開展研究性學(xué)習(xí),培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)*
——以“數(shù)列模型在房貸問題上的應(yīng)用”教學(xué)實(shí)踐為例

廣東省梅州市教育局教學(xué)研究室(514021) 陳啟南 羅 裕

廣東省梅縣東山中學(xué)(514021) 謝婷婷

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》提出數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng): 數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析,其中數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng).數(shù)學(xué)建模過程主要包括: 在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題,分析問題、建立模型,確定參數(shù)、計(jì)算求解,檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型,最終解決實(shí)際問題. 如何充分利用高中數(shù)學(xué)課程,培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)? 如何充分利用高中數(shù)學(xué)課程中相關(guān)數(shù)學(xué)模型,培養(yǎng)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)和提出問題,用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的意識(shí)? 如何設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)建模研究性學(xué)習(xí)活動(dòng),讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界的緊密聯(lián)系? 這些問題都是當(dāng)前中學(xué)數(shù)學(xué)教育工作者熱議的話題. 筆者基于對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)的理解和認(rèn)識(shí),在高中數(shù)學(xué)課堂開展數(shù)學(xué)建模研究性學(xué)習(xí)活動(dòng),培養(yǎng)學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活情境中發(fā)現(xiàn)和提出問題,利用現(xiàn)有高中知識(shí)結(jié)構(gòu)建立和求解模型,在小組研討分析和同伴互助下解決實(shí)際問題. 下面是以“數(shù)列模型在房貸問題上的應(yīng)用”為例,在研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)中開展數(shù)學(xué)建模的教學(xué)實(shí)踐和感悟,供各位同仁研討.

1 立足教材內(nèi)容,提出研究性學(xué)習(xí)教學(xué)內(nèi)容

1.1 教材思考應(yīng)用題,萌發(fā)教學(xué)實(shí)踐的想法

在蘇教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書· 數(shù)學(xué)5(必修)》“2.3.3 等比數(shù)列前n項(xiàng)和”章節(jié)中,一道關(guān)于購房貸款的思考應(yīng)用題如下:

例1某人2004年初向銀行申請個(gè)人住房公積金貸款20 萬元購買住房,月利率為3.375‰,按復(fù)利計(jì)算,每月等額還貸一次,并從貸款后的次月初開始還貸. 如果10年還清,那么每月應(yīng)還貸多少元?

在教學(xué)的備課環(huán)節(jié),筆者不禁思考,正如例5 所述,在我們現(xiàn)實(shí)生活的各方面都蘊(yùn)涵著數(shù)學(xué)知識(shí),數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用也處處可見,消費(fèi)者在購買商品住房時(shí),往往向銀行申請購房貸款,采取分期還款的方式來緩解資金的暫缺,消費(fèi)者該如何選擇最優(yōu)的還款方案? 我們不妨以此題為背景材料,設(shè)計(jì)研究性問題,組織學(xué)生開展基于數(shù)學(xué)建模的研究性學(xué)習(xí)活動(dòng).

1.2 從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題,提出研究性問題

為方便學(xué)生研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)的開展,筆者將教材中的例題改編為研究性學(xué)習(xí)問題如下:

問題1: 張某計(jì)劃于2020年初向銀行申請商業(yè)貸款購買住房,請你以小組為單位調(diào)查我市各商業(yè)銀行貸款年利率、貸款期限等相關(guān)情況. 目前商業(yè)銀行主要提供兩種購房貸款的還款方式: 等額本息還款和等額本金還款,請你以小組為單位調(diào)查這兩種還款方式有何不同?

問題2: 若張某向銀行申請貸款100 萬元購買住房,貸款期限為20年或30年,銀行五年以上貸款年利率為4.9%,每月還款一次,張某可以選擇等額本息還款或等額本金還款方式,你能否建立不同還款方式的數(shù)學(xué)模型? 在不考慮其他因素的條件下,他該如何選擇哪種貸款期限和還款方式才更為劃算? 你能否得出有信服力的一般性結(jié)論?

2 立足學(xué)生學(xué)情,開展研究性學(xué)習(xí)教學(xué)實(shí)踐

2.11 第一階段: 學(xué)情分析,成立課題研究學(xué)習(xí)小組

研究性學(xué)習(xí)參與者是高中學(xué)生, 學(xué)生知識(shí)面已比較廣,對(duì)生活中的貸款問題有一定程度的了解,具有參與社會(huì)調(diào)查訪談的能力,已經(jīng)學(xué)習(xí)并掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列等相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí),具有初步建立數(shù)學(xué)模型的能力. 教師遵循互補(bǔ)原則將學(xué)生分成若干組,成立課題研究學(xué)習(xí)小組,在教師指導(dǎo)下各小組選定組長,明確組員彼此分工,根據(jù)分工制定學(xué)習(xí)小組研究計(jì)劃,規(guī)劃研究時(shí)間,細(xì)分研究內(nèi)容和預(yù)定成果等.

2.2 第二階段: 調(diào)查訪談,開展課題研究社會(huì)實(shí)踐

在教師指導(dǎo)下,課題研究學(xué)習(xí)小組開展對(duì)我市各商業(yè)銀行貸款年利率、貸款期限和還款方式等相關(guān)情況的社會(huì)調(diào)查實(shí)踐活動(dòng). 課題研究學(xué)習(xí)小組通過網(wǎng)絡(luò)搜索資源信息、咨詢家長與專業(yè)人士、走訪商業(yè)銀行采集數(shù)據(jù)等方式,了解和掌握目前購房貸款不同的還款方式、分期還款的年限、分期付款的方式以及利率等相關(guān)情況,調(diào)查訪談小組組員填寫調(diào)查記錄表,組長收集每次小組調(diào)查反饋的數(shù)據(jù)和信息.

2.33 第三階段: 建模活動(dòng),引入?yún)?shù)建立數(shù)學(xué)模型

(1)從數(shù)學(xué)的視角分析問題.

①等額本息還款: 又稱定期付息,貸款人每月按相等的金額償還貸款本息,其中每月貸款利息按月初剩余貸款本金計(jì)算并逐月結(jié)清. 即將按揭貸款的本金總額與利息總額相加,將總額平均分?jǐn)傇谶€款期限的每個(gè)月中,每個(gè)月按照固定的金額數(shù)目進(jìn)行還款.

②等額本金還款: 將貸款的本金平均分?jǐn)傇谶€款期限的每個(gè)月中,同時(shí)付清上一交易日至本次還款日之間的利息,隨著還款次數(shù)的增加,每個(gè)月實(shí)際支付的還款金額逐月遞減.

(2)確定參數(shù)建立數(shù)學(xué)模型.

①理清變量關(guān)系,確定模型參數(shù):

設(shè)銀行貸款本金為m萬元,還款期限為n個(gè)月,貸款月利率為r. 若采用等額本息還款方式,每月還款金額為a萬元,每次還款后剩余貸款本金為mn萬元,貸款需支付的總還款額為Sa萬元;若采用等額本金還款方式,每月還款金額為bn萬元,每月還款利息為Cn萬元,貸款需支付的總還款額為Sb萬元.

②利用數(shù)學(xué)方法,構(gòu)建數(shù)學(xué)模型:

若采用等額本息還款方式:

數(shù)學(xué)模型構(gòu)建思路1: 從還款剩余本金的角度建立數(shù)學(xué)模型,即計(jì)算出逐月還款后所剩本金數(shù)額(所剩本金數(shù)額=上次剩余本金-當(dāng)次還款金額中所占的本金部分),還款期限結(jié)束時(shí),貸款還清,貸款所剩本金數(shù)額為0. 數(shù)學(xué)模型1 構(gòu)建過程如下:

第一次還款a后,剩余貸款本金為

第二次還款a后,剩余貸款本金為

第三次還款a后,剩余貸款本金為

第n次還款a后,剩余貸款本金為

當(dāng)房貸還清時(shí), 剩余貸款本金mn= 0, 可求每月等額本息還款金額a=;購房需支付的總還款額為Sa=a·n=

若采用等額本金還款方式:

數(shù)學(xué)模型構(gòu)建思路2: 從每月還款金額的角度建立數(shù)學(xué)模型,即計(jì)算出每月所需還款金額,其由兩部分組成,第一部分是: 貸款的本金平均分?jǐn)傇谶€款期限的每個(gè)月部分為第二部分是: 付清上一交易日至本次還款日的利息. 數(shù)學(xué)模型2 構(gòu)建過程如下:

第二次還款金額為b2=

第三次還款金額為b3==

……

第n次還款金額為

由等差數(shù)列定義得: 每月還款金額bn為等差數(shù)列,公差為

運(yùn)用等差數(shù)列求和公式, 可求出貸款需支付的總還款額為:

2.4 第四階段: 檢驗(yàn)改進(jìn),小組同伴互助改進(jìn)模型

(1)若采用等額本息還款方式.

數(shù)學(xué)模型1 檢驗(yàn)改進(jìn)思路: 可考慮從每月還款金額的本利和角度建立數(shù)學(xué)模型,即每次還款金額及其本利和的總額等于貸款的本金及其本利和的總額(銀行貸款本金為m,還款期限結(jié)束時(shí),貸款的本金及其利息的總額為m(1+r)n,若每月等額本息還款為a,那么每次還款金額及其本利和的總額等于貸款的本金及其利息的總額). 數(shù)學(xué)模型1 檢驗(yàn)改進(jìn)過程如下:

第一次還款a, 至還款期限結(jié)束時(shí), 其本利和為a(1+r)n-1;

第二次還款a, 至還款期限結(jié)束時(shí), 其本利和為a(1+r)n-2;

第三次還款a, 至還款期限結(jié)束時(shí), 其本利和為a(1+r)n-3;

……

第n -1 次還款a, 至還款期限結(jié)束時(shí), 其本利和為a(1+r);

第n次還款a,其本利和為a.

從而有:a(1+r)n-1+a(1+r)n-2+a(1+r)n-3+···+a(1 +r) +a=m(1 +r)n, 運(yùn)用等比數(shù)列求和公式, 化簡a=購房需支付的總還款額為Sa=a·n=

(2)若采用等額本金還款方式.

數(shù)學(xué)模型2 檢驗(yàn)改進(jìn)思路: 可考慮從每月還款利息的角度建立數(shù)學(xué)模型,即計(jì)算出每月還款利息金額. 由于等額本金還款每個(gè)月的本金還款額是固定金額為每月還款利息=上月剩余本金×月利率=總貸款數(shù)×[1-(還款月數(shù)-1)÷還款次數(shù)]×月利率. 貸款需支付的總還款額=各月還款利息總和+貸款的本金. 數(shù)學(xué)模型2 檢驗(yàn)改進(jìn)過程如下:

第一次還款利息為C1=mr;

第二次還款利息為C2=

第三次還款利息為C3=

……

第n次還款利息為Cn=

由等差數(shù)列定義得: 每月還款利息Cn為等差數(shù)列,公差為運(yùn)用等差數(shù)列求和公式, 可求出各月還款利息總和為因?yàn)橘J款需支付的總還款額=各月還款利息總和+貸款的本金,可得Sb=+m=

同理, 每月還款金額bn也為等差數(shù)列, 公差為

2.5 第五階段: 成果匯報(bào),學(xué)習(xí)小組提交研究成果

(1)利用構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,計(jì)算解決研究性問題.

由研究性學(xué)習(xí)問題可知,銀行貸款本金為100 萬元,銀行五年以上貸款年利率為4.9%,可求得模型相應(yīng)參數(shù): 貸款月利率為r= 0.40833%,m= 100,代入上述構(gòu)建數(shù)學(xué)模型中:

①當(dāng)還款期限n=240 時(shí),采用等額本息還款: 購房需支付的總還款額Sa=a·n=≈157.0666(萬元) ; 每月還款金額為a=≈0.6544(萬元) ; 采用等額本金還款: 購房需支付的總還款額Sb=≈149.2042(萬元) ; 每月還款金額為bn=(1+r)(萬元)(略).

②當(dāng)還款期限n=360 時(shí),采用等額本息還款: 購房需支付的總還款額Sa=a·n=≈191.0616(萬元) ; 每月還款金額為a=≈0.5307(萬元) . 采用等額本金還款: 購房需支付的總還款額Sb=≈173.7042(萬元) ; 每月還款金額為bn=(1+r)(萬元)(略).

(2)利用構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,作出最優(yōu)化支出選擇.

通過構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型計(jì)算求解, 若選擇貸款期限為20年時(shí), 等額本息還款方式需支付的總還款額為157.0666 萬元; 等額本金還款方式需支付的總還款額為149.2042 萬元;若選擇貸款期限為30年時(shí),等額本息還款方式需支付的總還款額為191.0616 萬元;等額本金還款方式需支付的總還款額為173.7042 萬元;在不考慮其他因素的條件下,張某可選擇貸款期限為20年的等額本金還款方式更為劃算.

(3)利用構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,對(duì)比兩種方式的優(yōu)劣.

通過構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型計(jì)算求解,不僅可以解決實(shí)際的生活問題,供購房貸款者根據(jù)自身家庭的經(jīng)濟(jì)實(shí)力選擇最適合家庭支出的貸款期限和還款方式,而且得出有信服力的結(jié)論,供購房貸款者參考依據(jù):

結(jié)論①: 貸款期限長短: 貸款期限短,每月還款金額多,支付的總還款額少;貸款期限長,每月還款金額少,支付的總還款額多,不同的貸款期限各有優(yōu)勢,互有利弊.

結(jié)論②: 等額本息還款: 每月的還款額相等, 在貸款初期每月的還款中,剔除按月結(jié)清的利息后,所還的貸款本金就較少;而在貸款后期因貸款本金不斷減少、每月的還款額中貸款利息也不斷減少,每月所還的貸款本金就較多. 這種還款方式,實(shí)際占用銀行貸款的數(shù)量更多、占用的時(shí)間更長,這種還款方式適合預(yù)計(jì)收入穩(wěn)定的人使用.

結(jié)論③: 等額本金還款: 每月所還本金固定, 而每月貸款利息隨著本金余額的減少而逐月遞減,等額本金還款法在貸款初期月還款金額大,此后逐月遞減(月遞減額=月還本金×月利率). 這種還款方式適合預(yù)計(jì)收入會(huì)逐步減少的人使用.

3 在研究性學(xué)習(xí)中開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)實(shí)踐感悟

3.1 真實(shí)的生活情境是培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的“天然土壤”

數(shù)學(xué)建模是新課程改革提出的數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)之一,是數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用的重要形式,是聯(lián)系數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界的重要橋梁, 是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的重要途徑,課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的不同水平劃分提及從實(shí)際背景、熟悉情境和綜合情境三個(gè)層面,發(fā)現(xiàn)情境中的數(shù)學(xué)關(guān)系. 因此,教師在開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)教學(xué)過程中,應(yīng)發(fā)揮“真實(shí)的生活情境”是培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的“天然土壤”的作用,從兩個(gè)視角出發(fā),一是從現(xiàn)實(shí)的生活情境中出發(fā),從情境中去發(fā)現(xiàn)其蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)知識(shí),如: 人口增長問題和投資回報(bào)問題中所蘊(yùn)藏的函數(shù)知識(shí),貸款利息問題中所蘊(yùn)藏的等比數(shù)列和等差數(shù)列知識(shí)等;二是從數(shù)學(xué)知識(shí)出發(fā),尋求數(shù)學(xué)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活情境的應(yīng)用,如: 解三角形知識(shí)在生活中測量問題的應(yīng)用,三角函數(shù)知識(shí)在港口水深與貨船進(jìn)港時(shí)間問題的應(yīng)用等;通過兩個(gè)視角相結(jié)合,引導(dǎo)學(xué)生深入細(xì)致的觀察和分析現(xiàn)實(shí)生活的情境,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀看世界,用數(shù)學(xué)的思維思考世界,用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界.

3.2 多元化學(xué)習(xí)方式是培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的“發(fā)展途徑”

數(shù)學(xué)建模是學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)生活問題的重要途徑,學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的形成和發(fā)展僅僅靠單一的課堂教學(xué)方式難于實(shí)現(xiàn),尤其是在高考指揮棒作用下,雖然教師在數(shù)學(xué)建模有利于學(xué)生能力發(fā)展的觀點(diǎn)上均有一致共識(shí),但在高中教學(xué)任務(wù)緊,升學(xué)壓力大的背景下,數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的開展往往流于形式,難成規(guī)模,不成氣候,更缺乏可以參考和借鑒的成熟案例和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 筆者認(rèn)為多元化學(xué)習(xí)方式是培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的“發(fā)展途徑”,一是立足課堂教學(xué),圍繞主題單元教學(xué)中應(yīng)用題專題,開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)實(shí)踐,如: 必修一函數(shù)模型及其應(yīng)用;必修3 算法案例、統(tǒng)計(jì)案例;必修4 三角函數(shù)的應(yīng)用等等, 發(fā)揮應(yīng)用題專題教學(xué)的生活情境問題,教給學(xué)生數(shù)學(xué)建模的程序和方法. 二是開展研究性學(xué)習(xí)活動(dòng),利用空余時(shí)間,讓學(xué)生打開課堂的柵欄,走進(jìn)生活,奔向社會(huì),以小組同伴互助的形式開展調(diào)查問卷、訪談研究、數(shù)據(jù)采集,在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題,分析問題、建立模型,確定參數(shù)、計(jì)算求解,檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型,最終解決實(shí)際問題.

3.3 創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)精神是培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的“成果定位”

教育的核心本質(zhì)是育人,開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)實(shí)踐,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科“學(xué)科育人”的途徑,數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)應(yīng)發(fā)揮其獨(dú)特的學(xué)科育人功能,將培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的“成果定位”在創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)精神上. 數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)搭建了數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁,學(xué)生將掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)從紙面解題應(yīng)用于生活實(shí)際,將數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想應(yīng)用于解決生活實(shí)際的問題;學(xué)生在數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)中,加深了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想的理解,積累了數(shù)學(xué)實(shí)踐和應(yīng)用的經(jīng)驗(yàn),認(rèn)識(shí)了數(shù)學(xué)知識(shí)在解決工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)發(fā)展、社會(huì)生活等方面的廣泛應(yīng)用;學(xué)生在建模實(shí)踐中使用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)和交流,使用數(shù)學(xué)的思維創(chuàng)造性解決問題;在同伴互助中學(xué)會(huì)了交流與合作,激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的興趣,培養(yǎng)了學(xué)生創(chuàng)造性解決問題的能力,增強(qiáng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)精神.