一類分數(shù)階差分方程非局部邊值問題解的存在唯一性 ①

吳 穎, 王良龍

(安徽大學數(shù)學科學學院，安徽 合肥 230601)

0 引 言

1965年, 著名數(shù)學家Leibniz和Hospital進行了有意義的通信, 在通信中談及了分數(shù)階導數(shù)以及分數(shù)階微分[1]. 出于理論發(fā)展和應用需要, 分數(shù)階微分方程獲得極大發(fā)展, 其中Riemann-Liouville型分數(shù)階微分方程更是引起了各界廣泛關注, 研究結果層出不窮[2,3].

眾所周知, 如同整數(shù)階微分方程, 對一般的分數(shù)階微分方程也很難獲得其解的表達式或精確表示. 出于研究的需要, 當把分數(shù)階微分方程離散化時便得到相應的分數(shù)階差分方程.分數(shù)階差分、分數(shù)階和分以及分數(shù)階差分方程理論的研究均具有很大的挑戰(zhàn)性, 所以吸引了許多中外學者的關注. 另一方面, 分數(shù)階差分方程能很好地刻畫實際模型, 在材料科學, 醫(yī)藥科學, 生態(tài)數(shù)學模型上的研究中有著重要應用[4-6].

目前很多學者在分數(shù)階差分方程方向做出了的一些結果,其中絕大部分研究了階數(shù)在1-2之間的分數(shù)階差分方程,還有一小部分攻克了階數(shù)在3-4之間的分數(shù)階差分方程,在合適的條件下均獲得了不錯的結果[7,8].本文在前人的基礎上考慮了一類任意階的分數(shù)階差分方程的非局部邊值問題,運用了Banach不動點定理, Brouwer不動點定理在合適的條件下得出該分數(shù)階差分方程非局部邊值問題解的存在唯一性.

1 預備知識

本節(jié)給出若干記號, 定義和預備引理[6,8].

函數(shù)y(t)的一階差分記為Δy(t)=y(t+1)-y(t). 設N,b是非負整數(shù),v∈R, 記

Nv={v,v+1,…},
Nv-N,v+b={v-N,v-N+1,…,v+b}.

考慮如下一般形式分數(shù)階差分方程的非局部邊值問題

(1)

其中N-1

定義1.2若v>0, 函數(shù)y(t)的v-階和分定義為

函數(shù)y(t)的v-差分定義為

Δvy(t)=ΔNΔ-(N-v)y(t),t∈Nv-N,v+b,

其中N是非負整數(shù), 滿足N-1

引理1.1令0

其中ci∈R, 1iN.

引理1.3分數(shù)階差分、分數(shù)階和分運算具有下列性質:

(1)令u>0,v>0, 有Δ-vΔ-uy(t)=Δ-(u+v)y(t).

(2)令N是滿足N-1

引理1.4記Y={y:Nv-N,v+b→R},f:Nv-N,v+b×R→R是連續(xù)函數(shù),g:Y→R是一個連續(xù)泛函, 則函數(shù)y(t)是分數(shù)階差分方程非局部邊值問題(1)的解, 當且僅當y(t)滿足

(2)

其中t∈Nv-N,v+b,N是滿足N-1

證明:充分性: 由引理1.1可得

(3)

且

由(1)知

y(v+b)=-Δ-vf(t,y(t))|t=v+b+

(4)

由上式(4)解得

所以

充分性得證.

必要性顯然成立就不在此贅述了, 綜上, 引理1.4得證.

2 解的存在唯一性

Y如前所定義, 對任意的y∈Y, 定義‖y‖=max{|y(t)|:t∈Nv-N,v+b}, 則(Y，‖·‖)是一個Banach空間,定義算子T:Y→Y, 其中

(5)

定理2.1假設f(t,y)和g(y)對y滿足Lipschitz條件, 即存在α>0,β>0使得

|f(t,z1)-f(t,z2)|α|z1-z2|,

t∈Nv-N,v+b,z1,z2∈R,

|g(y1)-g(y2)|β‖y1-y2‖,y1,y2∈Y,

若

(6)

則非局部邊值問題(1)存在唯一解.

證明:只要證明T:Y→Y是一個壓縮映射, 對任意給定的y1,y2

‖Ty1-Ty2‖α‖y1-y2‖×

(7)

由引理1.2知

(8)

且

α‖y1-y2‖×

(9)

由引理1.2(5)得

(10)

綜上得

‖Ty1-Ty2‖

則T:Y→Y是一個壓縮映射, 由Banach壓縮映射原理知邊值問題(1)的解存在唯一.

定理2.2假設存在常數(shù)M>0使得f(t,z)和g(y)滿足下列條件

證:令Y0={y∈Y:‖y‖M},則Y0是Y的有界凸閉集. 記

則ω0是嚴格正常數(shù),由定理2.1知

‖Ty‖+

因此,T:β→β, 又f(t,y(t)),g(y)均連續(xù), 易知T為連續(xù)算子, 由Brouwer不動點定理存在T, 使得Ty0=y0,y0∈β,y0是邊值問題(1)的解,y0滿足|y0(t)|M.

3 結 語

利用壓縮映射原理和Brouwer不動點定理在合適的條件下討論了一類階數(shù)任意的分數(shù)階差分方程非局部邊值問題解的唯一性與存在性,實際上還可以繼續(xù)研究該問題的正解的存在性.