從具體到抽象,讓思維螺旋上升
——一道中考試題的教學(xué)設(shè)計(jì)

江蘇省南通市海門區(qū)東洲國際學(xué)校(226100) 蔡 增

近期,讓學(xué)生訓(xùn)練了武漢2018年數(shù)學(xué)中考第24 題,從批閱情況來看,第(3)問的失分較多,主要體現(xiàn): (1)由于線段CO長含參數(shù)m,運(yùn)算力的要求較高,無從下手; (2)對(duì)于符合條件的點(diǎn)有兩個(gè)無法理解;(3)理解了兩個(gè)點(diǎn)存在的情況,但只是考慮了當(dāng)ΔAPD∽ΔBCP時(shí),所得一元二次方程的根的判別式Δ = 0,當(dāng)Δ＞0,根的存在情況未考慮. 針對(duì)以上問題,計(jì)劃評(píng)講時(shí),考慮給予問題具體數(shù)據(jù),逐步呈現(xiàn)能夠反映出p的不同個(gè)數(shù)的不同情況,通過學(xué)生比較與歸納發(fā)現(xiàn)此類問題的基本規(guī)律. 以此為基礎(chǔ),再引入?yún)?shù),順勢(shì)而為,讓學(xué)生經(jīng)歷拓展與編題,進(jìn)而完善學(xué)生知識(shí)發(fā)展的厚度.

1 原題呈現(xiàn)

拋物線L:y=-x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(0,1),與它的對(duì)稱軸直線x=1 交于點(diǎn)B.

(1)直接寫出拋物線L的解析式

(2)如圖1,過定點(diǎn)的直線y=kx-k+4(k ＜0)與拋物線L交于點(diǎn)M、N. 若ΔBMN的面積等于1,求k的值

(3)如圖2,將拋物線L向上平移m(m ＞0)個(gè)單位長度得到拋物線L1,拋物線L1與y 軸交于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作y軸的垂線交拋物線L1于另一點(diǎn)D.F為拋物線L1的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn),P為線段OC上一點(diǎn). 若ΔPCD與ΔPOF相似,并且符合條件的點(diǎn)P恰有2 個(gè),求m的值及相應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)

圖1

圖2

2 教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 題組訓(xùn)練,方法提煉

(1)AD=2,BC=1,AB=4;

(2)AD=2,BC=1,AB=3;

(3)AD=2,BC=1,AB=

(4)AD=2,BC=1,AB=2;

圖3

解析: (1)設(shè)AP=x,則BP=4-x, 若ΔAPD∽ΔBPC; 則若ΔAPD∽ΔBCP,∴x=2±;∴AP=或

解析: (2) 設(shè)AP=x, 則BP= 3- x, 若ΔAPD∽ΔBPC,則;∴x= 2. 若ΔAPD∽ΔBCP,; ∴x1= 1,x2= 2,∴AP=1 或2.

解析: (3)設(shè)AP=x,則BP=-x,若ΔAPD∽ΔBPC, 則; ∴x=若ΔAPD∽ΔBCP,; ∴x1=

按：“虋”，涵芬樓、三家本原作“釁”。“虋”字誤錄?！疤姟弊趾庇M，音mén，義為赤粱粟，乃谷的良種。《爾雅·釋草》：“虋，赤苗。”郭璞注：“今之赤粱粟。”明李時(shí)珍《本草綱目·谷二·黍》：“赤黍曰虋。”“兇釁”謂禍患、禍亂?！逗鬂h書·隗囂傳論》：“夫功全則譽(yù)顯，業(yè)謝則釁生?！痹o(jì)君祥《趙氏孤兒》第三折：“如今削除了這點(diǎn)萌芽，方才是永無后釁?！?/p>

解析: (4) 設(shè)AP=x, 則BP= 2- x, 若ΔAPD∽ΔBPC, 則若ΔAPD∽ΔBCP,, ∴x無解;

思考: (1)當(dāng)ΔAPD∽ΔBPC情況下,點(diǎn)P是否必存在? 當(dāng)ΔAPD∽ΔBCP情況下,點(diǎn)P是否必存在?

(2)在ΔAPD與ΔBPC相似情況下,說說點(diǎn)P個(gè)數(shù)的變化取決于哪種相似的情況下.

設(shè)計(jì)說明: 在具體數(shù)據(jù)背景下, 體驗(yàn)相似的分類及點(diǎn)P個(gè)數(shù)的變化, 從以上四種情況下, 可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)ΔAPD∽ΔBPC時(shí),必存在一個(gè)點(diǎn)p,當(dāng)ΔAPD∽ΔBCP時(shí),點(diǎn)P的存在個(gè)數(shù),由所對(duì)應(yīng)的一元二次方程根的情況來決定,尤其對(duì)于(2)(3)兩種情況,雖然都存在兩個(gè)不同的點(diǎn)P,但情況是不一樣的,一是一元二次方程出現(xiàn)兩個(gè)等根,二是在一元二次方程出現(xiàn)兩個(gè)不等根時(shí),出現(xiàn)與前一種情況雷同的位置. 因此當(dāng)點(diǎn)P的位置有且只有兩個(gè)時(shí),同樣需分兩種可能剖析. 在此基礎(chǔ)上也可追問學(xué)生,當(dāng)P點(diǎn)位置有且只有一個(gè)時(shí),情況有如何?

2.2 參數(shù)引入,夯實(shí)經(jīng)驗(yàn)

(5)如圖3, 在梯形ABCD中,AD//BC, ∠A= ∠B=90°,AD= 2,BC= 1,AB=m. 點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn),若ΔAPD與ΔBPC相似,符合條件的點(diǎn)p,恰好只有2 個(gè),求m的值.

解析: 設(shè)AP=x,則BP=m-x

①若ΔAPD∽ΔBPC,則. ∴必存在一個(gè)點(diǎn)P.

②若ΔAPD∽ΔBCP,∴x2-m+2 =0;當(dāng)Δ=m2-8 = 0 時(shí),則m=(負(fù)值已舍)

此時(shí)x=與①中x的值不等, 符合題意. 當(dāng)Δ =m2-8＞0 時(shí), 若滿足題意, 則一元二次方程x2-m+2 = 0 的兩根中, 必有一根為x=, 代入方程,可求m=3(負(fù)值已舍).

綜上所述,m=或3.

2.3 類比研究,水到渠成

對(duì)于原題中的第(3)問,可以轉(zhuǎn)化為以下問題:

(6) 在梯形ABCD中,AD//BC, ∠A= ∠B= 90°,AD= 2,BC= 1,AB=m+1. 點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn),若ΔAPD與ΔBPC相似,符合條件的點(diǎn)p,恰好只有2 個(gè),求m的值. (過程同上,不再敘述)

2.4 變式拓展,提升思維

(7)如圖3, 在梯形ABCD中,AD//BC, ∠A= ∠B=90°,AD= 3BC, 點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn), 若ΔAPD與ΔBPC相似, 符合條件的點(diǎn)p, 恰好只有2 個(gè), 求的值.

設(shè)計(jì)說明: 把(2)(3)問題中的上下底長由具體數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為線段之間的比值,關(guān)鍵考察學(xué)生的設(shè)參意識(shí)及含參一元二次方程的運(yùn)算能力,進(jìn)一步提升學(xué)生思考問題與解決問題的能力.

2.5 自主編題,動(dòng)態(tài)生成

(8) 如圖4, 在矩形ABCD中, 點(diǎn)E,F分別在邊AB,BC上,且AE=AB,將矩形沿直線EF折疊,點(diǎn)B恰好落在AD邊上的點(diǎn)P處,連接BP交EF于點(diǎn)Q.

①求∠ABP的度數(shù);

③若CD邊上有且只有2 個(gè)點(diǎn)G, 使ΔGPD與ΔGFC相似,請(qǐng)直接寫出的值.

圖4

設(shè)計(jì)說明: 在問題(7)的背景下,以矩形為背景,滲透折疊及面積表示,進(jìn)而形成梯形中相似存在性問題,讓知識(shí)得到進(jìn)一步的綜合,形成中檔題型,讓學(xué)生的學(xué)會(huì)再復(fù)雜圖形中尋找基本模型.

3 教學(xué)感悟

3.1 難點(diǎn)突破需要層層推進(jìn)

難點(diǎn)問題如何讓學(xué)生快速內(nèi)化? 這是每一個(gè)教師在教學(xué)過程中存在的困惑. 如何把問題知識(shí)點(diǎn)靠近學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū),如何讓熟悉知識(shí)得到生長,就需要教師精心設(shè)計(jì)出問題鏈,讓課堂中的每一個(gè)學(xué)生經(jīng)歷探究、歸納、升華的過程,讓每一個(gè)學(xué)生明白問題的本質(zhì),從而達(dá)到讓每一個(gè)學(xué)生腦子留痕的效果.

3.2 一題多變,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)力

問題的層次性,讓不同的學(xué)生在學(xué)力上得到不同的發(fā)展,問題的延續(xù)性,易于激發(fā)學(xué)生探究的熱情,在探究過程中,經(jīng)驗(yàn)積累得到很好的落實(shí). 如本節(jié)課中,問題(7)(8)的設(shè)置,就能很好地拓展學(xué)生思維,讓優(yōu)秀的學(xué)生更加優(yōu)秀. 同時(shí),這樣的一題多變體驗(yàn),更是鼓勵(lì)學(xué)生自主編題,創(chuàng)造性發(fā)現(xiàn)問題的最佳時(shí)機(jī). 當(dāng)然,課堂效率的提高、學(xué)生自我的成就感、學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性也就應(yīng)運(yùn)而生.

3.3 一題一課的踐行

受本節(jié)課啟發(fā),我們平時(shí)的教學(xué)過程中,不妨選擇一道有價(jià)值的題目或材料與學(xué)生一起研究,一起挖掘其中的學(xué)習(xí)線索,一起發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì). 對(duì)于學(xué)生來講,何嘗不是一次頭腦風(fēng)暴. 反道而行之,我們也可讓問題開放設(shè)計(jì),一起體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的生成與組合,一起欣賞同學(xué)應(yīng)答的精彩,真正讓我們的數(shù)學(xué)課堂充滿數(shù)學(xué)味.