讓小學數(shù)學思想在課堂中流淌

羅小燕

【摘要】“綜合與實踐”是小學數(shù)學課程內(nèi)容的四大版塊之一，它不僅能幫助學生綜合應(yīng)用學過的知識解決問題，還蘊含豐富的數(shù)學思想方法。因此，學生在學習的過程中領(lǐng)悟和運用這些數(shù)學思想方法，學會運用數(shù)學思維思考問題，解決問題，感悟數(shù)學的魅力，從而彰顯數(shù)學學習的內(nèi)在價值，進一步提升學生的數(shù)學素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】探索圖形;小學數(shù)學思想;綜合與實踐

《義務(wù)教育小學數(shù)學課程標準（2011年版）》提出：“教學中既要注重學生的雙基落實，更要積累數(shù)學基本活動經(jīng)驗，領(lǐng)悟數(shù)學基本思想方法?！笔穼幹薪淌谡J為：“一個好的數(shù)學教師，需要理解數(shù)學的本質(zhì)，這個本質(zhì)就是數(shù)學基本思想方法。把握數(shù)學基本思想是極為重要的，因為無論是情境的創(chuàng)設(shè)，還是問題的提出、思維的引導，都應(yīng)當源于數(shù)學的本質(zhì)。”人教版小學五年級下冊的“探索圖形”是一節(jié)探索規(guī)律類型的“綜合與實踐”活動課，目的是通過探索“涂色中數(shù)正方體個數(shù)”規(guī)律的活動，進一步加深對正方體特征的理解，積累豐富的數(shù)學活動經(jīng)驗，同時，讓學生感悟和掌握分類、數(shù)形結(jié)合、化繁為簡等數(shù)學思想方法，發(fā)展學生的思維能力和問題解決能力，提升學生的數(shù)學素養(yǎng)。

一、由“無序”到“有序”——運用分類思考的思想

分類就是具有全面的、有順序的、有層次的、有邏輯的特征的思考方法。因

此，分類思想是培養(yǎng)學生良好數(shù)學思維品質(zhì)和有條理地思考的重要而有效的方法之一。

片斷一：

師：這里有很多棱長是1的小正方體，你能一眼看出一共有幾個嗎？

（課件動畫演示：1000個隨意放置的小正方體形成一個大正方體）

師：現(xiàn)在看出來了嗎？說說你的想法？

師：如果把這個大正方體的六個面涂上顏色（課件動態(tài)演示涂色的過程）請同學們想象一下，每個小正方體的每個面是否都涂上顏色呢？

師：根據(jù)這些小正方體表面涂上顏色的情況分類，你認為分幾類？分別在什么位置上？（學生獨立思考后，在組內(nèi)交流）。

請學生匯報。

師：每一類小正方體分別有多少個？這節(jié)課我們就一起來探索圖形中，關(guān)于“涂色中數(shù)正方體數(shù)量”的問題。

上課伊始，筆者課件出示一堆凌亂擺放的小正方體，然后問學生“能一眼看出一共有幾個嗎？”正當學生感到“山窮水盡疑無路”時，筆者接著課件動態(tài)演示1000個凌亂擺放的小正方體由“無序”到“有序”地形成一個棱長為10的大正方體的過程，這時，筆者又問：“現(xiàn)在看出來了嗎？”這時，學生很快得出小正方體的總數(shù)是1000個，并讓學生說出想法。這就把數(shù)小正方體數(shù)量問題與求正方體體積的方法關(guān)聯(lián)起來，這樣不僅鞏固所學知識，更凸顯“有序”思考的應(yīng)用價值，從而培養(yǎng)學生有序思考問題的習慣，從而產(chǎn)生“柳暗花明又一村”的體驗。面對“給大正方體的表面涂色后，小正方體表面涂色的情況會怎樣？”這個復雜問題，通過引導學生應(yīng)用分類思考的方法，使問題清晰化，從而引出課題。

該環(huán)節(jié)通過讓學生產(chǎn)生一種從雜亂無章的事物中理清頭緒，豁然開朗的情感體驗，從而感悟分類思想和方法的魅力，讓學生的思維能力得以發(fā)展，提高解決問題的能力。

二、由“復雜”到“簡單”——運用“化繁為簡”的思想

以問題驅(qū)動為抓手，通過學生動手操作，獨立思考，在深入地理解知識的同時，感悟“化繁為簡”的思想和方法。它不僅有助于學生數(shù)學思維水平的發(fā)展與提升，更有利于提高解決繁難問題的能力。

片斷二：

師：如果請你來數(shù)一數(shù)每類正方體的數(shù)量，你有什么感受？

師：這個圖形太復雜了，不好數(shù)。怎么辦呢？

師：我們可以訪名人拜高手。（課件出示：數(shù)學家華羅庚頭像）聽說過這位名人嗎？當我們遇到困難時，華羅庚爺爺說，要知難而——（此時課件顯示：知難而“退”）

師：“退”為什么加雙引號？

師：退一步想，就是暫時退。數(shù)字較大，退一步就變小了;現(xiàn)在復雜，退一步就簡單了。華羅庚爺爺說的下半句是：退退退，退到不失事物本質(zhì)的時候，從頭再來，在漸進中尋找規(guī)律，并用規(guī)律解決問題。這說明“退”是一種策略，它是數(shù)學常用的解決問題策略之一，叫做“化繁為簡”。（板書：化繁為簡）

師：棱長10、9、8退到棱長幾最好呢？（課件出示下圖）現(xiàn)在，我們先研究這三個圖形，你發(fā)現(xiàn)了什么？

“化繁為簡”是轉(zhuǎn)化（化歸）思想的基本形式之一，即把復雜問題不斷地拆，不斷地化，直到化成一些直觀無疑的小問題。在創(chuàng)設(shè)“大正方體表面涂色后，四類小正方體分別有多少個？”的問題情境后，筆者緊接著追問：“如果請你來數(shù)一數(shù)，你有什么感受？”讓學生充分地感受到原有的方法和經(jīng)驗解決問題有困難，這時，引出華羅庚爺爺?shù)慕鉀Q問題策略——知難而“退”，與學生的“知難而進”產(chǎn)生認知沖突，在沖突面前，讓學生自己明白“退”的意義。退一步想，退到哪呢？再一次啟發(fā)學生思考，大膽地退，“退”到最簡單的棱長為2的正方體。不僅激發(fā)學生探索解決問題新方法的欲望，而且對“化繁為簡”的解決問題策略有深刻地體悟，從而引發(fā)對“化繁為簡”思想的自覺追求。

三、“數(shù)”與“形”的統(tǒng)一——運用數(shù)形結(jié)合的思想

小學生的抽象思維程度不高，在解決復雜、抽象的問題時，往往需要借助

直觀圖形來解釋一些比較抽象的數(shù)學事實與規(guī)律，使人一目了然。這樣有利于抽象邏輯思維和形象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展和優(yōu)化解決問題的方法。

片斷三：

1.四人小組合作探索棱長為3、4的正方體涂色情況。

探究活動要求：

（1）小組合作，仔細觀察正方體學具中每一類小正方體的位置，數(shù)一數(shù)每一類小正方體的個數(shù)，并填寫在表格中。

（2）如果觀察計數(shù)有困難，可將正方體邊拆分邊研究。

師：動手操作前，一定要先觀察思考，看看哪個小組最先完成學習任務(wù)。

（小組合作探究學習，教師巡視輔導，傾聽學生的交流）

2.小組匯報研究結(jié)果

小組匯報時，重點引導學生講清一面涂色的小正方體在大正方體的每一個面上有多少個，是怎樣計算的，以及沒有涂色的小正方體數(shù)量是如何得出的，并填寫表格第三、四行（見下表第3、4行）。

探索“涂色中數(shù)正方體的規(guī)律”是本課的難點，筆者給予學生充分的探究時空。學生通過拼擺學具，觀察直觀圖形，想象、數(shù)數(shù)、計算等方法逐步得出每類涂色小正方體所在大正方體的位置和數(shù)量。學生交流匯報時，再結(jié)合課件的動態(tài)演示，數(shù)形結(jié)合理解規(guī)律。如，棱長為4的正方體中，三面涂色的小正方體在大正方體的頂點位置，正方體有8個頂點，所以有8個。兩面涂色的小正方體在大正方體棱上除去兩端的位置（課件用紅框圈起兩個），因為正方體共有12條棱，所以一共有（4-2）×12=24個。一面涂色的小正方體在大正方體每個面除去周邊一圈的位置（課件用紅框顯示），有（4-2）2個，因為正方體有6個面，所以共有（4-2）2×6=24個。學生在探索沒有涂色的小正方體數(shù)量時，是通過對圖形的分拆與復原得出數(shù)據(jù)的。當學生匯報時，再次通過課件動畫演示剝離表面一層，讓學生清晰地看出沒有涂色的小正方體數(shù)量有（4-2）3，即8個。在整個探究和匯報的過程中，都是借助圖形的直觀性幫助學生解釋“涂色中數(shù)正方體個數(shù)”的規(guī)律。以形助數(shù)、以數(shù)輔形，在學生的直覺思維與邏輯思維之間架起橋梁，可助學生對規(guī)律本質(zhì)的頓悟，使復雜的問題簡單化。

數(shù)學家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微?！痹谄磾[學具，觀察直觀圖形的探究活動中，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想和方法，不僅使學生關(guān)聯(lián)已有的知識和經(jīng)驗來更好地發(fā)現(xiàn)、理解數(shù)學規(guī)律，從而將復雜的問題簡單化，抽象問題具體化，提高學生的學習興趣。同時，又使學生的思維過程可視化，幫助學生積累直觀經(jīng)驗，讓學生經(jīng)歷具體到抽象的過程，理解數(shù)學的本質(zhì)。

四、由“經(jīng)驗”到“模型”——運用數(shù)學模型的思想

《義務(wù)教育小學數(shù)學課程標準（2011年版）》明確提出：“模型思想的教學理念和作用，指出模型思想是數(shù)學應(yīng)用和解決問題的核心?！弊鳛橐环N基本的教育教學理念——模型化思想，應(yīng)對教學起到引領(lǐng)作用。因此，教學中要重視引導學生建構(gòu)數(shù)學模型，不但要重視其結(jié)果，更要關(guān)注學生自主建構(gòu)數(shù)學模型的過程。

片斷四：

師：我們已經(jīng)找到棱長是3和4的兩組數(shù)據(jù)。現(xiàn)在，我們讓這個正方體再大些！咦？現(xiàn)要的棱長變成幾啦？（棱長是5）

師：不操作學具，你們能否找出每類小正方體的數(shù)量呢？請用你的眼睛仔細觀察，用你的大腦想象思考，小組商量著完成表格（見下表第5行）。

學生匯報。

師：在同學們的努力探究下， 我們已經(jīng)找出了4組數(shù)據(jù)，現(xiàn)在我們從上往下觀察表格中的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律嗎？

師：（課件出示）如果一個大正方體的棱長為n，請大家思考一下，它的三面涂色、兩面涂色、一面涂色和沒有涂色的小正方體數(shù)量該怎樣表示呢？

學生獨立思考，后交流匯報。師將表格補充完整（見下表最后一行）。

師出示圖，讓學生結(jié)合圖形解釋符號式中的每一部分表示的數(shù)學意義和等式意義。

師追問：n最小是幾？此時規(guī)律還適用嗎？

師：同學們，課前“棱長是10的正方體中每類涂色的小正方體的數(shù)量各是多少？”的問題現(xiàn)在可以解決嗎？請在學習單上完成。

本環(huán)節(jié)的教學，在學生經(jīng)過小組合作探索，初步感知規(guī)律后，教師要求學生不操作學具，能否找出棱長為5的每類涂色小正方體的個數(shù)，來驗證猜想的正確性，使學生獲得成功的體驗，激發(fā)探究學習的興趣和積極性。緊接著，通過追問學生：“如果一個大正方體的棱長為n，請大家思考一下，它的三面涂色、兩面涂色、一面涂色和沒有涂色的小正方體數(shù)量該怎樣表示呢？”讓學生感受從具體到抽象，從特殊到一般，逐步揭示隱藏在圖形之間的數(shù)的規(guī)律，并用數(shù)學化的形式表示規(guī)律：所有大正方體（由n3個小正方體拼成）中，三面涂色的小正方體都是8個;兩面涂色的小正體為12（n-2）個;一面涂色的小正體為6（n-2）;沒有涂色的小正方體為（n-2）3個。在這個過程中，學生經(jīng)歷、體會數(shù)學模型的構(gòu)建過程：提出問題——嘗試解決——引發(fā)猜想——驗證猜想——總結(jié)歸納——應(yīng)用模型，拓寬學生思維的渠道，提高學習數(shù)學的興趣和應(yīng)用意識，充分彰顯探索規(guī)律的價值，進一步培養(yǎng)學生的推理能力。

數(shù)學思想是數(shù)學的靈魂。在教學中，教師要追尋有思想的教學，要有“將無形的數(shù)學思想方法貫穿到有形的數(shù)學知識”的教學意識。不僅引導學生綜合應(yīng)用所學的知識解決問題，體會探索的樂趣和數(shù)學的實際應(yīng)用，還要運用數(shù)學思想和方法，感悟數(shù)學的魅力，提高學生的思維能力和問題解決能力，進一步發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

[本文系廣州市黃埔區(qū)教育科學“十三五”規(guī)劃（2020年度）課題“小學數(shù)學高年段‘綜合與實踐’主題活動資源開發(fā)的實踐研究”（課題編號：2020028）研究成果]

參考文獻：

[1]教育部.義務(wù)教育小學數(shù)學課程標準（2011年版）[S].北京師范大學出版社，2012.

[2]小學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心.義務(wù)教育教科書教師教學用書五年級下冊[M].人民教育出版社，2020.

[3]王永春.小學數(shù)法核心素養(yǎng)教學論[M].華東師范大學出版社，2019.

責任編輯? 楊? 杰