極坐標(biāo)系下二維各向同性諧振子能級及波函數(shù)的研究 ①

孫 晶, 張海豐

(佳木斯大學(xué)理學(xué)院，黑龍江 佳木斯 154007)

0 引 言

在基礎(chǔ)量子力學(xué)研究中，二維各向同性諧振子經(jīng)常被使用，在各個方面都得到了廣泛的研究，例如：波函數(shù)及概率的可視化演示[1-2]；電諧振本征值問題求解[3]；雙原子分子諧振子模型研究[4]；使用MATLAB軟件演示線性諧振子能級及波函數(shù)[5]；含時線性諧振子密度算符的研究[6]；漲落質(zhì)量的諧振子共振行為分析[7]；一維線性諧振子非幺正變換研究[8]；含時諧振子動力學(xué)研究[9]；一維線性諧振子能量的不變本征算符法[10]；諧振子能級在弱電場中的計算[11]；利用作圖方法研究一維線性諧振子的波函數(shù)和幾率密度[12]；非對易空間中帶電諧振子的能級分析[13]；線性諧振子的算符理論分析[14]；線性諧振子的能級和不確定關(guān)系研究[15]；線性諧振子熱力學(xué)性質(zhì)研究[16]；諧振子的數(shù)值計算研究[17]。本文旨在平面極坐標(biāo)系下對二維各向同性諧振子的能級分布、波函數(shù)、簡并度、宇稱等問題進(jìn)行詳細(xì)的研究，并于直角坐標(biāo)系的結(jié)論進(jìn)行比較，為進(jìn)一步的理解量子力學(xué)本征值問題的代數(shù)解法提供理論支持。

1 直角坐標(biāo)系下的二維各向同性諧振子能級分布和本征矢

(1)

(2a)

(2b)

(3a)

ψn1(x)=Hn1(αx)e-α2x2/2

(3b)

(3c)

ψn2(y)=Hn2(αy)e-α2y2/2

(3d)

ψn1n2(x,y)=ψn1(x)ψn1(y)

(4)

E=(n1+n2+1)?ω=(N+1)?ω=EN

(5)

式中N=n1+n2=0,1,2,…。易見N,n1,n2滿足以下的組合

n1=0，1，2，…，N

(6a)

n2=N，N-1，N-2，…，0

(6b)

所以可以得到能量的簡并度為(N+1)，且

(-1)n1+n2=(-1)N

(7)

N=0為基態(tài)，即n1=n2=0。

2 極坐標(biāo)系下的二維各向同性諧振子的能級分布和本征矢推導(dǎo)

在直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系下坐標(biāo)之間滿足

(8a)

易得

(8b)

(9)

ψ=R(ρ)eimφ

(10)

式中m=0,±1,±2,…。

當(dāng)坐標(biāo)做空間反演時，即(x,y)變?yōu)?-x,-y)，ρ保持不變，但角度φ變?yōu)棣?π，所以

ψ(ρ,ρ+π)=R(ρ)eim(φ+π)=(-1)mψ(ρ,φ)

(11)

即ψ(ρ,φ)具有(-1)m的宇稱，當(dāng)m為奇數(shù)時為奇宇稱，當(dāng)m為偶數(shù)時為偶宇稱。所以式(10)所滿足的哈密頓方程

(12)

易見R(ρ)可以表示為

(13)

所以在極值條件下，R(ρ)為

ρ→0，R(ρ)→ρ|m|

(14)

ρ→，R(ρ)～e-α2ρ2/2

(15)

對于非極值的情況表示為

R(ρ)=ρ|m|μ(ρ)e-α2ρ2/2

(16)

所以

ψ=ρ|m|μ(ρ)e-α2ρ2/2eimφ

(17)

所以在極坐標(biāo)系下，能級為EN，本征矢宇稱滿足(-1)N，且滿足

ρ|m|eimφ=ρ|m|(cosmφ+isinmφ)

(18)

μ(ρ)可以表示成ρ2的n次級數(shù)，且

N-|m|=2n

(19)

式中n=0,1,2,…。

取

ε=E/?ω

(20)

ξ=α2ρ2

(21)

所以μ表示為

(22)

當(dāng)ξ→0時，上式的解為

(23)

式中F=F(a,c,ξ)，具體表示成級數(shù)為

(24)

取a=-n，即F(a,c,ξ)截取為n次項(xiàng)，所以

(25)

ε=2n+|m|+1=N+1

(26)

E=(2n+|m|+1)?ω=(N+1)?ω

(27)

ψnm(ρ,φ)=|ρ|mF(-n,|m|+1,α2ρ2)e-α2ρ2/2eimφ

(28)

所以N,|m|,n滿足以下的組合為

N為偶數(shù)時

|m|=N,N-2,…,0

(29a)

n=0,1,…,N/2

(29b)

N為奇數(shù)時

|m|=N,N-2,…,1

(30a)

n=0,1,…,(N-1)/2

(30b)

從上邊的組合形式可以看出，當(dāng)|m|≥1，m的取值為|m|和-|m|兩個值，即N是偶數(shù)和奇數(shù)時，都有使得En的簡并度為N+1，即極坐標(biāo)系下的簡并度與直角坐標(biāo)系的相同。

3 結(jié) 論

通過以上推導(dǎo)可知，在平面極坐標(biāo)系下，二維各向同性諧振子的能級為E=(2n+|m|+1)?ω=(N+1)?ω，本征矢為ψnm(ρ,φ)=|ρ|mF(-n,|m|+1,α2ρ2)e-α2ρ2/2eimφ，簡并度為N+1，宇稱也和直角坐標(biāo)系的結(jié)果一樣，即表明坐標(biāo)系的選取不影響能級分布、宇稱、簡并度等物理量，而波函數(shù)的表示形式大有不同。另外，采用在不同坐標(biāo)系求解量子力學(xué)相關(guān)本征值問題對于更好的理解代數(shù)解法有很好的理論意義。