基于窗化法與新誤差估計方法改進(jìn)的BWGAD算法

王晨旭，伍 春

(1.西南科技大學(xué)信息工程學(xué)院，四川 綿陽 621000；2.內(nèi)江高級技工學(xué)校，四川 內(nèi)江 641000；3.西南科技大學(xué)國防科技學(xué)院，四川 綿陽 621000)

0 引言

符號同步是數(shù)字通信領(lǐng)域的一項關(guān)鍵技術(shù)，符號同步技術(shù)可以降低因時鐘頻率偏移、多普勒頻移以及發(fā)送端與接收端的傳播時延導(dǎo)致的采樣偏差[1].符號同步主要分為外同步和自同步兩種方法，采用外同步需要在發(fā)射端預(yù)先發(fā)送一段包頭來作為訓(xùn)練序列，這種同步方法需要占用一定的頻譜資源以及消耗額外的發(fā)射功率.自同步法不需要發(fā)送附加的已知數(shù)字序列，并且可以從待識別基帶信號獲得符號的最佳采樣點.本文研究的Gardner符號同步屬于自同步法，算法直接對信源序列進(jìn)行插值，最終插值輸出符號的最佳采樣點.Gardner有著諸多優(yōu)點，但依然存在收斂精度不夠、收斂速度較慢的現(xiàn)象.

K.H.Mueller等[2]提出了M&M算法，該算法的優(yōu)點是采樣率低，可應(yīng)用于三角波成型的傳輸系統(tǒng)，但對載波同步精度要求高且理論不太成熟，因此應(yīng)用受限.F.M.Gardner等[3]提出了Gardner算法，該算法不依賴于載波同步技術(shù)，解決了符號同步易受載波同步影響的問題.Gardner算法最終插值輸出2個點，插值采樣率低，因此，Gardner算法可應(yīng)用于高速調(diào)制傳輸系統(tǒng)的定時同步系統(tǒng).D.Kim等[4]提出的插值算法在高信噪比條件下可以提高定時精度，但在較低信噪比時性能不佳.F.J.Harris等[5]利用多相濾波器組對定時估計誤差偏差進(jìn)行修正，一定程度上改善了定時誤差性能，但該方法的定時精度依賴于多相濾波器組的個數(shù)，使得算法復(fù)雜度迅速增加.劉祖軍等[6]對匹配濾波器進(jìn)行插值，并改變匹配濾波器的群時延，該方法比文獻(xiàn)[5]取得了更好的定時同步效果.文獻(xiàn)[7]利用牛頓法逼近EM算法的最大極值點，提高了定時精度，但由于在逼近過程中需要不斷計算目標(biāo)函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)，致使算法計算量極大且算法延時也很大.文獻(xiàn)[7-10]將最速下降法用于EM算法的最大值近似求解，該方法降低了EM算法的計算量，但與Gardner定時同步算法相比計算量仍然很大，且不易于在高速的Farrow結(jié)構(gòu)中實現(xiàn).

上述算法對定時的精度有所提高，但依然存在計算量大等局限性.因此，本文基于窗化法對Gardenr算法的插值濾波器進(jìn)行了加窗處理，增強了插值器的阻帶衰減能力，提高了插值器的抗混疊性能；同時考慮到相鄰符號間的干擾問題，基于MMSE準(zhǔn)則對定時誤差檢測算法進(jìn)行改進(jìn)，降低了符號的定時同步誤差.綜合以上兩處改進(jìn)，提出了BWGAD(Blackman Window Gardner，BWGAD)算法，并仿真驗證了BWGAD算法具有更高的計算精度與收斂速度.

1 定時總體結(jié)構(gòu)

非協(xié)作通信系統(tǒng)盲解調(diào)器主要包括A/D、自動增益控制、載波頻率估計、粗解調(diào)、載波同步、信道估計、信道均衡、調(diào)制方式識別等，本文對符號同步算法做了研究，Gardner算法的定時同步系統(tǒng)結(jié)構(gòu)見圖1.

圖1 定時同步系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

完整的Gardner符號同步算法由插值濾波器(Inter Filter，IPF)、定時誤差檢測器(Timing Error Detector，TED)、環(huán)路濾波器(Loop Filter，LPF)、數(shù)控振蕩器(Number Control Osillator，NCO)組成.在定時同步環(huán)路中，IPF主要對基帶信號進(jìn)行重采樣，TED計算當(dāng)前重采樣信號的定時誤差，定時誤差通過LPF濾除部分噪聲和一些高頻分量后將環(huán)路濾波后的誤差信號發(fā)送到NCO處理并將結(jié)果輸出到插值器，插值器更新插值位置[3].本文針對插值濾波器和定時誤差檢測算法進(jìn)行改進(jìn)研究.

2 基于窗化法改進(jìn)的插值算法

為了提高定時同步系統(tǒng)的計算精度，本文對Gardner的4點拉格朗日插值器進(jìn)行加窗處理，通過窗函數(shù)來提高插值器的抗混疊性能，進(jìn)而達(dá)到提高算法的計算精度.

由定時同步系統(tǒng)框圖可知，經(jīng)A/D采樣后的離散信號插值輸出為

(1)

其中插值周期為Ti=T/2，插值器的輸出為：

i=kTiTs-m;

mk=kTiTs,μk=kTiTs-mk;

(2)

(3)

hI(n)=h(n)=hlp(n-u)w(n).

(4)

其中：hI為原Gardner插值基函數(shù)[3]；hlp為理想低通濾波器；w(n)為窗函數(shù)；u為時移因子；n為窗的長度.常見的窗函數(shù)有矩形窗、三角窗、海明窗、布萊克曼窗(Blackman)，考慮到Blackman窗幅值識別精度最高這一特點，本文選用布萊克曼窗函數(shù)，即Blackman窗函數(shù)，其主瓣寬度為12/n，阻帶最小衰減約為57 dB，阻帶最小衰減性能明顯優(yōu)于Gardner多項式插值濾波器，經(jīng)加窗處理后的插值基函數(shù)具有更好的抗混疊性能，可以有效地提高定時精度.

布萊克曼窗函數(shù)為

(5)

此外，布萊克曼窗函數(shù)的長度N值決定了I值的大小，而本文窗化法設(shè)計的有限長脈沖響應(yīng)濾波器可以靈活地增大I值，從而進(jìn)一步提高插值精度.

值得注意的是窗化法設(shè)計的FIR濾波器需要預(yù)先設(shè)置濾波器的階數(shù)N，但由于估計時延τ是一個連續(xù)變化的隨機變量，采用數(shù)字化處理的FIR濾波器必然會帶來量化誤差，所以不對濾波器進(jìn)行數(shù)字化處理，直接利用理想低通濾波器與窗函數(shù)的閉合式來精確地計算估計時延，即

(6)

窗函數(shù)的長度N決定了插值濾波器的抽頭系數(shù)I值的大小，窗化法可以靈活改變I值的大小，I值增大可以獲得更多的鄰近采樣點的幅值信息，進(jìn)一步提高了插值算法的計算精度，所以改進(jìn)算法的插值精度明顯優(yōu)于(3)式.又因為(3)式中經(jīng)量化的數(shù)字濾波器抽頭只能取到某些離散值，因而引入了量化誤差，由(6)式發(fā)現(xiàn)其中I值為一變量，不再限制于特定的量化值，可以獲得更高的插值精度.

定時的精度一定會受到克拉美羅界(CRB，Cramer Rao Bound)的約束，但實際系統(tǒng)中CRB[8]不易精確獲得.以定時時延估計的MCRB[9]為參考.設(shè)待估計的I/Q兩路時延參數(shù)為ν=[τ1，τ2]，估計結(jié)果為

(7)

具體公式：

(8)

(9)

(10)

由于x1(t)與x2(t)互不相關(guān)，所以其相關(guān)函數(shù)為0，故修正的克拉美羅界為

(11)

式中：τ表示當(dāng)前采樣點與最佳采樣點之間的時間延遲，通常τ∈[-0.50T，0.5T]，其中T為符號周期；BL=1/2LT，其中L為符號個數(shù)；Es/N0為信噪比.ζi為

(12)

(13)

(13)式是時間延遲的標(biāo)準(zhǔn)差的下限值.

3 基于MMSE準(zhǔn)則改進(jìn)的定時誤差估計方法

針對Gardner算法在小滾降系數(shù)時定時誤差較大這一局限性，文獻(xiàn)[12]對Gardner定時誤差檢測算法進(jìn)行了修正，該方法對降低定時誤差存在一定的作用，但是當(dāng)QPSK信號通過衛(wèi)星等衰落信道時，QPSK信號的幅度會因信道的衰落特性呈現(xiàn)出多值的現(xiàn)象.此時即使采樣精確，Gardner定時誤差算法計算出的誤差值仍不為零，所以在文獻(xiàn)[12]修正算法的基礎(chǔ)上有必要進(jìn)一步改進(jìn)以減小定時誤差.

由圖1定時同步實現(xiàn)框圖可知，接收端的QPSK信號為

(14)

其中：衛(wèi)星發(fā)送的周期為T的復(fù)數(shù)信號序列，可以用yi=ai+jbi表示；τ表示路徑時延；A表示衰落因子；gT(t)是發(fā)端成型濾波器(平方根升余弦滾降濾波器)；θ為載波信號相位θ∈[-π，+π]；c(t)是復(fù)高斯隨機過程.則經(jīng)匹配濾波后的輸出信號為

(15)

其中g(shù)R(t)是收端的平方根升余弦滾降濾波器，g(t)=gT(t)?gR(t)，n(t)=ω(t)?gR(t)是一個窄帶高斯隨機過程.x(t)離散后有

(16)

根據(jù)(16)式與Gardner定時誤差檢測原理，并結(jié)合最小均方誤差準(zhǔn)則(minimum mean-squared error，MMSE)，可推導(dǎo)出相鄰兩符號最佳采樣點與中間值的關(guān)系

(17)

(18)

(19)

(20)

4 仿真分析與結(jié)果

圖2通信鏈路以QPSK信號為輸入信號，符號個數(shù)設(shè)為1 000，收發(fā)端均采樣根升余閑滾降濾波器，滾降系數(shù)設(shè)為0.8，信道為理想高斯信道，信噪比設(shè)為10 dB，依先前經(jīng)驗將環(huán)路濾波器的阻尼系數(shù)ξ設(shè)為0.707，定時誤差估計曲線的增益Kd即定時誤差估計鑒相曲線在零值附近的斜率，可由(21)式算出.

(21)

仿真使用QPSK為輸入信號，分別對原Gardner算法與BVGAD算法進(jìn)行仿真研究.仿真參數(shù)設(shè)置：碼元速率為1 000 B，基帶信號采樣率fs為4 000 Hz，符號率偏差為0.5%，滾降系數(shù)α設(shè)定為0.8.

圖3為BWGAD定時環(huán)路的工作流程，第1步定時環(huán)路進(jìn)行初始化；第2步判斷數(shù)控振蕩器是否溢出產(chǎn)生時鐘，若溢出則進(jìn)行下一步，若沒有溢出數(shù)控振蕩器則繼續(xù)運行；第3步數(shù)控振蕩器中的小數(shù)間隔器計算出分?jǐn)?shù)間隔；第4步將數(shù)控振蕩器產(chǎn)生的整數(shù)倍的采樣時鐘與分?jǐn)?shù)間隔送入插值濾波器，插值濾波器對輸入信號進(jìn)行插值，最終輸出2個插值點，并將這2個插值點送入定時誤差檢測模塊，依這兩個插值點，定時誤差檢測模塊就可以計算出定時誤差，并將定時誤差送入環(huán)路濾波器；第5步環(huán)路濾波器對定時誤差進(jìn)行低通濾波，濾掉高頻成分與帶外噪聲，并計算出數(shù)控振蕩器的控制字，反饋給數(shù)控振蕩器.

圖2 BWGAD定時環(huán)路的仿真流程圖

圖3 BWGAD定時環(huán)路仿真的通信鏈路

為了證明本文BWGAD算法的正確性，該算法在不同起始時偏條件下分別繪制出分?jǐn)?shù)間隔曲線，如圖4所示.

(a)起始時偏為0.05，(b)起始時偏為0.1，(c)起始時偏為0.15，(d)起始時偏為0.2

圖4表明，當(dāng)起始時偏在0～0.15T范圍內(nèi)以0.05T遞增時，分?jǐn)?shù)間隔隨著起始時偏的增大曲線收斂時所對應(yīng)的點數(shù)逐漸增大即收斂速度逐漸變慢，但當(dāng)起始時偏設(shè)為0.2T時收斂速度又有所回升，所以算法的收斂速度與起始時偏不成正相關(guān)，其次分?jǐn)?shù)間隔是用來表示插值點與最佳采樣點之間的距離大小，當(dāng)起始時偏在0.05～0.2T即(0.2-0.8)Ts范圍內(nèi)以0.05T逐漸遞增時，對應(yīng)的分?jǐn)?shù)間隔應(yīng)為0.8，0.6，0.4，0.2Ts，但無論起始時偏如何選取，分?jǐn)?shù)間隔曲線最終都會收斂，而區(qū)別在于收斂時分?jǐn)?shù)間隔值的大小發(fā)生了變化，間接驗證了算法的正確性.

考慮信噪對分?jǐn)?shù)間隔的影響，將BWGAD算法與Gardner算法在相同信噪比下進(jìn)行仿真分析，仿真結(jié)果如圖5與6所示.圖5與6仿真結(jié)果表明，15 dB時BWGAD算法與Gardner算法的分?jǐn)?shù)間隔都有一定程度的波動，但BWGAD算法的分?jǐn)?shù)間隔波動幅度要遠(yuǎn)小于Gardner算法，所以穩(wěn)定性更好.

圖5 Gardner分?jǐn)?shù)間隔15 dB仿真結(jié)果

圖6 BWGAD分?jǐn)?shù)間隔15dB仿真結(jié)果

為了更直觀更精確展示BWGAD算法的穩(wěn)定性優(yōu)于Gardner算法，分別給出信噪比在15，25 dB條件下BWGAD算法與Gardner算法分?jǐn)?shù)間隔的統(tǒng)計值(見表1).

表1 分?jǐn)?shù)間隔統(tǒng)計特性

表2 環(huán)路濾波系數(shù)

表1所示的峰值、方差、均值是經(jīng)過多次計算求平均所獲得，在相同信噪比下BWGAD算法的峰值更小，說明分?jǐn)?shù)間隔波動更小.對比二者的方差發(fā)現(xiàn)，相同信噪比下BWGAD算法的方差小于Gardner算法，因此BWGAD算法的穩(wěn)定性更好，其次BWGAD算法的均值更加符合起始時偏0.1時的分?jǐn)?shù)間隔值為0.6.

為研究環(huán)路的自由振蕩角頻率ωn的大小對環(huán)路收斂速度的影響，對ωn分別取值為0.000 16，0.000 32，0.000 64，0.000 96，那么不同自由振蕩角頻率對應(yīng)的環(huán)路濾系數(shù)為C1，C2如表2所示.

圖7是BWGAD算法在未加噪聲、未加起始時偏，自由振蕩角頻率仿真出的分?jǐn)?shù)間隔曲線.

(a)ωn=0.000 16，(b)ωn=0.000 32，(c)ωn=0.000 64，(d)ωn=0.000 96

由圖7所示，圖7(a)在第470個插值點處開始收斂，圖7(b)在第230個插值點處開始收斂，圖7(c)在第150個插值點處開始收斂，圖7(d)在第120個插值點處開始收斂，4幅圖最終都會收斂，但環(huán)路的捕獲速度隨著自由振蕩角頻率在一定范圍內(nèi)變大時有所提高.

為進(jìn)一步分析相同信噪比下分?jǐn)?shù)間隔在不同起始時偏下收斂后的穩(wěn)定性能，令信噪比為25 dB，取分?jǐn)?shù)間隔曲線收斂后的1 000～2 000點的值如圖8所示.

(a)起始時偏為0.05，(b)起始時偏為0.1，(c)起始時偏為0.15，(d)起始時偏為0.2

收斂后的分?jǐn)?shù)間隔曲線會在一個均值附近有著±0.03的波動，波動已經(jīng)很小，此時可以認(rèn)為分?jǐn)?shù)間隔已經(jīng)收斂.為了更加直觀看出分?jǐn)?shù)間隔收斂后的統(tǒng)計特性，表3給出了算法收斂后分?jǐn)?shù)間隔的均值、方差以及峰值.

表3 分?jǐn)?shù)間隔統(tǒng)計特性

表3中分?jǐn)?shù)間隔均值的計算結(jié)果與理論分析結(jié)果基本一致，因為符號周期與插值輸入信號的采樣周期為4倍的關(guān)系即T=4Ts，所以起始時偏為0.05T也就是0.2Ts時，分?jǐn)?shù)間隔的理論計算結(jié)果應(yīng)該是0.8Ts.

最后使用BWGAD算法對QPSK信號定時同步后的星座圖來驗證BWGAD算法的同步性能，圖9為BWGAD算法對在信噪比為10，15，20 dB，起始時偏為0.2時QPSK信號定時同步后的星座圖.

圖9 QPSK信號不同信噪比BWGAD同步后星座

由圖9可知，當(dāng)信噪比為10 dB時，星座點之間的距里已經(jīng)很大，信號點之間沒有一點交疊現(xiàn)象，此時定時同步系統(tǒng)已經(jīng)具有較好的性能，而隨著信噪比的增加，信號點之間的歐式距里越來越大，此時定時性能更佳，所以信噪比對Gardner定時同步系統(tǒng)的性能有著一定的影響，但當(dāng)信噪比大于10 dB時定時同步系統(tǒng)已經(jīng)可以很好地捕獲定時誤差.

5 結(jié)論

本文介紹了Gardner算法實現(xiàn)的流程，以及定時同步環(huán)路各環(huán)節(jié)涉及的算法，如插值算法、誤差檢測算法等，并在Matlab中完成Gardner算法的仿真，以分?jǐn)?shù)間隔參數(shù)為例，通過對比不同起始時偏、不同信噪比、不同環(huán)路帶寬等變量下的分?jǐn)?shù)間隔曲線，驗證了Gardner算法的正確性.最后基于窗化法對Gardner算法中的插值方法進(jìn)行改進(jìn)，并給出一種新的定時誤差估計方法，結(jié)合兩種改進(jìn)方法提出本文的BWGAD算法，并對BWGAD算法與Gardner算法進(jìn)行仿真分析，最后仿真驗證了BWGAD算法具有更高的定時同步精度與速度.