軸承-箱體混合動(dòng)力學(xué)模型使得仿真與實(shí)驗(yàn)中測(cè)得的臨界轉(zhuǎn)速維持在3%的誤差范圍。

5）殘余不平衡量的相位分布對(duì)臨界轉(zhuǎn)速有很大影響，可以將臨界轉(zhuǎn)速與工作轉(zhuǎn)速間的隔離裕度拉大。利用無試重現(xiàn)場(chǎng)動(dòng)平衡原理和相位差分布規(guī)律來精確配重，可能會(huì)很好的減小振動(dòng)、控制共振，不過還需要實(shí)驗(yàn)來進(jìn)一步驗(yàn)證該機(jī)組平衡效果。