“基于素養(yǎng),能力立意”引領(lǐng)下的思維培養(yǎng)
——運動軌跡為圓的問題常見類型

浙江省寧波市鎮(zhèn)海區(qū)仁愛中學(xué)(315200) 鄧 俊

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》修訂組提出了六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),即數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析. 作為核心素養(yǎng)之一的數(shù)學(xué)抽象,鮑建生教授曾在《高中數(shù)學(xué)課程標準修訂中若干問題》一文中指出,其有以下四個方面的表現(xiàn): 形成數(shù)學(xué)概念和規(guī)則、形成數(shù)學(xué)命題與模型、形成數(shù)學(xué)方法與思想、形成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系. 由此可見形成數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中重要的抽象,它的教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生抽象能力的重要環(huán)節(jié). 如何讓學(xué)生利用模型解決涉及動點的幾何最值問題,這類問題綜合性強、難度大,能全面考察學(xué)生對平面幾何問題的解決能力,各省市中考時常將其作為壓軸題. 解決這類問題最常用的一種方法是: 首先尋找動點的運動路徑,在一類運動路徑為圓的問題中難點往往在于如何發(fā)現(xiàn)圓,而有了圓以后問題也可以變得更為豐富. 既可以是線段的最值問題,也可以是角度,面積等常見幾何量的問題. 下面就初中階段常見的圓軌跡做歸納整理.

1 定點定長——圓軌跡

例1 如圖1, 等腰直角ΔABC中, ∠ABC= 90°,AB=CB=2,CD=求∠BAD的范圍.

圖1

圖2

分析: 因為CD=所以點D在以C為圓心,為半徑的圓上(如圖2). 當(dāng)直線AD與⊙C相切時,∠BAD取到最值. 又因為2CD=CA所以當(dāng)∠ADC= 90°時,∠CAD=30°,所以15°≤∠BAD≤75°.

小結(jié): 到定點的距離等于定長的點的軌跡為圓,而題目中的呈現(xiàn)方式往往會給出定點和定長,隱去它的軌跡. 解答時將其軌跡畫出,可以使得解題變得更加直觀. 當(dāng)有了圓軌跡之后,問題也可以變得更加豐富,可以求線段AD的最值,也可以求ΔACD面積的最大值等等問題.

例2在矩形ABCD中,AD= 6,AB= 6+,E是AB邊上的一點,且AE=AD,P是線段CD上一點,連接PE,將矩形沿著PE折疊,點B、C分別落在G、F處,當(dāng)點P從點C移動到點D時,點G經(jīng)過的路徑長為_______.

例2 圖

圖3

圖4

圖5

分析: (如圖3)因為折疊的過程中GE=BE=所以點G在以E為圓心,為半徑的圓弧上. 點P在線段CD上從C移動到點D的過程中,當(dāng)點P在C點時(如圖4) 點G在G′的位置, 由題意得:EB=,CB= 6,∠B= 90°得出∠CEB= 60°, 則∠GEA= 60°. 點P在點D時(如圖5) , ∠PEB= 120°, 則∠AEG= 90°, 所以整個弧的圓心角是150°, 那么點G經(jīng)過的路徑長為:

小結(jié): 本題是到定點的距離等于定長的點的軌跡為圓弧而不是圓,主要是要找出圓弧的起點和終點然后求出圓心角,這樣圓弧的路徑長就迎刃而解.

2 定弦張角——圓軌跡

例3如圖6, 在平面直角坐標系中,O為原點, 點A(-2,0), 點B(0,2), 點E, 點F分別為OA,OB的中點.若正方形OEDF繞點O順時針旋轉(zhuǎn),得正方形OE′D′F′,記旋轉(zhuǎn)角為α. 若直線AE′與直線BF′相交于點P,求點P的縱坐標的最大值.

圖6

圖7

分析: 如圖6, 當(dāng)正方形旋轉(zhuǎn)時, ΔBOF′可以由ΔAOE′繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到, 所以BF′⊥AE′, 即∠APB= 90°恒成立,AB=是定值, 所以點P在以AB為直徑的圓上運動. 要求點P縱坐標的最大值, 即求∠E′AO的最大值, 因為E′的以O(shè)為圓心, 1 為半徑的圓上,當(dāng)AE′與⊙O相切時,∠E′AO最大為30°,此時點P與點D′重合(如圖7),所以AP=點P的縱坐標為

小結(jié): 此題可以看成相似等腰直角三角形(ΔAOB、ΔEOF)的繞直角頂點旋轉(zhuǎn)問題,那么點P為對應(yīng)點連線的交點,此時點P是兩三角形(ΔAOB、ΔE′OF′)外接圓的交點. 此題也可以看成兩個全等三角形(ΔAOE′、ΔBOF′)旋轉(zhuǎn)90°的問題,那么點P為對應(yīng)邊所在直線的交點,顯然對應(yīng)邊也互相垂直,所以對于線段AB的張角∠APB= 90°,點P在以AB為直徑的圓上. 此題點P運動軌跡圓弧所對的圓周角∠PAO有一定的范圍,所以點P的圓弧有一定的度數(shù)范圍. ∠PAO最大為30°,所以此時點P的縱坐標最大.

例4如圖8,ΔABC、ΔEFG均是邊長為2 的等邊三角形,點D是邊BC、EF的中點,直線AG、FC相交于點M.當(dāng)ΔEFG繞點D旋轉(zhuǎn)時,求線段BM長的最小值.

圖8

圖9

分析: 如圖9, 連結(jié)DA,DG, 在正ΔEFG旋轉(zhuǎn)的過程中, ΔDFC可以由ΔDGA繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°, 并縮小倍得到,所以CF⊥AG,即∠AMC= 90°恒成立,AC= 2 是定值,所以點M在以AC為直徑的圓上,那么問題就轉(zhuǎn)化為圓外點到圓上點距離的最值問題了, 易得BM的最小值為

小結(jié): 此題可以看成兩全等直角三角形(ΔADC、ΔGDF) 繞直角頂點旋轉(zhuǎn)問題, 點M為對應(yīng)點連線的交點,點M是兩個三角形(ΔADC、ΔGDF)外接圓的交點. 此題也可以看成兩相似等腰三角形(ΔADG、ΔCDF)繞頂點旋轉(zhuǎn)90°的問題,那么點M為對應(yīng)邊所在直線的交點,顯然對應(yīng)邊也互相垂直,所以對于線段AC的張角∠AMC固定為90°,那么點M的軌跡為以AC為直徑的圓.

3 定圓變換——圓軌跡

例5在平面直角坐標系內(nèi), 點A,B,C的坐標分別為(4,0),(0,4),(-2,0),以C為圓心,CO為半徑畫圓,點P在⊙C上運動. 如圖13,將AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°至AE,求線段BE的范圍. 如圖15,將線段AP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°至PF,求ΔABF面積的最大值.

圖10

圖11

圖12

圖13

分析: (1)將AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°至AE,所以點E的軌跡由點P的軌跡旋轉(zhuǎn)而來,點P的軌跡是圓,那么點E的軌跡也是圓. 點E的軌跡圓圓心也由點P的軌跡圓心繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°而來,C(-2,0)繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°至點C′(4,6),此時連結(jié)EC′,PC,因為∠PAC= ∠EAC′,AC=AC′,AP=AE, 所以ΔPAC∽= ΔEAC′, 可得EC′=PC= 2, 所以點E的軌跡為以C′(4,6) 為圓心,2 為半徑的圓(如圖11),問題就轉(zhuǎn)化為圓外點到圓上點的距離最值問題,所以將AP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°至PF,那么AF也可以看成AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°并擴大倍得到. 那么點F的軌跡由點P的軌跡旋轉(zhuǎn)并擴大倍得到,點F的軌跡圓心也由點P的軌跡圓心變換而來,AC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°并擴大倍得到AC′,點C′為(-2,6). 此時連結(jié)FC′,PC,因為∠PAC= ∠FAC′,所以ΔPAC∽ΔFAC′, 可得FC′=所以點F的軌跡為以C′(-2,6)為圓心,為半徑的圓(如圖13),那么當(dāng)FC′⊥AC′時,ΔABF的面積最大為8.

小結(jié): 此類問題通常由圓繞定點旋轉(zhuǎn),放縮產(chǎn)生新的圓,從而形成一些關(guān)于圓的常規(guī)問題,隱蔽性較強. 解題者若對于變換后的圖形軌跡沒有清晰的認識,那么解題會變得異常困難. 解決此類題目的關(guān)鍵在于理解點與軌跡的關(guān)系,從對應(yīng)點變換到軌跡圓變換,再到軌跡圓心變換都是相同的變換,可以利用這樣的觀點,先找到圓心,再證明變換后的點軌跡是圓. 證明的過程往往是全等,相似等三角形知識的綜合運用,再結(jié)合圓的定義得到圓軌跡.

例6如圖14,在等腰RtΔABC中,AC=BC=點P在以斜邊AB為直徑的半圓上,M為PC的中點. 當(dāng)點P沿半圓從點A運動至點B時,求點M運動的路徑長.

分析: 點M為CP線段的中點,線段CM可以看成線段CP縮小到原來的一半. 那么點M的軌跡就是點P的軌跡縮小原來的一半. 所以點M的軌跡圓心由點P的軌跡圓心變換而來. 取AB中點E,點E為點P軌跡圓圓心.取CE的中點F,因為M為PC中點,F為CE中點,所以2MF=PE= 2 恒成立. 即點M到定點F的距離始終等于1,所以點M的軌跡為半圓(如圖15),路徑長為π.

圖14

圖15

小結(jié): 此類問題可以歸結(jié)為圓上動點到定點的連線上一個固定比例點的軌跡問題,也可以看成圓的位似變換,解決此類問題的關(guān)鍵就是找到變換后軌跡圓心的位置. 通常情況下,可以連結(jié)圓心與定點,在此連線上,再結(jié)合固定比例找到圓心位置. 確定好圓心的位置后,在通過三角形知識證明變換后點的軌跡是個圓,問題就迎刃而解了.

本文通過對動點問題中的軌跡為圓的這些常見題型進行剖析,我們深刻感受到軌跡為圓的魅力. 找到隱藏的圓化無形為有形,看透點運動內(nèi)在聯(lián)系,培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).