逐層整合 把握不變
——數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)的實(shí)踐和思考

廣東省東莞市南城中學(xué)(523078) 曾 慧

1 問(wèn)題提出

面對(duì)短暫緊張的中考復(fù)習(xí),比較普遍的做法是,教師面面俱到, 一味灌輸. 對(duì)“雙基”走過(guò)場(chǎng), 對(duì)“重點(diǎn)”似撓癢, 對(duì)“難點(diǎn)”過(guò)鴨背. 學(xué)生獨(dú)立思考時(shí)間少,空間小. 這種復(fù)習(xí),會(huì)造成,在考試時(shí),試題所涉及的知識(shí)與方法,教師全部都講過(guò),但學(xué)生錯(cuò)誤率極高. 我們應(yīng)意識(shí)到,中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)不是簡(jiǎn)單的知識(shí)重復(fù),而是知識(shí)再認(rèn)識(shí)、能力再提高、思維再升華的過(guò)程.

2 舉例說(shuō)明

2.1 整合相關(guān)知識(shí),把握不變

數(shù)學(xué)知識(shí)包括概念、定義、性質(zhì)、法則、定理等. 整合相關(guān)知識(shí)就是依據(jù)知識(shí)之間的聯(lián)系,進(jìn)行整合記憶,目的就是通過(guò)分析相關(guān)的知識(shí),掌握它們的聯(lián)系與區(qū)別,準(zhǔn)確理解內(nèi)涵與外延.

如: 一元一次方程的一般形式:ax+b=0(a ?=0);一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a ?=0).

例2.1.1關(guān)于x的方程(a+1)x2+2x+3=0 是一元二次方程,則a的取值范圍____.

此題正確率較高. 但學(xué)生會(huì)忽略,當(dāng)a= 0,b ?= 0 時(shí),是一元一次方程. 如:

例2.1.2關(guān)于x的方程(m2-1)x2+(m-1)x+2=0,當(dāng)m____時(shí)是一元一次方程;當(dāng)m____時(shí)是一元二次方程.

若在復(fù)習(xí)時(shí), 沒(méi)有整合處理, 領(lǐng)會(huì)概念的內(nèi)涵與外延,答題時(shí)容易混淆, 答錯(cuò). 同時(shí)聯(lián)系一次函數(shù)一般形式:y=kx+b(k ?=0);二次函數(shù)一般形式:y=ax2+bx+c(a ?=0);

例2.1.3已知函數(shù)y=(k2-9)x2+(k+3)x+17.

①當(dāng)k為何值時(shí)該函數(shù)為一次函數(shù)? 并求函數(shù)的解析式.

②當(dāng)k為何值時(shí)該函數(shù)為二次函數(shù)?

對(duì)此類(lèi)相關(guān)知識(shí)應(yīng)逐層整合,注意異同點(diǎn)辨析,加強(qiáng)通性通法的訓(xùn)練,把握“定義”不變.

2.2 整合方法,把握不變

初中常用數(shù)學(xué)方法有: 配方法,換元法,消元法,待定系數(shù)法等. 逐層整合,同種方法,在不同情境的使用. 如: 配方法. 常用于解一元二次方程,求二次函數(shù)頂點(diǎn)(或?qū)ΨQ(chēng)軸). 對(duì)這類(lèi)題,我們學(xué)生一般都能運(yùn)用自如. 但會(huì)忽略,以下幾種需要使用配方法解決的題目.

例2.2.1已知關(guān)于x的一元二次方程:x2+(m+3)x+m+1=0. 求證: 無(wú)論m為何值,原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

這類(lèi)題,學(xué)生知道要用根的判別式,但難得滿(mǎn)分,原因是不會(huì)使用配方法,將判別式配成非負(fù)數(shù)(完全平方式)加某正數(shù)的形式. 同樣若將題目中方程等號(hào)右邊的0 改為y.

例2.2.2已知二次函數(shù)y=x2+(m+3)x+m+1.

求證: 無(wú)論m為何值,拋物線總與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).

與1 一樣,用配方法去證明b2-4ac≥0. 配方法還會(huì)以閱讀理解的形式出現(xiàn)在中考卷上.

例2.2.3使得函數(shù)值為零的自變量的值稱(chēng)為函數(shù)的零點(diǎn). 例如,對(duì)于函數(shù)y=x-1,令y= 0,可得x= 1,我們就說(shuō)1 是函數(shù)y=x-1 的零點(diǎn).

已知函數(shù)y=x2-2mx-2(m+3)(m為常數(shù)).

①當(dāng)m=0 時(shí),求該函數(shù)的零點(diǎn);

②證明: 無(wú)論m取何值,該函數(shù)總有兩個(gè)零點(diǎn).

例2.2.4在RtΔABC中,∠C=90°,BC+AC= 4,求RtΔABC面積的最大值.

設(shè)BC=x,則AC= 4-x,有RtΔABC面積用配方法, 得最值. 這是一道幾何代數(shù)的結(jié)合題,中考常出現(xiàn)以此題為模型的變換. 無(wú)論以何種形式出現(xiàn),把握“方法”不變.

2.3 整合數(shù)學(xué)思想,把握不變

初中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想有: 數(shù)形結(jié)合思想、方程與函數(shù)思想、分類(lèi)討論思想、建模思想及化歸與轉(zhuǎn)化思想等. 數(shù)學(xué)某些知識(shí)所藴含的思想是一致的,如: 數(shù)形結(jié)合思想,在復(fù)習(xí)中,可將所學(xué)函數(shù)的圖象整合,便于記憶運(yùn)用.

函數(shù)增減性,如y=kx+b,當(dāng)k ＞0,y隨x的增大而增大;當(dāng)k ＜0,y隨x的增大而減小. 這性質(zhì)可通過(guò)畫(huà)圖,數(shù)形結(jié)合分析即得.

例2.3.1若點(diǎn)(-2,y1),(-1,y2),(1,y3)在反比例函數(shù)的圖像上,下列結(jié)論正確的是( )

A.y1＞y2＞y3B.y2＞y1＞y3

C.y3＞y1＞y2D.y3＞y2＞y1

若采用數(shù)形結(jié)合,畫(huà)圖即得答案,下題也一樣.

例2.3.2正比例函數(shù)y1=k1x和反比例函數(shù)y2=的圖象交于A(-1,2),B(1,-2)兩點(diǎn),若y1＜y2,則x的取值范圍是____.

例2.3.3已知拋物線y=-x2+ 2x+ 2, 它的對(duì)稱(chēng)軸是____, 頂點(diǎn)坐標(biāo)____; 若該拋物線上兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2) 的橫坐標(biāo)滿(mǎn)足x1＞x2＞1, 試比較y1與y2的大小.

此題畫(huà)圖易得答案. 在復(fù)習(xí)時(shí),逐層整合,堅(jiān)持畫(huà)圖,從左往右看,上升,即y隨x的增大而增大,下降,則y隨x的增大而減小. 永遠(yuǎn)把握“思想”不變.

2.4 整合相關(guān)圖形,把握不變

很多圖形是由基本三角形平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等方式形成.復(fù)習(xí)時(shí),可逐層整合,讓學(xué)生感知、體驗(yàn)變換的特點(diǎn),在萬(wàn)變中,把握不變. 如: 解直角三角形的應(yīng)用.

例2.4.1圖1 熱氣球的探測(cè)器顯示,從熱氣球A看一棟高樓頂部B的仰角為30°, 看高樓的底部C的俯角為60°,熱氣球與高樓的水平距離AD為120m,這棟高樓有多高?

在RtΔABD中, ∠BAD= 30°,AD= 120, 解直角三角形, 求出BD; 類(lèi)似地在RtΔACD中, ∠CAD= 60°,AD= 120,求CD,相加即可. 學(xué)生能順利完成此題,但以下的題完成的卻不是那么理想.

例2.4.2一測(cè)量愛(ài)好者,在海邊測(cè)量位于正東方向的小島高度AC,如圖2 所示,他先在點(diǎn)B測(cè)得山頂點(diǎn)A的仰角為30°,然后向正東方向前行62 米,到達(dá)D點(diǎn),在測(cè)得山頂點(diǎn)A的仰角為60°(B、C、D三點(diǎn)在同一水平面上,且測(cè)量?jī)x的高度忽略不計(jì)). 求小島高度AC.

圖2 可看成由圖1 旋轉(zhuǎn)疊加而成. 與圖1 一樣,兩個(gè)直角三角形有一條公共邊,求出公共邊AC是關(guān)鍵. 由于是特殊角,所以除上述做法外,還可用外角性質(zhì)來(lái)求解.

例2.4.3如圖3,A、B兩城市相距100km,現(xiàn)計(jì)劃在這兩座城市間修筑一條高速公路(即線段AB),經(jīng)測(cè)量,森林保護(hù)中心P在A城市的北偏東30°和B城市的北偏西45°的方向上. 已知森林保護(hù)區(qū)的范圍在以P為圓心,50km 為半徑的圓形區(qū)域內(nèi). 請(qǐng)問(wèn)計(jì)劃修筑的這條高速公路會(huì)不會(huì)穿越保護(hù)區(qū),為什么?

這題涉及直線與圓的關(guān)系,需過(guò)P作PD ⊥AB. 圖形可看作是由圖1 旋轉(zhuǎn)而成,兩個(gè)有公共邊PD的直角三角形.求PD的長(zhǎng)度是解題關(guān)鍵.

例2.4.4如圖4, 梯形ABCD是攔水壩的橫斷面圖, 鉛直高度DE與水平寬度CE的比i= 1 :∠B=60°,AB=6,AD=4,求橫斷面ABCD的面積.

作輔助線將梯形分成兩個(gè)有公共邊的直角三角形和一個(gè)矩形,可看作由圖1 旋轉(zhuǎn),后分開(kāi),中間插入矩形形成的圖形. 同樣公共邊(梯形的高)的長(zhǎng)度是解題關(guān)鍵.

為什么學(xué)生答2,3,4 題的正確率不如題1,原因是學(xué)生沒(méi)有找到答題關(guān)鍵. 在復(fù)習(xí)時(shí),應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生,分析圖形,辨別是由基本圖形怎樣變換得來(lái),尋找直角三角形,發(fā)現(xiàn)聯(lián)系. 把握“公共邊(角)或等邊(角)”不變.

2.5 整合相同或相近已知,把握不變

某些題目的的已知相同或相近,雖要求證的結(jié)論不一樣,但藴含的思想與方法是一致的,可把這些習(xí)題整合,通過(guò)比較,發(fā)現(xiàn)本質(zhì),把握不變.

例2.5.1如圖5,ΔABD,ΔAEC都是等邊三角形. 求證:BE=DC.

此題有多種解法,常見(jiàn)的有兩種: 運(yùn)用三角形全等,或用旋轉(zhuǎn).

例2.5.2如圖6,等邊ΔABC與等邊ΔCDO,連接AO,E、F、M、N分別是AO、OD、BD、AB的中點(diǎn),判斷四邊形EFMN的形狀,說(shuō)明理由.

此題有關(guān)中點(diǎn)四邊形的證明,很多學(xué)生會(huì)證明它是平行四邊形, 忽略題1 的結(jié)論,AD=BO, 即有EF=MF, 結(jié)論: 菱形.

圖形變了,本質(zhì)不變. 許多壓軸題就是以圖5 為基本型的.

例2.5.3在ΔABC中,AB=AC, ∠BAC=α(0° ＜α ＜60°), 將線段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BD.

①如圖7,直接寫(xiě)出∠ABD的大小(用含α的式子表示);

②如圖9,∠BCE=150°,∠ABE=60°,判斷ΔABE的形狀并加以證明;

③在②的條件下,連接DE,若∠DEC=45°,求α的值.

按要求作圖,運(yùn)用上例的方法是能順利求解的.

掌握通法,把握“思想方法”不變. 學(xué)會(huì)從變化中掌握知識(shí)之間的聯(lián)系,充分挖掘題目的潛在功能,弄懂一題,學(xué)會(huì)一片. 復(fù)習(xí)少追求題目的多樣,應(yīng)注重問(wèn)題的理解,思維的深刻.

例2.5.4如圖9,四邊形ABCD,四邊形CEFG都是正方形,點(diǎn)B、C、E在同一直線上. 求證:BG=DE

與1 相近,可用相同的方法證明. 整合用同類(lèi)思想方法的題目,讓學(xué)生把握“條件”不變,“思想方法”也不變.

3 結(jié)束語(yǔ)

教學(xué)實(shí)踐證明,復(fù)習(xí)要堅(jiān)持以學(xué)生為本,按學(xué)生思維方式,將數(shù)學(xué)知識(shí)、思想與方法,逐層整合,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律,形成解法體系,把握不變應(yīng)萬(wàn)變.